《（全國通用版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 坐標系和參數(shù)方程 第2節(jié) 參數(shù)方程學案 理 新人教B版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國通用版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 坐標系和參數(shù)方程 第2節(jié) 參數(shù)方程學案 理 新人教B版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2節(jié)　參數(shù)方程 最新考綱　1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義；2.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程. 知 識 梳 理 1.曲線的參數(shù)方程 一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值，由這個方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù). 2.參數(shù)方程與普通方程的互化 通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程，如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系y＝g(t)，那么就

2、是曲線的參數(shù)方程.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使用x，y的取值范圍保持一致. 3.常見曲線的參數(shù)方程和普通方程 點的軌跡 普通方程 參數(shù)方程 直線 y－y0＝tan α(x－x0) (t為參數(shù)) 圓 x2＋y2＝r2 (θ為參數(shù)) 橢圓 ＋＝1(a＞b＞0) (φ為參數(shù)) 溫馨提醒　直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)參數(shù)方程中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù).(　　) (2)過M0(x0，y0)，

3、傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).參數(shù)t的幾何意義表示：直線l上以定點M0為起點，任一點M(x，y)為終點的有向線段的數(shù)量.(　　) (3)方程(θ為參數(shù))表示以點(0，1)為圓心，以2為半徑的圓.(　　) (4)已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點M在橢圓上，對應參數(shù)t＝，點O為原點，則直線OM的斜率為.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2.(教材習題改編)在平面直角坐標系中，曲線C：(t為參數(shù))的普通方程為________. 解析　消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0. 答案　x－y－1＝0 3.在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的

4、正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C1的極坐標方程為ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則C1與C2交點的直角坐標為________. 解析　由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2.① 又(t為參數(shù))消去t，得y2＝8x.② 聯(lián)立①，②得即交點坐標為(2，－4). 答案　(2，－4) 4.直線y＝b(x－4)與圓(θ為參數(shù))相切，則切線的傾斜角為________. 解析　圓的普通方程為(x－2)2＋y2＝3，圓心A(2，0)，半徑r＝. ∵直線y＝b(x－4)與圓相切， ∴＝，則b2＝3，b＝±. 因此tan θ＝±，切線的傾斜角為

5、或π. 答案　或 5.(2017·江蘇卷)在平面坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).設P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值. 解　由(t為參數(shù))消去t. 得l的普通方程為x－2y＋8＝0， 因為點P在曲線C上，設點P(2s2，2s). 則點P到直線l的距離d＝＝， ∴當s＝時，d有最小值＝. 考點一　參數(shù)方程與普通方程的互化 【例1】 已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). (1)求直線l和圓C的普通方程； (2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍. 解　(1)直線l的普

6、通方程為2x－y－2a＝0， 圓C的普通方程為x2＋y2＝16. (2)因為直線l與圓C有公共點， 故圓C的圓心到直線l的距離d＝≤4， 解得－2≤a≤2.即實數(shù)a的取值范圍是[－2，2]. 規(guī)律方法　1.將參數(shù)方程化為普通方程，消參數(shù)常用代入法、加減消元法、三角恒等變換消去參數(shù). 2.把參數(shù)方程化為普通方程時，要注意哪一個量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響，一定要保持同解變形. 【訓練1】 (2016·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).設直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的

7、長. 解　橢圓C的普通方程為x2＋＝1. 將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入x2＋＝1， 得＋＝1，即7t2＋16t＝0， 解之得t1＝0，t2＝－. 所以|AB|＝|t1－t2|＝.所以線段AB的長為. 考點二　參數(shù)方程及應用 【例2－1】 (2017·全國Ⅰ卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a. 解　(1)a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0. 曲線C的標準方程是＋y2＝1， 聯(lián)立方程解得或 則C與l交點坐標是(3，0)

8、和. (2)直線l的普通方程是x＋4y－4－a＝0. 設曲線C上點P(3cos θ，sin θ). 則P到l距離d＝＝， 其中tan φ＝. 又點C到直線l距離的最大值為. ∴|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值為17. 若a≥0，則－5－4－a＝－17，∴a＝8. 若a<0，則5－4－a＝17，∴a＝－16. 綜上，實數(shù)a的值為a＝－16或a＝8. 【例2－2】 (2018·郴州模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐

9、標方程； (2)若直線l與曲線C的兩個交點分別為M，N，直線l與x軸的交點為P，求|PM|·|PN|的值. 解　(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 消去參數(shù)t，得x＋y－1＝0. 曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， 利用平方關系，得x2＋(y－2)2＝4，則x2＋y2－4y＝0. 令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的極坐標方程為ρ＝4sin θ. (2)在直線x＋y－1＝0中，令y＝0，得點P(1，0). 把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程得t2－3t＋1＝0， ∴t1＋t2＝3，t1t2＝1. 由直線參數(shù)方程的幾何意義，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1.

