《（浙江專版）2019版高考數學大一輪復習 第八章 立體幾何初步 第1節(jié) 空間幾何體的結構、三視圖和直觀圖學案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專版）2019版高考數學大一輪復習 第八章 立體幾何初步 第1節(jié) 空間幾何體的結構、三視圖和直觀圖學案 理（18頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第1節(jié)　空間幾何體的結構、三視圖和直觀圖 最新考綱　1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構；2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖；3.會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式． 知 識 梳 理 1．簡單多面體的結構特征 (1)棱柱的側棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多邊形； (2)棱錐的底面是任意多邊形，側面是有一個公共頂點的三角形； (3)棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到

2、，其上、下底面是相似多邊形． 2．旋轉體的形成 幾何體 旋轉圖形 旋轉軸 圓柱 矩形 任一邊所在的直線 圓錐 直角三角形 任一直角邊所在的直線 圓臺 直角梯形 垂直于底邊的腰所在的直線 球 半圓 直徑所在的直線 3.三視圖 (1)幾何體的三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線． (2)三視圖的畫法 ①基本要求：長對正，高平齊，寬相等． ②在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線． 4．直觀圖 空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀

3、圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直． (2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄? [常用結論與微點提醒] 1．常見旋轉體的三視圖 (1)球的三視圖都是半徑相等的圓． (2)水平放置的圓錐的正視圖和側視圖均為全等的等腰三角形． (3)水平放置的圓臺的正視圖和側視圖均為全等的等腰梯形． (4)水平放置的圓柱的正視圖和側視圖均為全等的矩形． 2．臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側棱延長后必交于一點． 3

4、．空間幾何體不同放置時其三視圖不一定相同． 4．對于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，易忽視實虛線的畫法． 診 斷 自 測 1．思考辨析(在括號內打“√”或“×”) (1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(　　) (2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(　　) (3)用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°.(　　) (4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．(　　) 解析　(1)反例：由兩個平行六面體上下組合在一起的圖形

5、滿足條件，但不是棱柱． (2)反例：如圖所示不是棱錐． (3)用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，把x，y軸畫成相交成45°或135°，平行于x軸的線還平行于x軸，平行于y軸的線還平行于y軸，所以∠A也可能為135°. (4)正方體和球的三視圖均相同，而圓錐的正視圖和側視圖相同，且為等腰三角形， 其俯視圖為圓心和圓． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是(　　) A．圓柱 B．圓錐 C．四面體 D．三棱柱 解析　由三視圖知識知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其正視圖為三角形，而圓柱的正視圖不可能為三

6、角形． 答案　A 3.如圖，長方體ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的幾何體是(　　) A．棱臺　　　　　 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 解析　由幾何體的結構特征，剩下的幾何體為五棱柱． 答案　C 4.將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側視圖為(　　) 解析　先根據正視圖和俯視圖還原出幾何體，再作其側視圖．由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體為圖①，故其側視圖為圖②. 答案　B 5.正△AOB的邊長為a，建立如圖所示的直角坐標系xOy，則它的直觀圖的面積是

7、________． 解析　畫出坐標系x′O′y′，作出△OAB的直觀圖O′A′B′(如圖)．D′為O′A′的中點．易知D′B′＝DB(D為OA的中點)， ∴S△O′A′B′＝×S△OAB＝×a2＝a2. 答案　a2 6．(2017·浙江五校聯考)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點(異于C點)，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為M. 當CQ＝________時(用數值表示)，M為等腰梯形； 當CQ＝4時，M的面積為________． 解析　連接AP交DC的延長線于點N，當點Q為CC1的中點，即CQ＝2時，連

8、接D1N，則D1N過點Q，PQ綉AD1，顯然AP＝D1Q，M為等腰梯形；當CQ＝4時，NQ交棱DD1延長線上一點(設為G)，且GD1＝4，AG過A1D1的中點，此時M為菱形，其對角線長分別為4和4，故其面積為8. 答案　2　8 考點一　空間幾何體的結構特征 【例1】 (1)給出下列命題： ①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線； ②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐； ③棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等． 其中正確命題的個數是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)以下命題： ①以直角梯形

9、的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺； ②圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面； ③一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺． 其中正確命題的個數為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　(1)①不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；②不一定，當以斜邊所在直線為旋轉軸時，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形，各側棱延長線交于一點，但是側棱長不一定相等． (2)由圓臺的定義可知①錯誤，②正確．對于命題③，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個圓錐和

10、一個圓臺，③不正確． 答案　(1)A　(2)B 規(guī)律方法　(1)關于空間幾何體的結構特征辨析關鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例即可． (2)圓柱、圓錐、圓臺的有關元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關系． (3)既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略． 【訓練1】 下列結論正確的是(　　) A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐 B．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體 C．棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐

