《（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第6章 不等式 第1講 不等關系與不等式學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第6章 不等式 第1講 不等關系與不等式學案（13頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第1講　不等關系與不等式 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　比較兩個實數(shù)的大小 兩個實數(shù)的大小是用實數(shù)的運算性質來定義的，有a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a0，則有>1?a>b；＝1?a＝b；<1?ab?bb，b>c?a>c； 3．可加性：a>b?a＋c>b＋c；a>b，c>d?a＋c>b＋d； 4．可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?acb>0，c>d>0?ac>bd； 5．可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈

2、N，n≥2)； 6．可開方性：a>b>0?>(n∈N，n≥2)． [必會結論] 1．a>b，ab>0?<. 2．a<0b>0,0. 4．0b>0，m>0，則<；>(b－m>0)；>；<(b－m>0)． [考點自測] 1．判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a1，則a>b.(　　) (3)一個不等式的兩邊同加上或同乘以同一個數(shù)，不等號方向不變．(　　) (4)一個非零實數(shù)越大，則其

3、倒數(shù)就越小．(　　) (5)a>b>0，c>d>0?>.(　　) (6)若ab>0，則a>b?<.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√ 2．[課本改編]設M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關系是(　　) A．M>N B．M＝N C．M0，所以M>N. 3．[課本改編]若a>b>0，c B.< C.> D.< 答案　D 解析　由c－>0，又a>b>0，故由不等式性質，得－>－>0，所以<.故選D. 4．

4、[課本改編]若a，b，c∈R，且a>b，則下列不等式一定成立的是(　　) A．a＋c>b－c B．(a－b)c2>0 C．a3>b3 D．a2>b2 答案　C 解析　對于A，由于不知道c的正負，故無法判斷a＋c與b－c的大小關系，所以錯誤；對于B，當c＝0時，(a－b)c2>0不成立，所以錯誤；對于D，需要保證a>b>0，才能得到a2>b2，所以錯誤．故選C. 5．[2018·浙江模擬]設a，b是實數(shù)，則“a＋b>0”是“ab>0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　D 解析　若a＋b>0，取a

5、＝3，b＝－2，則ab>0不成立；反之，若a＝－2，b＝－3，則a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要條件．選D. 6．已知－1

6、) A．若a>b，c≠0，則ac>bc B．若a>b，則ac2>bc2 C．若ac2>bc2，則a>b D．若a>b，則< 答案　C 解析　對于選項A，當c<0時，不正確； 對于選項B，當c＝0時，不正確； 對于選項C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故選項C正確； 對于選項D，當a>0，b<0時，不正確． (2)已知四個條件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能推出<成立的是________． 答案?、佗冖? 解析　運用倒數(shù)法則，a>b，ab>0?<，②④正確．又正數(shù)大于負數(shù)，所以①正確． 觸類旁通 利用不等式性質進行命

7、題的判斷 (1)判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明．常用的推理判斷需要利用不等式的性質． (2)在判斷一個關于不等式的命題真假時，先把要判斷的命題和不等式性質聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質，并應用性質判斷命題真假，判斷的同時還要用到其他知識，比如對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質等． 【變式訓練1】　(1)已知a，b，c滿足cac B．c(b－a)<0 C．cb20 答案　A 解析　由c0. 由b>c得ab>ac一定成立． (

8、2)若<<0，則下列不等式： ①a＋b|b|；③a0， 所以a＋bq D．p≥q 答案　B 解析　(作差法)p－q＝＋－a－b ＝＋＝(b2－a2)

9、· ＝＝， 因為a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0. 若a＝b，則p－q＝0，故p＝q；若a≠b，則p－q<0，故p0，∴ab>ab2.∵a－ab2＝a(1－b2)<0，∴a0，b>0，且a≠b，試比較aabb與(ab) 的大小． 解　∵a>0，b>0， ∴＝

10、ab＝ab＝， 若a>b>0，則>1，a－b>0. 由指數(shù)函數(shù)的性質>1； 若b>a>0，則0<<1，a－b<0. 由指數(shù)函數(shù)的性質>1. ∴>1，∴aabb>(ab) . 命題角度3　放縮法 例　4　(1)[2018·九江模擬]已知a＝3，b＝log，c＝log2，則(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c 答案　A 解析　∵a＝3>1,0b>c.故選A. (2)設x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，則(　　) A．P>Q B．P

