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1、2022高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 第四節(jié) 基本不等式1 基本不等式的證明習(xí)題 蘇教版必修5
(答題時間:40分鐘)
1. 已知下列不等式①x+≥2 ②x2+≥2 ③x<0,x+≤-2 ④x>0,x+≥2
其中不等式成立的是 。(填寫序號即可)
*2. 下列不等式的推導(dǎo)過程正確的是________。(填序號)
①若a,b∈R,則+≥2=2;
②若x>0,則 cos x+=2;
③若x<0,則=4;
④若a,b∈R,且ab<0,則+=-[(-)+(-)]≤-2=-2。
*3. 若0>>b
2、② b>>>a
③ b>>>a ④ b>a>>
4. 若a<1,則a+有最______(填“大”或“小”)值,為________。
*5. 若對任意x>0,≤a恒成立,則a的取值范圍為________。
6. 已知m=a+ (a>2),n=22-b2(b≠0),則m,n之間的大小關(guān)系是________。
**7.(新課標(biāo)Ⅱ)設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:
(1)ab+bc+ca≤;(2) ≥1。
**8.(蘇州市期末)已知a,b,x,y都是正數(shù),且a+b=1,
求證:(ax+by)(bx+ay)≥xy。
***9.已知a>0,b>0,a+b=1,求證:
(
3、1)≥8;
(2)≥9。
1. ② ③ ④
解析:①中,若x<0,則結(jié)論不成立;
②中,,成立;
③,成立;
④,成立。
2. ④
解析:對于①,不能確定與均為正數(shù),不能使用基本不等式,同理,知②也不正確。對于③,x與均為負(fù)數(shù),也不能使用基本不等式,所以③錯誤。對于④,將負(fù)數(shù)與分別轉(zhuǎn)化為正數(shù)-,-,然后再利用基本不等式求解,所以正確。故填④。
3. ③
解析:∵0a+b,∴b>。
∵b>a>0,∴ab>a2,∴>a,故b>>>a。
4. 大 -1
解析:∵a<1,∴a-1<0,
∴-=(1-a)+≥2(a=0時取等號),
∴a-1+≤-
4、2,∴a+≤-1。
5.
解析:∵x>0,∴>0,易知a>0,
∴≥,∴≤x++3,
∵x>0,x++3≥2+3=5(x=1時取等號),
∴≤5,∴a≥。
6. m>n
解析:m=a+=(a-2)++2≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a-2=,即a=3時,“=”成立,故m∈[4,+∞),由b≠0,得b2≠0,
∴2-b2<2,∴22-b2<4,即n∈(0,4),綜上易得m>n。
7. 證明:(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得
a2+b2+c2≥ab+bc+ca。
由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,
所
5、以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤。
(2)因為+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c,
所以++≥1。
8. 證明:∵a,b,x,y都是正數(shù),
∴(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2)+xy(a2+b2)
≥ab(2xy)+xy(a2+b2)
=(a+b)2xy,
∵a+b=1,∴(a+b)2xy=xy,
(ax+by)(bx+ay)≥xy成立。
9. 證明:(1),
∵a+b=1,a>0,b>0,
∴=+=2++≥2+2=4,
∴+≥8(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時等號成立).
(2)方法一:∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1+=1+=2+,
同理,1+=2+,
∴≥5+4=9,
∴≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時等號成立),
方法二 ,
由(1)知,,故≥9。