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高考數(shù)學(xué) 考點匯總 考點41 拋物線(含解析)

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1、高考數(shù)學(xué) 考點匯總 考點41 拋物線(含解析) 一、選擇題 1、(xx·安徽高考文科·T3)拋物線的準(zhǔn)線方程是( ) A. B. C. D. 【解題提示】 將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式即可得出。 【解析】選A。,所以拋物線的準(zhǔn)線方程是y=-1. 2. (xx·新課標(biāo)全國卷Ⅱ高考文科數(shù)學(xué)·T10) (xx·新課標(biāo)全國卷Ⅱ高考文科數(shù)學(xué)·T10)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點,則錯誤!未找到引用源。= (  ) A. B.6 C.12 D. 【解題提示】畫出圖形,利用拋物線的定義求解.

2、 【解析】選C.設(shè)AF=2m,BF=2n,F.則由拋物線的定義和直角三角形知識可得, 2m=2·+m,2n=2·-n,解得m= (2+),n= (2-),所以m+n=6. AB=AF+BF=2m+2n=12.故選C. 3. (xx·新課標(biāo)全國卷Ⅱ高考理科數(shù)學(xué)·T10)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,則△OAB的面積為(  )  A. B. C. D. 【解題提示】將三角形OAB的面積通過焦點“一分為二”,設(shè)出AF,BF,利用拋物線的定義求得面積. 【解析】選D.設(shè)點A,B分別在第一和第四象限,AF=2

3、m,BF=2n,則由拋物線的定義和直角三角形知識可得,2m=2·+m,2n=2·-n,解得m= (2+),n= (2-),所以m+n=6.所以 S△OAB=·(m+n)=.故選D. 4. (xx·四川高考理科·T10)已知F為拋物線的焦點,點A,B在該拋物線上且位于軸的兩側(cè),(其中O為坐標(biāo)原點),則與面積之和的最小值是( ) A. 2 B.3 C. D. 【解題提示】 設(shè)AB方程:聯(lián)立結(jié)合求出m 求的最小值 【解析】選B. 可設(shè)直線AB的方程為:,點,,又,則直線AB與軸的交點,由,所以,又,因為點,在該拋物線上且位于軸的兩側(cè),所以,故,于是=,當(dāng)且僅當(dāng)時取“

4、”, 所以與面積之和的最小值是. 5. (xx·四川高考文科·T10)與(xx·四川高考理科·T10)相同 已知F為拋物線的焦點,點A,B在該拋物線上且位于軸的兩側(cè),(其中O為坐標(biāo)原點),則與面積之和的最小值是( ) A. 2 B.3 C. D. 【解題提示】 設(shè)AB方程:聯(lián)立結(jié)合求出m 求的最小值 【解析】選B.可設(shè)直線AB的方程為:,點,,又,則直線AB與軸的交點,由,所以,又,因為點,在該拋物線上且位于軸的兩側(cè),所以,故,于是=,當(dāng)且僅當(dāng)時取“”, 所以與面積之和的最小值是. 6. (xx·遼寧高考理科·T10)已知點在拋物線的準(zhǔn)線上,過點的直線與

5、在第一象限相切于點,記的焦點為,則直線的斜率為 【解題提示】由拋物線的定義知的值,也就確定了拋物線的方程和焦點坐標(biāo);進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點B的坐標(biāo),利用直線的斜率公式求出直線的斜率 【解析】選D. 根據(jù)已知條件得,所以從而拋物線方程為,其焦點. 設(shè)切點,由題意,在第一象限內(nèi).由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率為,而切線的斜率也可以為 又因為切點在曲線上,所以.由上述條件解得. 即.從而直線的斜率為. 二、填空題 7. (xx·湖南高考理科·T15)如圖, 正方形的邊長分別為,原點為的中點,拋物線經(jīng)過 【解題提示】有正方形的邊長給出點C,F的坐標(biāo)帶入

6、拋物線方程求解。 【解析】由題可得,,則。 答案: 3. 8. (xx·上海高考理科·T4) 【解題提示】先求出橢圓的右焦點坐標(biāo),從而求出p的值,即得拋物線的準(zhǔn)線方程. 【解析】根據(jù)橢圓的右焦點坐標(biāo)F(2,0)得p=4,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2. 答案:x=-2. 9. (xx·山東高考文科·T15) 已知雙曲線的焦距為,右頂點為,拋物線的焦點為,若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為,且,則雙曲線的漸近線方程為. 【解題指南】本題考查了雙曲線知識,利用雙曲線與拋物線的交點為突破口求出a,b之間的關(guān)系,進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程. 【解析】 由題意知, 拋