10、 規(guī)律方法　1.在與直線、圓、橢圓有關的題目中，參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數(shù)方程代入相關曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解. 2.過定點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標準形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是的數(shù)量，即|t|表示P0到P的距離，t有正負之分.對于形如(t為參數(shù))，當a2＋b2≠1時，應先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題. 【訓練2】 (2018·衡水中學質檢)已知曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)). (1)寫出直線l與曲線C的普通方程； (2)設曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲

11、線C′，過點F(，0)作傾斜角為60°的直線交曲線C′于A，B兩點，求|FA|·|FB|. 解　(1)直線l的普通方程2x－y＋2＝0. 曲線C的普通方程為x2＋y2＝4. (2)由得 代入曲線C，得x′2＋4y′2＝4，即＋y′2＝1. 則曲線C′的方程為＋y2＝1表示橢圓. 由題設，直線AB的參數(shù)為(t為參數(shù)). 將直線AB的參數(shù)方程代入曲線C′：＋y2＝1. 得t2＋t－1＝0，則t1·t2＝－， ∴|FA|·|FB|＝|t1||t2|＝|t1·t2|＝. 考點三　參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應用 【例3－1】 (2017·全國Ⅲ卷)在直角坐標系xOy中，直線l1的參

12、數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為與C的交點，求M的極徑. 解　(1)由l1：(t為參數(shù))消去t， 化為l1的普通方程y＝k(x－2)，① 同理得直線l2的普通方程為x＋2＝ky，② 聯(lián)立①，②消去k，得x2－y2＝4(y≠0). 所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0). (2)將直線l3化為普通方程為x＋y＝， 聯(lián)立得 ∴ρ2＝x2＋y2＝＋＝5，∴與C的交點M的極

13、徑為. 【例3－2】 (2018·河北“五個一”名校聯(lián)盟二模)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos＝.l與C交于A，B兩點. (1)求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標方程； (2)設點P(0，－2)，求|PA|＋|PB|的值. 解　(1)由曲線C：(α為參數(shù))消去α， 得普通方程＋y2＝1. 因為直線l的極坐標方程為ρcos＝，即ρcos θ－ρsin θ＝2， 所以直線l的直角坐標方程為x－y－2＝0. (2)點P(0，－2)在l上，則l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))， 代入

14、＋y2＝1整理得3t2－10t＋15＝0， 由題意可得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝. 規(guī)律方法　1.涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解.當然，還要結合題目本身特點，確定選擇何種方程. 2.數(shù)形結合的應用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，能達到化繁為簡的解題目的. 【訓練3】 (2016·全國Ⅲ卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin＝2. (1)寫出C1的普通方程

15、和C2的直角坐標方程； (2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標. 解　(1)曲線C1的普通方程為＋y2＝1. 又曲線C2：ρsin＝2. 所以ρsin θ＋ρcos θ＝4. 因此曲線C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0. (2)由題意，可設點P的直角坐標為(cos α，sin α). 因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值. d(α)＝＝， 當且僅當α＝2kπ＋(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標為. 基礎鞏固題組 (建議用時：50分鐘) 1.平面直角坐標系xOy中，曲線C：(

16、x－1)2＋y2＝1.直線l經(jīng)過點P(m，0)，且傾斜角為. (1)求圓C和直線l的參數(shù)方程； (2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|PA|·|PB|＝1，求實數(shù)m的值. 解　(1)由曲線C：(x－1)2＋y2＝1. 得參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (2)設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2， 將直線l的參數(shù)方程代入x2＋y2＝2x中， 得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m， 由題意得|m2－2m|＝1，得m＝1，m＝1＋或m＝1－. 2.(2018·新鄉(xiāng)模擬)以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，