11、 D．P≥Q 答案　A 解析　因為2x＋2－x≥2＝2(當且僅當x＝0時等號成立)，而x>0，所以P>2；又(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2.于是P>Q.故選A. 觸類旁通 比較大小的常用方法 (1)作差法； (2)作商法； (3)放縮法：在代數(shù)式的比較大小問題中，一般是通過放縮變形，得到一個中間的參照式(或數(shù))，其放縮的手段可能是基本不等式、三角函數(shù)的有界性等．有時，等號成立的條件是比較大小的關鍵所在． 考向　不等式性質的應用 例　5　已知－1

12、案用區(qū)間表示) 答案　(3,8) 解析　解法一：設2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y， 對應系數(shù)相等，則? ∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)∈(3,8)． 解法二：令∴ ∴2x－3y＝2－3＝－＋b∈(3,8)． 解法三：由 確定的平面區(qū)域如圖陰影部分． 目標函數(shù)z＝2x－3y可化為y＝x－，由線性規(guī)劃知識可求出2x－3y∈(3,8)． 觸類旁通 利用不等式性質求代數(shù)式的取值范圍 由a

13、形式)，通過恒等變形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性質求得F(x，y)的取值范圍． 【變式訓練2】　若實數(shù)x，y滿足3≤xy2≤8,4≤≤9，則的最大值是________． 答案　27 解析　解法一：由3≤xy2≤8,4≤≤9，可知x>0，y>0，且≤≤，16≤≤81，由性質6，得2≤≤27，故的最大值是27. 解法二：設＝m(xy2)n， 則x3y－4＝x2m＋ny2n－m， 所以即 又∵16 ≤2≤81，≤(xy2)－1≤， ∴2≤≤27，故的最大值為27. 核心規(guī)律 1.用同向不等式求差的范圍． ??a－d

14、 這種方法在三角函數(shù)中求角的范圍時經常用到． 2.比較法是不等式性質證明的理論依據，是不等式證明的主要方法之一．作差法的主要步驟：作差——變形——判斷正負．在所給不等式完全是積、商、冪的形式時，可考慮作商． 3.求某些代數(shù)式的范圍可考慮采用整體代入的方法． 滿分策略 1.a>b?ac>bc或ab?<或a，當ab≤0時不成立． 3.a>b?an>bn對于正數(shù)a，b才成立． 4.>1?a>b，對于正數(shù)a，b才成立． 5.注意不等式性質中“?”與“?”的區(qū)別，如：a>b，b>c?a>c，其中a>c不能推出 板塊三　啟智培

15、優(yōu)·破譯高考 題型技法系列8——巧用特殊值判斷不等式問題 [2016·山東高考]已知實數(shù)x，y滿足axln (y2＋1) B．sinx>siny C．x3>y3 D.> 解題視點　(1)采用邊選邊排除的思想；(2)在選與排除的過程中采用特值法驗證，簡化了過程，提高了準確率． 解析　解法一：因為實數(shù)x，y滿足axy. 對于A，取x＝1，y＝－3，不成立； 對于B，取x＝π，y＝－π，不成立； 對于C，由于f(x)＝x3在R上單調遞增，故x3>y3成立； 對于D，取x

16、＝2，y＝－1，不成立．故選C. 解法二：根據指數(shù)函數(shù)的性質得x>y，此時x2，y2的大小不確定，故選項A，D中的不等式不恒成立；根據三角函數(shù)的性質，選項B中的不等式也不恒成立；根據不等式的性質知，選項C中的不等式成立． 答案　C 答題啟示　(1)當選擇題中包含不止一個結論時，宜采用邊選邊排除的方法. (2)在判斷多個不等式是否成立時，可采用特值法驗證，若取值不能代表所有情況，可采用多次賦值法驗證結論是否成立. 跟蹤訓練 [2018·煙臺模擬]若<<0，則下列不等式： ①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2中，正確的不等式是(　　) A．①④ B．

