(江蘇專用)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 階段復(fù)習(xí)課學(xué)案 蘇教版選修1-1
《(江蘇專用)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 階段復(fù)習(xí)課學(xué)案 蘇教版選修1-1》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 階段復(fù)習(xí)課學(xué)案 蘇教版選修1-1(10頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第二課 圓錐曲線與方程 [體系構(gòu)建] [題型探究] 圓錐曲線的定義的應(yīng)用 圓錐曲線的定義在解題中有著重要作用,要注意靈活運(yùn)用,可以優(yōu)化解題過(guò)程,圓錐曲線的定義是相對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的“源”,“回歸定義”是一種重要的解題策略. 運(yùn)用定義解題主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面: (1)在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí),如果動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件符合某種圓錐曲線的定義,則可直接根據(jù)圓錐曲線的方程寫(xiě)出所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程; (2)涉及橢圓或雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問(wèn)題,常常運(yùn)用圓錐曲線的定義并結(jié)合三角形中的正、余弦定理來(lái)解決; (3)在求有關(guān)拋物線的最值問(wèn)題時(shí),常利用定義,把拋物線上某
2、一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,并結(jié)合圖形的幾何意義去解決. 設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的一點(diǎn),若·=0,且PF1>PF2,求的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):95902159】 [思路探究] ·=0→ 【規(guī)范解答】 由·=0,知PF1⊥PF2,∴F1F=PF+PF, 由橢圓方程+=1,知a2=9,b2=4, ∴c==,F(xiàn)1F2=2.因此PF+PF=20. ① 又由橢圓定義,得PF1+PF2=6. ② 由題意知,PF1>PF2,聯(lián)立①、②得PF1=4,PF2=2.從而的值
3、為2. [跟蹤訓(xùn)練] 1.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-,0),F(xiàn)2(,0),P是雙曲線上一點(diǎn),且· =0,PF1·PF2=2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______. 【解析】 由題意可設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0).由· =0,得PF1⊥PF2. 根據(jù)勾股定理得PF+PF=(2c)2,即PF+PF=20. 根據(jù)雙曲線定義有PF1-PF2=2a.兩邊平方并代入PF1·PF2=2得: 20-2×2=4a2,解得a2=4,從而b2=5-4=1,所以雙曲線方程為-y2=1. 【答案】?。瓂2=1 圓錐曲線的方程與性質(zhì)的應(yīng)用 1.本類問(wèn)題主要有兩種考查類型: (1)已
4、知圓錐曲線的方程研究其幾何性質(zhì),其中以求橢圓、雙曲線的離心率為考查重點(diǎn); (2)已知圓錐曲線的性質(zhì)求其方程. 2.對(duì)于求橢圓和雙曲線的離心率,有兩種方法: (1)代入法就是代入公式e=求離心率; (2)列方程法就是根據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,c的關(guān)系式,然后把這個(gè)關(guān)系式整體轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程,解方程即可求出e值. 3.求曲線方程的基本方法是待定系數(shù)法,其步驟可以概括為“先定位、后定量.” 已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為,則p=________. [思路探究
5、] →→ 【規(guī)范解答】 ∵e=2,∴b2=3a2,雙曲線的兩條漸近線方程為y=±x,不妨設(shè)A=,B,則AB=p,又三角形的高為,則S△AOB=××p=,即p2=4,又p>0,∴p=2. 【答案】 2 [跟蹤訓(xùn)練] 2.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,則C的離心率e=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):95902160】 【解析】 在△ABF中,由余弦定理得,cos∠ABF=,∴BF2-16BF+64=0,∴BF=8,設(shè)右焦點(diǎn)為F1,因?yàn)橹本€過(guò)原點(diǎn),∴BF1=AF=6,∴2
6、a=BF+BF1=14,∴a=7, ∵O為Rt△ABF斜邊AB的中點(diǎn),∴OF=AB=5,∴c=5,∴e=. 【答案】 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1.判斷直線與二次曲線的位置關(guān)系,可把直線方程與二次方程聯(lián)立,消元后的一元二次方程的判別式大于零,則直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn);等于零,則只有一個(gè)交點(diǎn);小于零,則沒(méi)有交點(diǎn). 2.涉及直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題時(shí),一般不是求出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),而是設(shè)出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)直線方程和曲線方程聯(lián)立消元后的方程根的情況,使用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代換,這種設(shè)而不求的思想是解析幾何中處理直線和二次曲線相交問(wèn)題的最基本的方法. 設(shè)橢圓+=1(