7、物線準(zhǔn)線與雙曲線的一個交點坐標(biāo)為, 即代入雙曲線方程為,得, 漸近線方程為,. 答案: 10.(xx·陜西高考文科·T11)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為    . 【解題指南】根據(jù)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=-可以得到所求準(zhǔn)線方程. 【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)得拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1. 答案:x=-1 三、解答題 11.(xx·福建高考文科·T21)21.(本小題滿分12分) 已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2. (1) 求曲線的方程; (2) 曲線在點處的切線與軸交于點.直線分別與直線及軸交于點,以為直徑作圓,過點作圓的切線,切

8、點為,試探究:當(dāng)點在曲線上運(yùn)動(點與原點不重合)時,線段的長度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論. 【解題指南】(1)由題意曲線符合拋物線的定義,直接寫出曲線方程.(2)利用點P的坐標(biāo)表示直線的方程,求出點A,點M的坐標(biāo),進(jìn)而求出圓C的圓心和半徑,表示出AB的長,經(jīng)過計算為定值. 【解析】.方法一(1)設(shè)為曲線上任意一點, 依題意,點S到的距離與它到直線的距離相等, 所以曲線是以點為焦點,直線為準(zhǔn)線的拋物線, 所以曲線的方程為. (2)當(dāng)點P在曲線上運(yùn)動時,線段AB的長度不變,證明如下: 由(1)知拋物線的方程為, 設(shè),則, 由,得切線的斜率, 所以切線的方程為,即. 由,得.

9、 由,得. 又,所以圓心, 半徑, . 所以點P在曲線上運(yùn)動時,線段AB的長度不變. 方法二: (1)設(shè)為曲線上任意一點, 則, 依題意,點只能在直線的上方,所以, 所以, 化簡得,曲線的方程為. (2)同方法一. P B A M F y x 0 12. (xx·浙江高考文科·T22)已知的三個頂點在拋物線C:上,F(xiàn)為拋物線C的焦點,點M為AB的中點,; (1)若,求點M的坐標(biāo); (2)求面積的最大值. 【解題提示】(1)根據(jù)拋物線的定義,利用條件|PF|=3,求建立方程關(guān)系即可求點M的坐標(biāo); (2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,利用直線和

10、拋物線聯(lián)立結(jié)合弦長公式公式以及點到直線的距離公式,利用導(dǎo)數(shù)即可求出三角形面積的最值. 【解析】(1)由題意知焦點,準(zhǔn)線方程為, 設(shè),由拋物線的定義可知,解得,所以,即或由,得或。 (2)設(shè)直線AB的方程為,,, 由得, 于是 即AB的中點M的坐標(biāo)為(2k,2k2+m) 由,得 解得,由,得, 由△>0,k>0得, 又因為, 點F到直線AB的距離, 所以, 設(shè), 則令=0,解得, 于是f(m)在是增函數(shù),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù), 又, 所以當(dāng)時,f(m)取得最大值,此時, ∴△ABP面積的最大值為. 13.(xx·陜西高考理科·T20)(本小題滿分13

11、分) 如圖,曲線C由上半橢圓C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分拋物線C2:y=-x2+1(y≤0)連接而成,C1,C2的公共點為A,B,其中C1的離心率為. (1)求a,b的值. (2)過點B的直線l與C1,C2分別交于P,Q(均異于點A,B),若AP⊥AQ,求直線l的方程. 【解題指南】(1)在C1,C2的方程中,令y=0可得b值,再利用橢圓中a,b,c的關(guān)系及離心率求得a值.(2)利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系分別用直線l與C1,C2的方程聯(lián)立,求得點P,Q的坐標(biāo),結(jié)合條件AP⊥AQ,求直線l的方程. 【解析】(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,

12、0),B(1,0)是上半橢圓C1的左右頂點. 設(shè)C1的半焦距為c,由=及a2-c2=b2=1得a=2. 所以a=2,b=1. (2)由(1)知,上半橢圓C1的方程為+x2=1(y≥0). 易知,直線l與x軸不重合也不垂直,設(shè)其方程為y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0. (*) 設(shè)點P的坐標(biāo)為(xp,yp), 因為直線l過點B,所以x=1是方程(*)的一個根, 由求根公式,得xp=,從而yp=, 所以點P的坐標(biāo)為. 同理,由得Q點的坐標(biāo)為(-k-1,-k2-2k). 所以=(k,-4),=-k(1,k+2). 因為AP⊥AQ,所以·=0,即[k-4(k+2)]=0, 因為k≠0,所以k-4(k+2)=0,解得k=-. 經(jīng)檢驗,k=-符合題意, 故直線l的方程為y=-(x-1).

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