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1、 2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-1教案：第2章 教材解讀：雙曲線 一、知識精講 1、正確理解雙曲線的定義 一要注意不要將“絕對值”丟掉，否則就不是整個雙曲線了（僅表示雙曲線的一支）；二要注意“常數(shù)”的條件，即常數(shù)2a<|F1F2|，因?yàn)楫?dāng)2a=|F1F2|時，其軌跡是以F1和F2為端點(diǎn)的兩條射線，而當(dāng)2a> |F1F2|時，其軌跡不存在。 2、準(zhǔn)確把握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 （1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“標(biāo)準(zhǔn)”的含義有兩層：一是兩個焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；二是兩個焦點(diǎn)的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合。 （2）兩種雙曲線的異同：①相同點(diǎn)：形狀、大小相同，都有a>0，b＞0，c=a+b； ②不同點(diǎn)：兩種

2、雙曲線的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。 （3）判斷焦點(diǎn)位置的方法：雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中x項(xiàng)的系數(shù)為正；雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中y項(xiàng)的系數(shù)為正。 （4）與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的不同： ①雙曲線有兩條漸近線，而橢圓沒有漸近線；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中是“+”號，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中是“－”號； ②雙曲線方程和橢圓方程各有兩種形式，其判斷方法不同：對于雙曲線和來說，如果x項(xiàng)為正的，則焦點(diǎn)在x軸上；x項(xiàng)的分母是a；如果y項(xiàng)為正的，則焦點(diǎn)在y軸上；y項(xiàng)的分母是a，a不一定大于b，這和橢圓有明顯的不同。 ③雙曲線有兩個頂點(diǎn)，離心率e>1；而橢圓有四個頂點(diǎn)，離心率e<1；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a=b+ c，

3、而雙曲線中c=a+b。 3、 對雙曲線的簡單幾何性質(zhì)的加強(qiáng)理解 （1）雙曲線的焦點(diǎn)（兩個）總在它的實(shí)軸上；橢圓的離心率是描述橢圓扁平程度的一個重要數(shù)據(jù)。同樣，雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個重要數(shù)據(jù)，由于，當(dāng)e從接近1逐漸增大時，的值就從接近于0逐漸增大，雙曲線的“張口”逐漸增大。 （2）要掌握根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的漸近線方程的求法。 因?yàn)閥=±x±＝0－＝0，所以把標(biāo)準(zhǔn)方程－＝1（a>0，b＞0）中的“1”用“0”替換即可得出漸近線方程。 （3）已知漸近線方程求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法： ①漸近線方程為mx±ny＝0的雙曲線的方程為：mx－ny＝（≠0且為常數(shù)）。

4、 ②與雙曲線－＝1（a>0，b＞0）有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－＝（≠0且為常數(shù)）。 （4）實(shí)軸與虛軸相等（即a=b）的雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線為y=±x，離心率e=。 二、方法點(diǎn)撥 1、應(yīng)用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時，應(yīng)注意：（1）動點(diǎn)是否滿足雙曲線的準(zhǔn)確定義。（2）條件“2a<|F1F2|”是否成立。（3）是否使|PF1|-|PF2|=2a與|PF1|-|PF2|=-2a同時成立。（4）焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸是否明確。 2、求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 （1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程包括“定量”和“定位”。要求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，就要求出和 這兩個“待定系數(shù)”，于是需要兩個獨(dú)立的條件，

5、按條件列出方程關(guān)于和 的方程組。解得和 的具體數(shù)值后，再按位置特征寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，因此“定量”是指a、b、c等數(shù)值的確定；“定位”則是指除了中心在原點(diǎn)以外，判斷焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，以便在使方程的右邊為1時，確定方程的左邊哪一項(xiàng)為正，哪一項(xiàng)為負(fù)，同時也就確定了和 在方程中的位置。 （2）求雙曲線方程一般可用待定系數(shù)法，其解題方法是先定型，再定量。解題步驟分為：首先判斷曲線的類型，其次求出關(guān)鍵數(shù)據(jù)（即待定系數(shù)），最后寫出曲線方程。 （3）如果已知漸近線方程y=±x ，雙曲線方程可設(shè)為，通過求出確定雙曲線方程。 三、高考考情分析與應(yīng)試策略 雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一

6、，高考中主要以選擇題、填空題為主，其次考查以雙曲線為載體，融入三角、不等式、函數(shù)、向量的綜合性問題，這類問題以解答題為主。高考會從以下幾個方面來命題：（1）運(yùn)用雙曲線的定義解決到焦點(diǎn)的距離，焦點(diǎn)弦等有關(guān)問題，雙曲線的定義仍將是今后考查的重點(diǎn)。（2）靈活運(yùn)用雙曲線的性質(zhì)，解決離心率、漸近線問題，也是今后考查的重點(diǎn)。有關(guān)離心率的問題將會是一個熱點(diǎn)。（3）以雙曲線為載體的開放題、研究性問題，將逐步取代繁冗的解答題，成為高考的熱點(diǎn)。 在學(xué)習(xí)中掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)時，要注重數(shù)形結(jié)合。一是結(jié)合圖形理解標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù) a、b、c、e的幾何意義及相互關(guān)系；二是結(jié)合圖形理解雙曲線

7、的簡單幾何性質(zhì)。 四、高考熱點(diǎn)題型展現(xiàn) 1、有關(guān)基本概念的考查 雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程是雙曲線的基礎(chǔ)知識，高考中多為基礎(chǔ)性題目。 例1．（上海春）若，則“”是“方程表示雙曲線”的( ) （A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件. （C）充要條件. （D）既不充分也不必要條件. 解：應(yīng)用直接推理和特值否定法．當(dāng)k>3時，有k－3>0,k+3>0，所以方程 表示雙曲線；當(dāng)方程 表示雙曲線時，k=－4 是可以的，這不在k>3里．故應(yīng)該選A． 2、雙曲線的幾何性質(zhì)的考查 雙曲線的幾何性質(zhì)

8、作為是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一，高考中必定考查，有離心率的題目出現(xiàn)上升趨勢。 例2．(陜西卷)已知雙曲線 － =1(a>)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為 A.2 B. C. D. 解法1：雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為，則，所以 a2=6，雙曲線的離心率為 ，選D． 解法2：認(rèn)識兩條漸近線的夾角和幾何量之間的關(guān)系,構(gòu)建方程有 ,選D; 3、雙曲線有關(guān)的綜合問題 以雙曲線為載體，融入三角、不等式、函數(shù)、向量的綜合性問題，是高考考查的重點(diǎn)，也是我們學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。 例3．（四川卷）已知兩定點(diǎn)

9、，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)。如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值和的面積。 分析：本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。 解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，易知， 故曲線的方程為 設(shè)，由題意建立方程組 消去，得 又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有 解得 又因?yàn)? 依題意得 整理后得 ∴或 但 ∴ 故直線的方程為 設(shè)，由已知，得 所以， 又， 即點(diǎn) 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得 得，但當(dāng)時，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意 所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為 到的距離為 所以的面積