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1、2022年高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1第一章《充分條件和必要條件》word教案2
課題
充分條件和必要條件
教學(xué)目標(biāo)
1) 理解充分條件,必要條件和充要條件的意義;
2) 會判斷充分條件,必要條件和充要條件.
3) 從集合的觀點理解充要條件。
4) 會證明簡單的充要條件的命題。
重 點
充分條件,必要條件和充要條件的判斷.
難 點
充要條件的理解和充要條件的命題的證明。
【知識點梳理】
1、命題“若p則q”為真,記作pq;“若p則q”為假,記作“p q”.
2、充分與必要條件:
①如果已知pq,則稱p是q的充分條件,而q是p的必要條件.
②如果既有
2、pq,又有qq,即pq,則稱p是q的充要條件.
3、充分、必要條件與四種命題的關(guān)系:
①如果p是q的充分條件,則原命題“若p則q”以及逆否命題“若 p則 q”都是真命題.
②如果p是q的必要條件,則逆命題“若q則p”以及否命題“若 p則 q”為真命題.
③如果p是q的充要條件,則四種命題均為真命題。
4、充要條件的判斷方法:
四種“條件”的情況反映了命題的條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系,所以在判斷時應(yīng)該:⑴確定條件是什么,結(jié)論是什么;⑵嘗試從條件推出結(jié)論,從結(jié)論推出條件(方法有:直接證法或間接證法,集合思想);⑶確定條件是結(jié)論的什么條件.
【典型例題分析】
3、例1.用“充分不必要條件,必要不充分條件,充要條件和既不充分也不必要條件”填空.
(1)是的___________________條件;
(2)是的___________________條件;
(3)是的___________________條件;
(4)是或的___________________條件.
分析:從集合觀點“小范圍大范圍”進(jìn)行理解判斷,注意特殊值的使用.
解:(1)因為結(jié)合不等式性質(zhì)易得,反之不成立,若,,有,但不成立,所以是的充分不必要條件.
(2)因為的解集為,的解集為,故是的必要不充分條件.
(3)當(dāng)時,均不存在;當(dāng)時,取,,但,所以是的既不充分也不必要條
4、件.
(4)原問題等價其逆否形式,即判斷“且是的____條件”,故是或的充分不必要條件.
點評:①判斷p是q的什么條件,實際上是判斷“若p則q”和它的逆命題“若q則p”的真假,若原命題為真,逆命題為假,則p為q的充分不必要條件;若原命題為假,逆命題為真,則p為q的必要不充分條件;若原命題為真,逆命題為真,則p為q的充要條件;若原命題,逆命題均為假,則p為q的既不充分也不必要條件.②在判斷時注意反例法的應(yīng)用.③在判斷“若p則q”的真假困難時,則可以判斷它的逆否命題“若q則p”的真假.
例2.已知p,q都是r的必要條件,s是r的充分條件,q是s的充分條件,則p是s的_________條件
5、.
分析:將各個命題間的關(guān)系用符號連接,易解答.
s
解:
故p是s的的充要條件.
點評:將語言符號化,可以起到簡化推理過程的作用.
例3.已知,,若是的必要不充分條件,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:若是的必要不充分條件等價其逆否形式,即是的必要不充分條件.
解:由題知:,
是的必要不充分條件,是的必要不充分條件.
,即得.
故m的取值范圍為.
點評:對于充分必要條件的判斷,除了直接使用定義及其等價命題進(jìn)行判斷外,還可以根據(jù)集合的包含關(guān)系來判斷條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系:若集合,則是的充分條件;若集合,則是的必要條件;若集合,則是的充要條件.
例4.求證
6、:關(guān)于x的方程有一個根為-1的充要條件是.
分析:充要條件的證明既要證充分性,也要證必要性.
證明:必要性:若是方程的根,求證:.
是方程的根,,即.
充分性:關(guān)于x的方程的系數(shù)滿足,求證:方程有一根為-1.
,,代入方程得:,
得,是方程的一個根.
故原命題成立.
點評:在代數(shù)論證中,充要條件的證明要證兩方面:充分性和必要性,缺一不可
【小結(jié)】
1. 理解充分條件,必要條件和充要條件的意義;會判斷充分條件,必要條件和充要條件.
2. 從集合的觀點理解充要條件,有以下一些結(jié)論:
若集合,則是的充分條件;
若集合,則是的必要條件;
若集合,則是的充要條件.
3. 會
7、證明簡單的充要條件的命題,進(jìn)一步增強邏輯思維能力
【課堂練習(xí)】
【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】
1.若,則是的充分條件.若,則是的必要條件.若,則是的充要條件.
2.用“充分不必要條件,必要不充分條件,充要條件和既不充分也不必要條件”填空.
(1)已知,,那么是的_____充分不必要___條件.
(2)已知兩直線平行,內(nèi)錯角相等,那么是的____充要_____條件.
(3)已知四邊形的四條邊相等,四邊形是正方形,那么是的__必要不充分 條件.
(4)已知,,那么是的____必要不充分___條件.
3.函數(shù)過原點的充要條件是.
4.對任意實數(shù)a,b,c,給出下列命題:
①“”是“”充
8、要條件;②“是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件;
③“a>b”是“a2>b2”的充分條件; ④“a<5”是“a<3”的必要條件.
其中真命題的序號是____②_④___.
5.若,則的一個必要不充分條件是.
【能力提高】
必要不充分
6.設(shè)集合,,則“”是“”的__________條件.
7.已知是的充分條件而不是必要條件,是的充分條件,是的必要條件,是的必要條件?,F(xiàn)有下列命題:①是的充要條件;②是的充分條件而不是必要條件;③是的必要條件而不是充分條件; ④的必要條件而不是充分條件;⑤是的充分條件而不是必要條件,其中正確命題序號是______①②④____.
8.已知條件,
9、條件.若是的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.
解:,若是的充分不必要條件,則.
若,則,即;
若,則解得.
綜上所述,.
【探究創(chuàng)新】
9.已知關(guān)于x的方程,.求:
(1)方程有兩個正根的充要條件;
(2)方程至少有一個正根的充要條件.
解:(1)方程有兩個正根的充要條件
設(shè)此時方程的兩實根為,,則
,的正數(shù)的充要條件是.
綜上,方程有兩個正根的充要條件為或.
(2)①方程有兩個正根,由(1)知或.
②當(dāng)時,方程化為,有一個正根.
③方程無零根,故方程有一正根,一負(fù)根的充要條件是即.
綜上,方程至少有一正根的充要條件是或.
【課后作業(yè)
10、】
1.設(shè)集合,,則“”是“”的_必要不充分
充分不必要
條件.
2.已知p:1<x<2,q:x(x-3)<0,則p是q的 條件.
3.設(shè),是定義在R上的函數(shù),,則“,均為偶函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的______充分不必要______條件.
4.已知,,則是的_____必要不充分_______條件.
5.集合A={x|<0},B={x || x -b|<a,若“a=1”是“A∩B≠”的充分條件,則b的取值范圍是.
6.有限集合中元素個數(shù)記作card,設(shè)、都為有限集合,給出下列命題:
①的充要條件是card= card+ card;
②的必要條件是cardcard;
③的充分條件是cardcard;
④的充要條件是cardcard.
其中真命題的序號是_①②__.
7.已知函數(shù),求證:函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件為.
證:充分性:定義域關(guān)于原點對稱.
,,,
所以,所以為偶函數(shù).
必要性:因為是偶函數(shù),則對任意x有,
得,即,所以.
綜上所述,原命題得證.
作業(yè)