17、②③ C．①③ D．②④ 答案　C 解析　解法一：因為<<0，故可取a＝－1，b＝－2， 顯然＝－，＝，故①正確，排除B、D， 對于③中，a－＝－1－＝0， 又b－＝－2－＝－， 故a－>b－成立，排除A.選C. 解法二：由<<0，可知b0，所以<0，>0， 故有<，故①正確，排除B、D； ③中，因為bb－，故③正確，排除A.選C. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎達標] 1．[2018·金版創(chuàng)新]設c>0，則下列各式成立的是(　　) A．c>2c B．c>c C．2c<

18、c D．2c>c 答案　D 解析　c>0時，2c>1，c<1，所以2c>c. 2．[2018·寧波模擬]若a B.> C．|a|>|b| D．a2>b2 答案　B 解析　∵a，故A對．∵a，故B錯．∵a－b>0，即|－a|>|－b|，∴|a|>|b|，故C對．∵a－b>0，∴(－a)2>(－b)2，即a2>b2，故D對．故選B. 3．若x，y滿足－

19、A 解析　由xb>0，下列各數(shù)小于1的是(　　) A．2a－b B. C.a－b D.a－b 答案　D 解析　解法一：(特殊值法) 取a＝2，b＝1，代入驗證． 解法二：y＝ax(a>0且a≠1)． 當a>1，x>0時，y>1；當00時，0b>0，∴a－b>0，>1,0<<1. 由指數(shù)函數(shù)性質知，D成立． 5．[2018·廣西模擬]若a，b為實數(shù)，則<成立的一個充分而不必要的條件是(　　) A．b0 D．a>b

20、 答案　A 解析　由a>b?<成立的條件是ab>0，即a，b同號時，若a>b，則<；a，b異號時，若a>b，則>. 6．設0loga，B不對； a>b>0?a2>ab，D不對．故選C. 7．若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sin，則(　　) A．a>b>c

21、B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 答案　A 解析　因為a＝20.6>20＝1，又logπ1b>c.故選A. 8．已知有三個條件：①ac2>bc2；②>；③a2>b2，其中能成為a>b的充分條件的是________． 答案?、? 解析　由ac2>bc2，可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分條件；②當c<0時，ab的充分條件． 9．已知a，b，c∈R，有以下命題： ①若<，則<；②若<，則ab

22、，則a·2c>b·2c. 其中正確的是________(請把正確命題的序號都填上)． 答案　②③ 解析?、偃鬰≤0，則命題不成立．②由<得<0，于是a0知命題正確． 10．[2018·臨沂模擬]若x>y，a>b，則在①a－x>b－y，②a＋x>b＋y，③ax>by，④x－b>y－a，⑤>這五個式子中，恒成立的所有不等式的序號是________． 答案?、冖? 解析　令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2， 符合題設條件x>y，a>b， ∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5， ∴a－x＝b－y，因此①不成立． 又∵ax＝－6，by＝

23、－6，∴ax＝by，因此③也不正確． 又∵＝＝－1，＝＝－1， ∴＝，因此⑤不正確． 由不等式的性質可推出②④成立． [B級　知能提升] 1．已知a1，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關系是(　　) A．MN C．M＝N D．不確定 答案　B 解析　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0. ∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N. 2．已知a，b∈R，下列四個條件中，使>1成立的必要不

24、充分條件是(　　) A．a>b－1 B．a>b＋1 C．|a|>|b| D．ln a>ln b 答案　C 解析　由>1?－1>0?>0?(a－b)b>0?a>b>0或a|b|，但由|a|>|b|不能得到a>b>0或a1，故|a|>|b|是使>1成立的必要不充分條件． 3．[2018·金版創(chuàng)新]設α∈，T1＝cos(1＋α)，T2＝cos(1－α)，則T1與T2的大小關系為________． 答案　T1

25、4．[2018·大連段考]若a>b>0，c. 證明　∵c－d>0. 又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0， ∴(a－c)2>(b－d)2>0，∴0<<. 又∵e<0，∴>. 5．[2018·昆明模擬]設f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍． 解　解法一：設f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. 于是得解得 ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. 解法二：由得 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. 13