11、 D．圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線 解析　如圖1知，A不正確．如圖2，兩個平行平面與底面不平行時，截得的幾何體不是旋轉體，則B不正確． 若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側棱長必然要大于底面邊長，C錯誤．由母線的概念知，選項D正確． 答案　D 考點二　空間幾何體的三視圖(多維探究) 命題角度1　由空間幾何體的直觀圖判斷三視圖 【例2－1】 一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是(　　) 解析　該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個五面體，下面是一個長方體，且五面體的一個面即為長方體的一個面

12、，五面體最上面的棱的兩端點在底面的射影距左右兩邊距離相等，因此選項B適合． 答案　B 命題角度2　由三視圖判定幾何體 【例2－2】 (1)如圖，網格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是(　　) A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱 (2)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為(　　) A．1 B. C. D．2 解析　(1)由題知，該幾何體的三視圖為一個三角形、兩個四邊形，經分析可知該幾何體為三棱柱，故選B. (2)由題中三視圖知，此四棱錐的直觀圖如圖所示，其中PC⊥平面ABCD，PC＝1，底

13、面四邊形ABCD為正方形且邊長為1，最長棱長PA＝＝. 答案　(1)B　(2)C 規(guī)律方法　(1)由實物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖，按照“正側一樣高，正俯一樣長，俯側一樣寬”的特點確認． (2)根據三視圖還原幾何體． ①對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉． ②明確三視圖的形成原理，并能結合空間想象將三視圖還原為直觀圖． ③根據三視圖的形狀及相關數據推斷出原幾何圖形中的點、線、面之間的位置關系及相關數據． 提醒　對于簡單組合體的三視圖，首先要確定正視、側視、俯視的方向，其次要注意組合體由哪些幾何體組成，弄清它們的組成方式，特別應注意它們的交線的位置，區(qū)分好實線和虛線的不同． 【訓

14、練2】 (1)將正方體(如圖1所示)截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的側視圖為(　　) (2)(2018·杭州一模)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的側面PAB的面積是(　　) A. B．2 C. D. 解析　(1)還原正方體后，將D1，D，A三點分別向正方體右側面作垂線，D1A的射影為C1B，且為實線，B1C被遮擋應為虛線．故選B. (2)由三視圖可知：該幾何體是一個三棱錐，底面是一個正三角形，后面的側棱與底面垂直． ∴該幾何體的側面PAB的面積 ＝×2×＝. 答案　(1)B　(2)D 考點三　空間幾何體的直觀圖 【

15、例3】 已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________． 解析　如圖所示，作出等腰梯形ABCD的直觀圖： 因為OE＝＝1， 所以O′E′＝，E′F＝， 則直觀圖A′B′C′D′的面積S′＝×＝. 答案　 規(guī)律方法　(1)畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標軸成45°或135°)和“二測”(平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z軸的線段長度不變)來掌握．對直觀圖的考查有兩個方向，一是已知原圖形求直觀圖的相關量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關量．

16、 (2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系： S直觀圖＝S原圖形． 【訓練3】 (2017·余姚一中檢測)有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________． 解析　如圖1，在直觀圖中，過點A作AE⊥BC，垂足為E. 在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝. 又四邊形AECD為矩形，AD＝EC＝1. ∴BC＝BE＋EC＝＋1. 由此還原為原圖形如圖2所示，是直角梯形A′B′C′D′. 在梯形A′B′C′D′中，A′D

17、′＝1，B′C′＝＋1，A′B′＝2. ∴這塊菜地的面積S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋. 答案　2＋ 基礎鞏固題組 一、選擇題 1．關于空間幾何體的結構特征，下列說法不正確的是(　　) A．棱柱的側棱長都相等 B．棱錐的側棱長都相等 C．三棱臺的上、下底面是相似三角形 D．有的棱臺的側棱長都相等 解析　根據棱錐的結構特征知，棱錐的側棱長不一定都相等． 答案　B 2．如圖所示的幾何體是棱柱的有(　　) A．②③⑤ B．③④⑤ C．③⑤ D．①③ 解析　由棱柱的定義知③⑤兩個幾何體是棱柱． 答案　C 3．將長方體截去一個四棱錐后得

18、到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側視圖為(　　) 解析　易知側視圖的投影面為矩形，又AF的投影線為虛線，即為左下角到右上角的對角線，∴該幾何體的側視圖為選項D. 答案　D 4．如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖和俯視圖，該幾何體的側視圖為(　　) 解析　由直觀圖和正視圖、俯視圖可知，該幾何體的側視圖應為面PAD，且EC投影在面PAD上且為實線，點E的投影點為PA的中點，故B正確． 答案　B 5.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為(　　) A．6 　　　 　B．4 C．6 　　　　 D．4

19、 解析　如圖，設輔助正方體的棱長為4，三視圖對應的多面體為三棱錐A－BCD，最長的棱為AD＝＝6. 答案　C 6．某幾何體的正視圖和側視圖均為如圖所示的圖形，則在下圖的四個圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是(　　) A．①③ B．①④ C．②④ D．①②③④ 解析　由正視圖和側視圖知，該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體，故①③正確． 答案　A 7．(2017·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為(　　) A．3 B．2 C．2 D．2 解析　由三視圖知可把四棱錐放在一個正方體內部，四棱錐為D－BCC1B1，最長棱為D