7、a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為,過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn),若·+·=8,求k的值. [思路探究] (1)利用過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線方程,根據(jù)線段的長(zhǎng)度求出交點(diǎn)的坐標(biāo)并代入橢圓方程求出a和b,可得橢圓方程; (2)設(shè)出直線方程,和橢圓方程聯(lián)立得到二次方程,利用韋達(dá)定理把向量式用點(diǎn)的坐標(biāo)表示得到關(guān)于k的方程,解方程可得k的值. 【規(guī)范解答】 (1)設(shè)F(-c,0),由=,知a=c.過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為x=-c, 代入橢圓方程有+=1,解得y=±,于
8、是=,解得b=. 又a2-c2=b2,從而a=,c=1,所以橢圓的方程為+=1. (2)設(shè)點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1), 由方程組消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. 由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=-,x1x2=.因?yàn)锳(-,0),B(,0), 所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1) =6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2 =6+.由已知得6+=8,解得
9、k=±. [跟蹤訓(xùn)練] 3.已知拋物線C:y2=4x,F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)如果l的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程; (2)設(shè)FA=2BF,求直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):95902161】 【解】 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). (1)∵y2=4x,∴F(1,0),又∵直線l的斜率為1,∴直線l的方程為y=x-1,代入y2=4x,得x2-6x+1=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得,易得AB的中點(diǎn),即圓心的坐標(biāo)為(3,2), 又AB=x1+x2+p=8,∴圓的半徑r=4,∴所求的圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16.
10、 (2)∵FA=2BF,∴=2,而=(x1-1,y1),=(1-x2,-y2),∴ 易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x-1),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得 ∵x1-1=2(1-x2), ∴或,∴k=±2,∴直線l的方程為y=±2(x-1). 函數(shù)與方程思想 圓錐曲線中的許多問(wèn)題,若能運(yùn)用函數(shù)與方程的思想去分析,則往往能較快地找到解題的突破口. 用函數(shù)思想求解圓錐曲線中的有關(guān)定值、最值問(wèn)題,最值問(wèn)題可以說(shuō)是高中數(shù)學(xué)中永恒的話題,在圓錐曲線問(wèn)題中也不例外,而函數(shù)思想是解決最值問(wèn)題最有利的武器.我們通常
11、可用建立目標(biāo)函數(shù)的方法解有關(guān)圓錐曲線的最值問(wèn)題. 方程思想是從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手,通過(guò)聯(lián)想與類比,將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為方程或方程組,然后通過(guò)解方程或方程組使問(wèn)題獲解.方程思想是高中數(shù)學(xué)中的最基本、最重要的思想方法之一,在高考中占有非常重要的地位.在求圓錐曲線方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問(wèn)題中經(jīng)常利用方程或方程組來(lái)解決. 點(diǎn)A、B分別是橢圓+=1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且位于x軸上方,PA⊥PF. (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo); (2)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn),M到直線AP的距離等于MB,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):95902162】
12、 [思路探究] → →→ 【規(guī)范解答】 (1)由已知可得點(diǎn)A(-6,0),F(xiàn)(4,0).設(shè)點(diǎn)P(x,y),則kAP·kPF=-1. 由已知可得則2x2+9x-18=0.解得x=,或x=-6(舍去). 所以x=,由于y>0,故y=.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是. (2)易知直線AP的方程是x-y+6=0.設(shè)點(diǎn)M(m,0),則M到直線AP的距離是. 于是=|m-6|.又-6≤m≤6,解得m=2.橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)M的距離的平方為:d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x2=+15. 由于-6≤x≤6,所以當(dāng)x=時(shí),d取得最小值. [跟蹤訓(xùn)練] 4.如圖2-1,橢圓+=1