17、已知曲線C的極坐標方程為ρ＝4cos θ，曲線M的直角坐標方程為x－2y＋2＝0(x>0). (1)以曲線M上的點與點O連線的斜率k為參數(shù)，寫出曲線M的參數(shù)方程； (2)設曲線C與曲線M的兩個交點為A，B，求直線OA與直線OB的斜率之和. 解　(1)由得 故曲線M的參數(shù)方程為. (2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，∴x2＋y2＝4x. 將代入x2＋y2＝4x整理得k2－4k＋3＝0， ∴k1＋k2＝4. 故直線OA與直線OB的斜率之和為4. 3.已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù)). (1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一

18、點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值. 解　(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為 d＝|4cos θ＋3sin θ－6|， 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tan α＝. 當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為. 當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. 4.(2018·黃山二模)已知曲線C的極坐標方程為ρ＝，過點P(1，0)的直線l交曲線C于A，B兩點. (1)將曲線C的極坐標

19、方程化為直角坐標方程； (2)求|PA|·|PB|的取值范圍. 解　(1)由ρ＝得ρ2(1＋sin2θ)＝2. 故曲線C的直角坐標方程為＋y2＝1. (2)由題意知，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 將代入＋y2＝1. 化簡得(cos2α＋2sin2α)t2＋2tcos α－1＝0. 設A，B對應的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1t2＝. 則|PA|·|PB|＝|t1t2|＝＝. 由于≤≤1， ∴|PA|·|PB|的取值范圍為. 5.(2016·全國Ⅱ卷)在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，

20、求C的極坐標方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點，|AB|＝，求l的斜率. 解　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圓C的極坐標方程為ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R). 設A，B所對應的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝. 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±. 所以l的斜率為或－. 能力提升題組 (建議用時：30分鐘

21、) 6.(2018·湖南長郡中學聯(lián)考)已知曲線C1： (t為參數(shù))，C2：(θ為參數(shù)). (1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線； (2)若C1上的點P對應的參數(shù)為t＝，Q為C2上的動點，求PQ的中點M到直線C3：(t為參數(shù))距離的最小值. 解　(1)由C1消去參數(shù)t，得曲線C1的普通方程為(x＋4)2＋(y－3)2＝1. 同理曲線C2的普通方程為＋＝1. C1表示圓心是(－4，3)，半徑是1的圓，C2表示中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓. (2)當t＝時，P(－4，4)，又Q(8cos θ，3sin θ)， 故M， 又C

22、3的普通方程為x－2y－7＝0， 則M到直線C3的距離d＝|4cos θ－3sin θ－13|＝|3sin θ－4cos θ＋13|＝|5(sin θ－φ)＋13|，所以d的最小值為. 7.在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ－2cos θ－6sin θ＋＝0，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)求曲線C的普通方程； (2)若直線l與曲線C交于A，B兩點，點P的坐標為(3，3)，求|PA|＋|PB|的值. 解　(1)曲線C的極坐標方程為ρ－2cos θ－6sin θ＋＝0， 可得ρ2－2ρcos θ－6ρsin θ＋1＝0，

23、 可得x2＋y2－2x－6y＋1＝0，曲線C的普通方程：x2＋y2－2x－6y＋1＝0. (2)由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 把它代入圓的方程整理得t2＋2t－5＝0，∴t1＋t2＝－2，t1t2＝－5， 則|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝2. ∴|PA|＋|PB|的值為2. 8.(2018·哈爾濱模擬)已知曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin＝4. (1)寫出曲線C的極坐標方程和直線l的普通方程； (2)若射線θ＝與曲線C交于O，A兩點，與直線l交于B點，射線θ＝與曲線C交于O，P兩點，求△PAB的面積. 解　(1)由(θ為參數(shù))，消去θ. 普通方程為(x－2)2＋y2＝4. 從而曲線C的極坐標方程為ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ， 因為直線l的極坐標方程為ρsin＝4，即ρsin θ＋ρcos θ＝4， ∴直線l的直角坐標方程為x＋y－8＝0. (2)依題意，A，B兩點的極坐標分別為，， 聯(lián)立射線θ＝與曲線C的極坐標方程得P點極坐標為， ∴|AB|＝2， ∴S△PAB＝×2×2sin＝2. 12