20、B1＝ ＝＝2. 答案　B 8．(2018·紹興一中適應性考試)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F分別是棱AD，B1C1上的動點，設AE＝λ，B1F＝μ.若平面BEF與正方體的截面是五邊形，則λ＋μ的取值范圍是(　　) A．(1，2) B. C. D. 解析　通過特殊位置來分析，當AE＝λ→1時(此時，E與D接近重合)，若B1F＝μ→0(此時，B1與F接近重合)，此時截面是四邊形，隨著B1F＝μ的變大，平面BEF與正方體的截面是五邊形，由此知λ＋μ＞1；隨著B1F＝μ→1，平面BEF與正方體的截面仍是五邊形，當兩者均為1時，截面是三角形，由此

21、知λ＋μ＜2，故1＜λ＋μ＜2，故選A. 答案　A 二、填空題 9．已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側視圖是一個面積為的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于________． 解析　由題知此正方體的正視圖與側視圖是一樣的，正視圖的面積與側視圖的面積相等為. 答案　 10．(2017·臺州調研)直觀圖(如圖)中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長為2 cm，則在xOy原坐標系中四邊形為________(填圖形形狀)；面積為________cm2. 解析　將直觀圖恢復到平面圖形(如圖)， 是OA＝2 cm，OC＝4 cm的矩形，SOABC＝2×4＝8(c

22、m2)． 答案　矩形　8 11．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為________． 解析　由題中三視圖可知，三棱錐的直觀圖如圖所示，其中PA⊥平面ABC，M為AC的中點，且BM⊥AC.故該三棱錐的最長棱為PC.在Rt△PAC中，PC＝＝＝2. 答案　2 12.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P是上底面A1B1C1D1內一動點，則三棱錐P－ABC的正視圖與側視圖的面積的比值為________． 解析　三棱錐P－ABC的正視圖與側視圖為底邊和高均相等的三角形，故它們的面積相等，面積比值為1. 答案　1 13．(2017·金華調研)在三棱錐

23、P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過點G作三棱錐的一個截面，使截面平行于直線PB和AC.則截面的周長為________． 解析　過點G作EF∥AC交PA，PC于點E，F，過E，F分別作EN∥PB，FM∥PB分別交AB，BC于點N，M，連接MN，∴四邊形EFMN是平行四邊形，∴＝，即EF＝MN＝2，＝＝，即FM＝EN＝2，∴截面的周長為2×4＝8. 答案　8 能力提升題組 14．在如圖所示的空間直角坐標系O－xyz中，一個四面體的頂點坐標分別是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，給出編號①②③④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為

24、(　　) A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和② 解析　如圖，在坐標系中標出已知的四個點，根據三視圖的畫圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為④，俯視圖為②. 答案　D 15．(2018·金華一中模擬)正四面體的棱長為2，以其中心O為球心作球，球面與正四面體四個面相交所成的曲線總長度為4π，則球O的半徑為(　　) A. B. C.或 D.或 解析　設球O的半徑為R，若正四面體一個面截球如圖1所示，則小圓周長為π，所以小圓半徑為，又球心到四面體的面的距離為1，故R＝＝；若正四面體一個面截球如圖2所示，記D為AC的中點，由題意知＝.設小圓O1的半徑為r，則∠

25、AO1B＝，又∠BO1C＝，∠AO1D＝(∠BO1C－∠AO1B)＝－，O1D＝，所以cos＝?、? 令f(r)＝cos－，則f′(r)＝－. sin＋＞0，所以函數f(r)在(0，＋∞)上單調遞增，且最多有一個零點，而f(2)＝0，所以方程①有唯一解2，從而R＝＝，所以球O的半徑是或，故選D. 答案　D 16．(2017·紹興一中檢測)已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，那么原△ABC的面積為________． 解析　如圖，過C′作y′軸的平行線C′D′，與x′軸交于點D′. 則C′D′＝＝a. 又C′D′是原△ABC的高CD的直觀圖，所以CD＝

26、a. 故S△ABC＝AB·CD＝a2. 答案　a2 17．(2016·北京卷)某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________． 解析　由題中三視圖可畫出長為2、寬為1、高為1的長方體，將該幾何體還原到長方體中，如圖所示，該幾何體為四棱柱ABCD－A′B′C′D′. 故該四棱柱的體積V＝Sh＝×(1＋2)×1×1＝. 答案　 18．(2017·寧波檢測)正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面邊長為，側棱長為1，則動點從A沿表面移動到E1時的最短路程是________；動點從A沿表面移動到D1時的最短路程為________． 解析　側面展開圖如圖(1)，(2)，∴從A沿表面到E1的最短路程為AE1＝＝＝3.從A沿表面到D1的最短路程為AD1＝＝ ＝. 　　　 (1)　　　　　　　　　 (2) 答案　3　 18