《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 1 第1講 平面向量的概念及線性運算教學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 1 第1講 平面向量的概念及線性運算教學(xué)案（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 知識點 最新考綱 平面向量的幾何 意義及基本概念 理解平面向量及幾何意義，理解零向量、向量的模、單位向量、向量相等、平行向量、向量夾角的概念. 向量的線性運算 掌握平面向量加法、減法、數(shù)乘的概念，并理解其幾何意義. 平面向量的基本 定理及坐標表示 理解平面向量的基本定理及其意義，會用平面向量基本定理解決簡單問題． 掌握平面向量的正交分解及其坐標表示． 掌握平面向量的加法、減法與數(shù)乘的坐標運算. 平面向量的數(shù)量 積及向量的應(yīng)用 理解平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義． 掌握平面向量數(shù)量積的坐標運算，掌握數(shù)量積與兩個向量的夾角之

2、間的關(guān)系． 會用坐標表示平面向量的平行與垂直． 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題. 復(fù)　數(shù) 了解復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模和復(fù)數(shù)相等的概念． 了解復(fù)數(shù)的加、減運算的幾何意義． 理解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算. 第1講　平面向量的概念及線性運算 1．向量的有關(guān)概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的． (3)單位向量：長度等于1個單位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線． (5)相等向量：長度相等且方向相同的向量． (6)相反

3、向量：長度相等且方向相反的向量． 2．向量的線性運算 向量 運算 定義 法則(或幾 何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 交換律：a＋b＝b＋a； 結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算 a－b＝a＋(－b) 續(xù)　表 向量 運算 定義 法則(或幾 何意義) 運算律 數(shù)乘 求實數(shù)λ與向量a的積的運算 |λ a|＝|λ||a|，當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與 a的方向相反；當λ＝0時，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ__a； λ(a＋b)＝λ

4、a＋λb 3.兩個向量共線定理 向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa． [說明]　三點共線的等價關(guān)系 A，P，B三點共線?＝λ(λ≠0)?＝(1－t)·＋t(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，t∈R)?＝x＋y(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，x∈R，y∈R，x＋y＝1)． [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段表示向量．(　　) (2)＋＋＝.(　　) (3)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反．(　　) (4)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上

5、．(　　) (5)若a∥b，b∥c，則a∥c.(　　) (6)當兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ [教材衍化] (必修4P108B組T5改編)在平行四邊形ABCD中，若|＋|＝|－|，則四邊形ABCD的形狀為________． 解析：如圖，因為＋＝，－＝，所以||＝||.由對角線相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形． 答案：矩形 [易錯糾偏] (1)對向量共線定理認識不準確； (2)向量線性運算不熟致錯； (3)向量三角不等式認識不清致錯． 1．對于非零向量a，b，

6、“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A.若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b.若a∥b，則a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件． 2．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＝________，λ2＝________． 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝. 答案：－　 3．已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，則|a－b|的取值范圍為________． 解析：當a與b方向相同

7、時，|a－b|＝2，當a與b方向相反時，|a－b|＝6，當a與b不共線時，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范圍為[2，6]．此題易忽視a與b方向相同和a與b方向相反兩種情況． 答案：[2，6] 　　　　　　平面向量的有關(guān)概念 給出下列命題： ①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同； ②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； ③若A，B，C，D是不共線的四點，且＝，則ABCD為平行四邊形； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； 其中真命題的序號是________． 【解析】?、偈清e誤的，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，

8、不一定有相同的起點和終點． ②是錯誤的，|a|＝|b|，但a，b方向不確定，所以a，b不一定相等或相反． ③是正確的，因為＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形． ④是錯誤的，當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要條件，而是必要不充分條件． 【答案】?、? 平面向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點 (1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性． (2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)． (3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與

9、函數(shù)圖象的移動混淆． (4)非零向量a與的關(guān)系：是與a同方向的單位向量．　 　給出下列命題： ①兩個具有公共終點的向量一定是共線向量； ②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大??； ③若λa＝0(λ為實數(shù))，則λ必為零； ④已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中正確命題的個數(shù)為(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：選A.①錯誤．兩向量共線要看其方向而不是看起點與終點．②正確．因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，故可以比較大?。坼e誤．當a＝0時，無論λ為何值，λa＝0.④錯誤．當λ＝μ＝0時

10、，λa＝μb，此時，a與b可以是任意向量． 　　　　　　平面向量的線性運算(高頻考點) 平面向量的線性運算包括向量的加、減及數(shù)乘運算，是高考考查向量的熱點．常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．主要命題角度有： (1)用已知向量表示未知向量； (2)求參數(shù)的值． 角度一　用已知向量表示未知向量 如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個靠近B點的三等分點，那么等于(　　) A.－ B.＋ C.＋ D.－ 【解析】　在△CEF中，有＝＋. 因為點E為DC的中點，所以＝. 因為點F為BC的一個靠近B點的三等分點， 所以＝. 所以＝＋＝＋ ＝－，故選D.