13、的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)A作直線AF的垂線分別交橢圓,x軸于B,C兩點(diǎn). 圖2-1 (1)若=λ,求實(shí)數(shù)λ的值; (2)設(shè)點(diǎn)P為三角形ACF的外接圓上的任意一點(diǎn),當(dāng)三角形PAB的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):95902163】 【解】 (1)由條件得F(-1,0),A(0,),kAF=. ∵AB⊥AF,∴kAB=-,AB:y=-x+. 令y=0,得x=3,∴C(3,0) 由得13x2-24x=0, 解得x1=0(舍),x2=, ∴B.∵=λ, ∴λ>0,且λ===. (2)∵△ACF是直角三角形, ∴△ACF的外接圓的圓心為D(1,0),半徑為
14、2, ∴圓D的方程為(x-1)2+y2=4. ∵AB長(zhǎng)為定值, ∴當(dāng)△PAB的面積最大時(shí),點(diǎn)P到直線AC的距離最大.過(guò)D作AC的垂線m,則點(diǎn)P為直線m與圓D的交點(diǎn). 直線m:y=(x-1)與(x-1)2+y2=4聯(lián)立 解得x=2(舍)或x=0,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-). [鏈接高考] 1.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,且與橢圓+=1有公共焦點(diǎn),則C的方程為_(kāi)_________. 【解析】 由雙曲線C的一條漸近線方程為y=x,可知=, ① 又橢圓+=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)和(-3,0), ∴a2+b2=9.
15、 ② 由①②聯(lián)立可解得a2=4,b2=5,所以雙曲線C的方程為-=1. 【答案】 -=1 2.已知橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F(-c,0),右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,c),△EFA的面積為,則橢圓的離心率為_(kāi)_________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):95902164】 【解析】 由已知可得(c+a)c=,又由b2=a2-c2,可得2e2+e-1=0,又因?yàn)?<e<1,解得e=. 【答案】 3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-y2=1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)P、Q,其焦點(diǎn)是F1,F(xiàn)2,則四邊形F
16、1PF2Q的面積是__________. 【解析】 由雙曲線的方程得,雙曲線的右準(zhǔn)線為x=,兩條漸近線方程為y=±x,右準(zhǔn)線與兩條漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,不妨設(shè)F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),P,Q 則四邊形F1PF2Q的面積為S四邊形F1PF2Q=|F1F2|·|PQ|=×4×=2. 【答案】 2 4.若雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則C的離心率為_(kāi)_________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):95902165】 【解析】 圓(x-2)2+y2=4的圓心為(2,0),半徑r=2. 不妨設(shè)雙曲線C的一條漸近線為y=x,即bx-ay=0
17、 因?yàn)樵摑u近線被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2 所以==,兩邊平方得3a2=b2,即=3 從而e===2. 【答案】 2 5.如圖2-2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為8,點(diǎn)P在橢圓E上,且位于第一象限,過(guò)點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1,過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2. 圖2-2 (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若直線l1,l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上,求點(diǎn)P的坐標(biāo). 【解】 (1)設(shè)橢圓的半焦距為c. 因?yàn)闄E圓E的離心率為,兩準(zhǔn)線之間的距離為8, 所以=,=8, 解得a=2,c=
18、1,于是b==, 因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1. (2)由(1)知,F(xiàn)1(-1,0),F(xiàn)2(1,0). 設(shè)P(x0,y0),因?yàn)镻為第一象限內(nèi)的點(diǎn),故x0>0,y0>0. 當(dāng)x0=1時(shí),l2與l1相交于F1,與題設(shè)不符. 當(dāng)x0≠1時(shí), 直線PF1的斜率為,直線PF2的斜率為. 因?yàn)閘1⊥PF1,l2⊥PF2, 所以直線l1的斜率為-,直線l2的斜率為-, 從而直線l1的方程為y=-(x+1), ① 直線l2的方程為y=-(x-1). ② 由①②,解得x=-x0,y=,所以Q. 因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓E上,由對(duì)稱性,得=±y0, 即x-y=1或x+y=1. 又點(diǎn)P在橢圓E上,故+=1. 由解得 無(wú)解. 因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 10
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