《（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第10講 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第10講 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算學(xué)案（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第10講　導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 板塊一　知識梳理·自主學(xué)習(xí) [必備知識] 考點(diǎn)1　函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) 1．定義 稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率 ＝ 為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′| x＝x0， 即f′(x0)＝ ＝ . 2．幾何意義 函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 考點(diǎn)2　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 考點(diǎn)3　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

2、 　 若y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)數(shù)存在，則 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． [必會結(jié)論] 1．f′(x0)與x0的值有關(guān)，不同的x0，其導(dǎo)數(shù)值一般也不同． 2．f′(x0)不一定為0，但[f(x0)]′一定為0. 3．奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)． 4．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，

3、曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”． [考點(diǎn)自測] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)f′(x0)與[f(x0)]′表示的意義相同．(　　) (2)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值．(　　) (3)′＝cos.(　　) (4)若(ln x)′＝，則′＝ln x．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．[課本改編]f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a的值等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因為f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝.故

4、選D. 3．[2018·九江模擬]已知曲線y＝－3ln x的一條切線的斜率為－，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(　　) A．3 B．2 C．1 D. 答案　B 解析　因為y＝－3ln x，所以y′＝－.再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，令－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．故選B. 4．[課本改編]若曲線y＝ex＋ax＋b在點(diǎn)(0,2)處的切線l與直線x＋3y＋1＝0垂直，則a＋b＝(　　) A．3 B．－1 C．1 D．－3 答案　A 解析　因為直線x＋3y＋1＝0的斜率為－，所以切線l的斜率為3，即y′|x＝0＝e0＋a＝1＋a＝3，所以a＝2；又曲線過點(diǎn)(0,2)，所以

5、e0＋b＝2，解得b＝1.故選A. 5．[2018·秦皇島模擬]函數(shù)f(x)＝exln x在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是(　　) A．y＝2e(x－1) B．y＝ex－1 C．y＝e(x－1) D．y＝x－e 答案　C 解析　f(1)＝0，∵f′(x)＝ex，∴f′(1)＝e，∴切線方程是y＝e(x－1)．故選C. 6．[2018·煙臺診斷]已知曲線y＝asinx＋cosx在x＝0處的切線方程為x－y＋1＝0，則實(shí)數(shù)a的值為________． 答案　1 解析　因為y′＝acosx－sinx，y′|x＝0＝a，根據(jù)題意知a＝1. 板塊二　典例探究·考向突破 考

6、向　導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算 例　1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝； (2)y＝x； (3)y＝x－sincos； (4)y＝ln x＋. 解　(1)y′＝′＝ ＝－. (2)因為y＝x3＋＋1，所以y′＝3x2－. (3)因為y＝x－sinx，所以y′＝1－cosx. (4)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－. 觸類旁通 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算方法 (1)連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導(dǎo)； (2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)； (3)對數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)； (4)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)； (5

7、)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)． 【變式訓(xùn)練】　已知函數(shù)f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)為－，則f(x)的解析式可能為(　　) A．f(x)＝x2－ln x B．f(x)＝xex C．f(x)＝(3x2－4x)(2x＋1) D．f(x)＝＋ 答案　D 解析　A中f′(x)＝′＝x－， B中f′(x)＝(xex)′＝ex＋xex， C中f(x)＝6x3－5x2－4x，所以f′(x)＝18x2－10x－4， D中f′(x)＝′＝－＋. 分別將x＝1代入檢驗，知D符合． 考向　導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 命題角度1　

8、求切線的方程 例　2　[2017·全國卷Ⅰ]曲線y＝x2＋在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為________． 答案　x－y＋1＝0 解析　∵y′＝2x－，∴y′|x＝1＝1， 即曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率k＝1， ∴切線方程為y－2＝x－1，即x－y＋1＝0. 命題角度2　求切點(diǎn)的坐標(biāo) 例　3　[2018·江西模擬]若曲線y＝xln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________． 答案　(e，e) 解析　設(shè)P(x0，y0)，∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x．∴k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e，

9、y0＝eln e＝e.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(e，e)． 命題角度3　求參數(shù)的值 例　4　已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點(diǎn)為(1，f(1))，則m的值為(　　) A．－1 B．－3 C．－4 D．－2 答案　D 解析　∵f′(x)＝， ∴直線l的斜率為k＝f′(1)＝1， 又f(1)＝0， ∴切線l的方程為y＝x－1. g′(x)＝x＋m，設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜0，于是解得m＝－2.故選D. 觸