11、 【答案】　D 角度二　求參數(shù)的值 如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于點H，M為AH的中點．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________． 【解析】　因為AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1. 因為點M為AH的中點， 所以＝＝(＋) ＝＝＋， 又＝λ＋μ， 所以λ＝，μ＝， 所以λ＋μ＝. 【答案】　 向量線性運算的解題策略 (1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則． (2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向

12、量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解．　 1．(2020·嘉興質(zhì)檢)已知平行四邊形ABCD，點M1，M2，M3，…，Mn－1和N1，N2，N3，…，Nn－1分別將線段BC和DC進行n等分(n∈N*，n≥2)，如圖，若＋＋…＋AMn－1＋＋＋…＋ANn－1＝45，則n＝(　　) A．29 B．30 C．31 D．32 解析：選C.由題圖知，因為＝＋，＝＋，…，AMn－1＝＋， ＝＋，＝＋，…，ANn－1＝＋.＝，＝. 所以＋＋…＋AMn－1＋＋＋…＋ANn－1＝· (＋)＝， 所以＝45，解得n＝31.故選C. 2．(2019·高考浙江卷)已知正方

13、形ABCD的邊長為1.當每個λi(i＝1，2，3，4，5，6)取遍±1時，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________． 解析：以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖，則A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以當時，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此時|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，則|λ

14、1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最大值＝2. 答案：0　2 　　　　　　平面向量共線定理的應(yīng)用 設(shè)兩個非零向量a與b不共線． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線； (2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． 【解】　(1)證明：因為＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， 所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，所以，共線， 又它們有公共點B，所以A，B，D三點共線． (2)因為ka＋b與a＋kb共線， 所以存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又a，b是兩個不共線

15、的非零向量， 所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.所以k＝±1. 　 1．設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，則向量a＝2e1－e2與向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共線的充要條件是(　　) A．λ＝0 B．λ＝－1 C．λ＝－2 D．λ＝－ 解析：選D.因為a＝2e1－e2，b＝e1＋λe2，e1，e2不共線， 因為a，b共線?b＝a?b＝e1－e2?λ＝－. 2.如圖，在△ABC中，D為BC的四等分點，且靠近點B，E，F(xiàn)分別為AC，AD的三等分點，且分別靠近A，D兩點，設(shè)＝a，＝b. (1)試用a，b表示，，； (2)證明：B，E，F(xiàn)三點共線． 解

16、：(1)△ABC中，＝a，＝b， 所以＝－＝b－a， ＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b， ＝＋＝－＋＝－a＋b. (2)證明：＝－a＋b， ＝＋＝－＋ ＝－a＋＝－a＋b＝， 所以＝， 所以與共線，且有公共點B， 所以B，E，F(xiàn)三點共線． 核心素養(yǎng)系列10　數(shù)學(xué)運算——共線定理的推廣與應(yīng)用 [共線定理]　已知，為平面內(nèi)兩個不共線的向量，設(shè)＝x＋y，則A，B，C三點共線的充要條件為x＋y＝1. [推廣形式]　如圖所示，直線DE∥AB，C為直線DE上任一點，設(shè)＝x＋y(x，y∈R)． 當直線DE不過點P時，直線PC與直線AB的交點記為F，因為點F在直線AB上，所以由三

17、點共線結(jié)論可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1.由△PAB與△PED相似，知必存在一個常數(shù)m∈R，使得＝m ，則＝m＝mλ＋mμ. 又＝x＋y(x，y∈R)，所以x＋y＝mλ＋mμ＝m. 以上過程可逆． 因此得到結(jié)論：＝x＋y， 則x＋y＝m(定值)，反之亦成立． (應(yīng)用實例) 如圖，在正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(nèi)(包括邊界)的動點，設(shè)＝α＋β(α，β∈R)，則α＋β的取值范圍是________． 【解析】　當P在△CDE內(nèi)時，直線EC是最近的平行線，過D點的平行線是最遠的，所以α＋β∈＝[3，4]． 【答案】　[3，4] 如圖所示，A，B，C是圓O