10、類旁通 求解曲線切線方程應(yīng)注意的問題 (1)對于曲線的切線方程的求解，對曲線的求導(dǎo)是一個關(guān)鍵點(diǎn)，因此求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的計算原則要熟練掌握． (2)對于已知的點(diǎn)，首先確定其是否為曲線的切點(diǎn)，進(jìn)而選擇相應(yīng)的方法求解． 核心規(guī)律 1.f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值；[f(x0)]′是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個常量，其導(dǎo)數(shù)一定為0，即[f(x0)]′＝0. 2.對于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運(yùn)算失

11、誤． 滿分策略 1.利用公式求導(dǎo)時要特別注意不要將冪函數(shù)的求導(dǎo)公式(xn)′＝nxn－1與指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式(ax)′＝axln a混淆． 2.直線與曲線公共點(diǎn)的個數(shù)不是切線的本質(zhì)特征，直線與曲線只有一個公共點(diǎn)，不能說明直線就是曲線的切線，反之，直線是曲線的切線，也不能說明直線與曲線只有一個公共點(diǎn). 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 易錯警示系列3——求曲線的切線方程考慮不全面致錯 [2018·浙江杭州質(zhì)檢]若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，則a等于(　　) A．－1或－ B．－1或 C．－或－ D．－或7 錯因分析　(1)審題不仔細(xì)，未

12、對(1,0)的位置進(jìn)行判斷，誤認(rèn)為(1,0)是切點(diǎn)；(2)當(dāng)所給點(diǎn)不是切點(diǎn)時，不知所措，無法與導(dǎo)數(shù)的幾何意義聯(lián)系． 解析　∵y＝x3，∴y′＝3x2. 設(shè)過點(diǎn)(1,0)的直線與y＝x3相切于點(diǎn)(x0，x)， 則在該點(diǎn)處的切線斜率為k＝3x，所以切線方程為： y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x. 又點(diǎn)(1,0)在切線上，則x0＝0或x0＝. 當(dāng)x0＝0時，由y＝0與y＝ax2＋x－9相切可得a＝－； 當(dāng)x0＝時，由y＝x－與y＝ax2＋x－9相切，得a＝－1. 綜上，a＝－1或a＝－.故選A. 答案　A 答題啟示　(1)求曲線的切線方程，首先確定已知點(diǎn)是否為切點(diǎn)是求

13、解的關(guān)鍵，分清“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異. (2)求解切線問題時，無論是已知切線的斜率還是切線經(jīng)過某一點(diǎn)，切點(diǎn)坐標(biāo)都是化解難點(diǎn)的關(guān)鍵所在. 跟蹤訓(xùn)練 [2018·山西師大附中質(zhì)檢]已知曲線y＝x3＋. (1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程； (2)求曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程． 解　(1)根據(jù)已知得點(diǎn)P(2,4)是切點(diǎn)且y′＝x2，所以在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率為y′＝4. 所以曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)設(shè)曲線y＝x3＋與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A，則切線的斜率為y′＝x. 所以切線方

14、程為y－＝x(x－x0)， 即y＝x·x－x＋. 因為點(diǎn)P(2,4)在切線上，所以4＝2x－x＋， 即x－3x＋4＝0，所以x＋x－4x＋4＝0， 所以x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， 所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2， 故所求的切線方程為x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．曲線y＝3ln x＋x＋2在點(diǎn)P0處的切線方程為4x－y－1＝0，則點(diǎn)P0的坐標(biāo)是(　　) A．(0,1) B．(1，－1) C．(1,3) D．(1,0) 答案　C 解析　由題意知y′＝＋1

15、＝4，解得x＝1，此時4×1－y－1＝0，解得y＝3，故點(diǎn)P0的坐標(biāo)是(1,3)． 2．[2018·海南文昌中學(xué)模擬]曲線y＝xex＋2x－1在點(diǎn)(0，－1)處的切線方程為(　　) A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1 C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1 答案　A 解析　依題意得y′＝(x＋1)ex＋2，則曲線y＝xex＋2x－1在點(diǎn)(0，－1)處的切線的斜率為(0＋1)e0＋2＝3，故曲線y＝xex＋2x－1在點(diǎn)(0，－1)處的切線方程為y＋1＝3x，即y＝3x－1.故選A. 3．[2018·大同模擬]已知函數(shù)f(x)＝xsinx＋ax，且f′＝1，則a＝(　　) A

16、．0 B．1 C．2 D．4 答案　A 解析　∵f′(x)＝sinx＋xcosx＋a，且f′＝1， ∴sin＋cos＋a＝1，即a＝0. 4．[2018·陜西檢測]已知直線y＝－x＋m是曲線y＝x2－3ln x的一條切線，則m的值為(　　) A．0 B．2 C．1 D．3 答案　B 解析　因為直線y＝－x＋m是曲線y＝x2－3ln x的切線，所以令y′＝2x－＝－1，得x＝1或x＝－(舍去)，即切點(diǎn)為(1,1)，又切點(diǎn)(1,1)在直線y＝－x＋m上，所以m＝2，故選B. 5．[2018·金版創(chuàng)新]已知f(x)＝－x2＋2xf′(2017)＋2017l

17、n x，則f′(1)＝(　　) A．2016 B．6045 C．2017 D．6048 答案　D 解析　因為f′(x)＝－x＋2f′(2017)＋，所以f′(2017)＝－2017＋2f′(2017)＋，即f′(2017)＝2017－1＝2016. 故f′(x)＝－x＋2×2016＋，f′(1)＝－1＋2×2016＋2017＝6048.故選D. 6．直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點(diǎn)A(1,3)，則2a＋b的值為(　　) A．1 B．2 C．5 D．－1 答案　A 解析　由題意可得3＝k＋1,3＝1＋a＋b，則k＝2.又曲線的導(dǎo)函數(shù)y′

18、＝3x2＋a，所以3＋a＝2，解得a＝－1，b＝3，所以2a＋b＝1.故選A. 7．[2018·上饒模擬]若點(diǎn)P是曲線y＝x2－ln x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小值為(　　) A．1 B. C. D. 答案　B 解析　因為定義域為(0，＋∞)，所以y′＝2x－＝1，解得x＝1，則在P(1,1)處的切線方程為x－y＝0，所以兩平行線間的距離為d＝＝. 8．[2015·全國卷Ⅰ]已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線過點(diǎn)(2,7)，則a＝________. 答案　1 解析　因為f(x)＝ax3＋x＋1，所以f′(x)＝3ax2＋

19、1，所以f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為k＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，所以切線方程為y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，因為點(diǎn)(2,7)在切線上，所以7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1. 9．直線x－2y＋m＝0與曲線y＝相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為________． 答案　(1,1) 解析　∵y＝＝x，∴y′＝x，令y′＝x＝，則x＝1，則y＝＝1，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)． 10．[2018·江蘇模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線y＝ax2＋(a，b為常數(shù))過點(diǎn)P(2，－5)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x＋2y＋3＝0平行，則a＋b的值是________． 答案

20、?。? 解析　由曲線y＝ax2＋過點(diǎn)P(2，－5)，得 4a＋＝－5.① 又y′＝2ax－，所以當(dāng)x＝2時，4a－＝－，② 由①②得所以a＋b＝－3. [B級　知能提升] 1．[2018·南昌模擬]已知f(x)＝2exsinx，則曲線f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為(　　) A．y＝0 B．y＝2x C．y＝x D．y＝－2x 答案　B 解析　∵f(x)＝2exsinx，∴f(0)＝0，f′(x)＝2ex(sinx＋cosx)，∴f′(0)＝2，∴曲線f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝2x. 2．曲線f(x)＝在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的傾

21、斜角為，則實(shí)數(shù)a＝(　　) A．1 B．－1 C．7 D．－7 答案　C 解析　f′(x)＝＝， ∵f′(1)＝tan＝－1，即＝－1，∴a＝7. 3．[2018·陜西模擬]設(shè)曲線y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y＝(x＞0)上點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為________． 答案　(1,1) 解析　y′＝ex，則y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k＝1，又曲線y＝(x＞0)上點(diǎn)P處的切線與y＝ex在點(diǎn)(0,1)處的切線垂直，所以y＝(x＞0)在點(diǎn)P處的切線的斜率為－1，設(shè)P(a，b)，則曲線y＝(x＞0)上點(diǎn)P處的切線的斜率為y′|x＝a＝－a－2＝－1，可

22、得a＝1，又P(a，b)在y＝上，所以b＝1，故P(1,1)． 4．已知函數(shù)f(x)＝x－1＋(a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))． (1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線平行于x軸，求a的值； (2)當(dāng)a＝1時，若直線l：y＝kx－1與曲線y＝f(x)相切，求l的直線方程． 解　(1)f′(x)＝1－，因為曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線平行于x軸，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e. (2)當(dāng)a＝1時，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－. 設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)， ∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，① f′(x0)＝1－＝k，② ①＋②得x0＝

23、kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，則②式無解，∴x0＝－1，k＝1－e. ∴l(xiāng)的直線方程為y＝(1－e)x－1. 5．[2018·蘇州十校聯(lián)考]設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值． 解　(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，當(dāng)x＝2時，y＝.又f′(x)＝a＋，故解得故f(x)＝x－. (2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)， 由f′(x)＝1＋知，曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x－x0)， 即y－＝(x－x0)． 令x＝0得，y＝－，從而得切線與直線x＝0交點(diǎn)坐標(biāo)為. 令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)． 所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6. 12