18、上的三點，線段CO的延長線與BA的延長線交于圓O外一點D，若＝m＋n，則m＋n的取值范圍是________． 【解析】　由點D是圓O外的一點，可設(shè)＝λ(λ＞1)，則＝＋＝＋λ＝λ＋(1－λ).因為C，O，D三點共線，令＝－μ(μ＞1)，所以＝ －－·(λ＞1，μ＞1)．因為＝m＋n，所以m＝－，n＝－，則m＋n＝－－＝－∈(－1，0)． 【答案】　(－1，0) 如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝，C為弧AB上的動點，若＝x＋y，則x＋3y的取值范圍是________． 【解析】?。絰＋3y，如圖，作＝，則考慮以向量，為基底．顯然，當C在A點時，經(jīng)過m＝1的平行線，當C在B點時，經(jīng)過m

19、＝3的平行線，這兩條線分別是最近與最遠的平行線，所以x＋3y的取值范圍是[1，3]． 【答案】　[1，3] [基礎(chǔ)題組練] 1．下列各式中不能化簡為的是(　　) A.＋(＋)　 　　 B．(＋)＋(－) C.－＋ D.＋－ 解析：選D.＋(＋)＝＋＋＝＋＝；(＋)＋(－)＝(＋)＋(－)＝＋＝；－＋＝＋＝； ＋－＝－， 顯然由－得不出， 所以不能化簡為的式子是D. 2．設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是(　　) A．a(chǎn)與λa的方向相反 B．a(chǎn)與λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a 解析：選B.對于A，

20、當λ>0時，a與λa的方向相同，當λ<0時，a與λa的方向相反；B正確；對于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關(guān)系不確定；對于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長度，兩者不能比較大小． 3．(2020·浙江省新高考學(xué)科基礎(chǔ)測試)設(shè)點M是線段AB的中點，點C在直線AB外，||＝6，|＋|＝|－|，則||＝(　　) A．12　　　　　　　　　　 B．6 C．3 D. 解析：選C.因為|＋|＝2||，|－|＝||，所以2||＝||＝6， 所以||＝3，故選C. 4．已知a，b是任意的兩個向量，則下列關(guān)系式中不恒成立的是(　　)

21、 A．|a|＋|b|≥|a－b| B．|a·b|≤|a|·|b| C．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 D．(a－b)3＝a3－3a2·b＋3a·b2－b3 解析：選D.由三角形的三邊關(guān)系和向量的幾何意義，得|a|＋|b|≥|a－b|，所以A正確； 因為|a·b|＝|a||b||cos a，b|，又|cos a，b|≤1， 所以|a·b|≤|a||b|恒成立，B正確； 由向量數(shù)量積的運算，得(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，C正確；根據(jù)排除法，故選D. 5．已知a，b是非零向量，命題p：a＝b，命題q：|a＋b|＝|a|＋|b|，則p是q的(　　) A．充分不必要

22、條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A.若a＝b，則|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p?q， 若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的運算知a與b同向共線， 即a＝λb，且λ＞0，故q p. 所以p是q的充分不必要條件，故選A. 6．(2020·溫州市普通高中模考)已知A，B，C是圓O上不同的三點，線段CO與線段AB交于點D，若＝λ＋μ(λ＞0，μ＞0)，則λ＋μ的取值范圍是(　　) A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(1， ] D．(0， ) 解析：選B.由題意可得＝k＝k

23、λ＋kμ(0＜k＜1)，又A，D，B三點共線，所以kλ＋kμ＝1，則λ＋μ＝＞1，即λ＋μ的取值范圍是(1，＋∞)，選項B正確． 7．已知?ABCD的對角線AC和BD相交于O，且＝a，＝b，則＝________，＝________(用a，b表示)． 解析：如圖，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b. 答案：b－a　－a－b 8．(2020·溫州質(zhì)檢)如圖所示，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，＝2，設(shè)∥，若＝＋λ(λ∈R)，則λ的值為 ________． 解析：因為＝2，所以＝＋＝＋，又∥，可設(shè)＝m，從而＝＋＝＋＋＝＋.因為＝＋λ，所以＝，λ＝1＋＝. 答案： 9．若||

24、＝8，||＝5，則||的取值范圍是________． 解析：＝－，當，同向時，||＝8－5＝3；當，反向時，||＝8＋5＝13；當，不共線時，3＜||＜13.綜上可知3≤||≤13. 答案：[3，13] 10．(2020·杭州中學(xué)高三月考)已知P為△ABC內(nèi)一點，且5－2－＝0，則△PAC的面積與△ABC的面積之比等于________． 解析：因為5－2－＝0， 所以＝＋， 延長AP交BC于D，則＝＋＝， 從而可以得到D是BC邊的三等分點，且CD＝CB， 設(shè)點B到邊AC的距離為d，則點P到邊AC的距離為×d＝d， 所以△PAC的面積與△ABC的面積之比為. 答案： 11.

25、在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示，. 解：＝(＋)＝a＋b. ＝＋＝＋＝＋(＋) ＝＋(－)＝＋＝a＋b. 12．經(jīng)過△OAB重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設(shè)＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值． 解：設(shè)＝a，＝b，則＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b. 由P，G，Q共線得，存在實數(shù)λ使得＝λ， 即nb－ma＝λa＋λb， 從而 消去λ，得＋＝3. [綜合題組練] 1．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且＝2，則△PAB與△PBC的面積的比值是(　　) A.

26、 B. C. D. 解析：選B.因為＝2，所以＝，又△PAB在邊PA上的高與△PBC在邊PC上的高相等，所以＝＝. 2．(2020·福建省普通高中質(zhì)量檢查)已知D，E是△ABC邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若＝x＋y，則xy的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選D.由題意，知P，B，C三點共線，則存在實數(shù)λ使＝λ，所以－＝λ(－)，所以＝－λ＋(λ＋1)，則，所以x＋y＝1且≤x≤，于是xy＝x(1－x)＝－＋，所以當x＝時，xy取得最大值；當x＝或x＝時，xy取得最小值，所以xy的取值范圍為，故選D. 3．(2020·浙江名校協(xié)作體高三聯(lián)考)如

27、圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB的延長線，AC于不同的兩點M，N，若＝m，＝n，則m＋n＝________． 解析：作BG∥AC，則BG∥NC，＝. 因為O是BC的中點，所以△NOC≌△GOB， 所以|BG|＝|NC|，又因為|AC|＝n|AN|， 所以|NC|＝(n－1)|AN|，所以＝n－1. 因為|AB|＝m|AM|，所以|BM|＝(1－m)|AM|， 所以＝1－m，所以n－1＝1－m，m＋n＝2. 答案：2 4.(2020·溫州市四校高三調(diào)研)如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分別為線段BC，CD上的點，且滿足＋＝1，若＝

28、x＋y，則x＋y的最小值為________． 解析：連接MN交AC于點G，由勾股定理，知MN2＝CM2＋CN2，所以1＝＋＝， 即MN＝CM·CN，所以C到直線MN的距離為定值1，此時MN是以C為圓心，1為半徑的圓的一條切線．因為＝x＋y＝(x＋y)·， 所以由共線定理知，＝(x＋y)， 所以x＋y＝＝， 又因為||max＝5－1＝4， 所以x＋y的最小值為. 答案： 5．如圖，EF是等腰梯形ABCD的中位線，M，N是EF上的兩個三等分點，若＝a，＝b，＝2. (1)用a，b表示； (2)證明A，M，C三點共線． 解：(1)＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b， 又E為AD中點

29、， 所以＝＝a＋b， 因為EF是梯形的中位線，且＝2， 所以＝(＋)＝＝a， 又M，N是EF的三等分點，所以＝＝a， 所以＝＋＝a＋b＋a＝a＋b. (2)證明：由(1)知＝＝a， 所以＝＋＝a＋b＝， 又與有公共點M，所以A，M，C三點共線． 6．已知O，A，B是不共線的三點，且＝m＋n(m，n∈R)．求證：A，P，B三點共線的充要條件是m＋n＝1. 證明：充分性：若m＋n＝1，則＝m＋(1－m)＝＋m(－)， 所以－＝m(－)， 即＝m， 所以與共線． 又因為與有公共點B，則A，P，B三點共線． 必要性：若A，P，B三點共線， 則存在實數(shù)λ，使＝λ， 所以－＝λ(－)． 又＝m＋n. 故有m＋(n－1)＝λ－λ， 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0. 因為O，A，B不共線，所以，不共線， 所以所以m＋n＝1. 所以A，P，B三點共線的充要條件是m＋n＝1. 17