《2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練41 空間幾何體的表面積和體積 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練41 空間幾何體的表面積和體積 文(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練41 空間幾何體的表面積和體積 文
一、選擇題
1.如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖,其俯視圖是面積為8的矩形.則該幾何體的表面積是( )
A.8 B.20+8
C.16 D.24+8
[解析] 由題意可知,該幾何體是底面為直角三角形的直三棱柱,其側(cè)棱為4,故其表面積S表=2×4+2×4+2×4+×2×2×2=20+8.
[答案] B
2.已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1,且AA1⊥底面ABC,則三棱錐B1-ABC1的體積為( )
A. B.
C. D.
[解析] VB1-A
2、BC1=VC1-ABB1=××1×1×=.
[答案] A
3.(2015·全國(guó)卷Ⅰ)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有 ( )
A.14斛 B.22斛
C.36斛 D.66斛
[解析] 米堆的體積為××π×2×5=.將π=3代入上式,得體積為立方尺.從而這堆米約有≈22(斛).
[答案
3、] B
4.(2017·河北唐山二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積為( )
A.24-π B.24-3π C.24+π D.24-2π
[解析] 由三視圖可知,該幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體挖去右下方球后得到的幾何體,該球以頂點(diǎn)為球心,2為半徑,則該幾何體的表面積為2×2×6-3××π×22+×4×π×22=24-π,故選A.
[答案] A
5.(2017·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是( )
A.+1 B.+3
C.+1 D.+3
[解析] 由幾何體的三視圖可得,該幾何體是由半個(gè)圓錐和一個(gè)
4、三棱錐組成的,故該幾何體的體積V=×π×3+××2×1×3=+1,故選A.
[答案] A
6.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都是由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形,這些梯形的面積之和為( )
A.10 B.12 C.14 D.16
[解析] 由三視圖可知該多面體是一個(gè)組合體,下面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的直三棱柱,上面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的三棱錐,等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為2,直三棱柱的高為2,三棱錐的高為2,易知該多面體有2個(gè)面是梯形,這些梯形的面積之和為×2=1
5、2,故選B.
[答案] B
二、填空題
7.(2017·天津卷)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為_(kāi)_______.
[解析] 由正方體的表面積為18,得正方體的棱長(zhǎng)為.設(shè)該正方體外接球的半徑為R,則2R=3,R=,所以這個(gè)球的體積為R3=×=.
[答案]
8.下圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積是________.
[解析] 該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體挖去一半球而得,直觀圖如圖所示,(半)球的半徑為1,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2、2、1,
∴該幾何體的表面積為:S=16+×4π×12-π×12=16+π.
[答
6、案] 16+π
9.(2017·山東卷)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為_(kāi)_______.
[解析] 由三視圖可知,該組合體中的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2,1,1,其體積V1=2×1×1=2;
兩個(gè)圓柱合起來(lái)就是圓柱的一半,圓柱的底面半徑r=1,高h(yuǎn)=1,故其體積V2=×π×12×1=.
故該幾何體的體積V=V1+V2=2+.
[答案] 2+
三、解答題
10.如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積.
[解] 由已知得:C
7、E=2,DE=2,CB=5,
S表面=S圓臺(tái)側(cè)+S圓臺(tái)下底+S圓錐側(cè)=π(2+5)×5+π×25+π×2×2=(60+4)π,
V=V圓臺(tái)-V圓錐=(π·22+π·52+)×4-π×22×2=π.
[能力提升]
11.(2015·全國(guó)卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為( )
A.36π B.64π C.144π D.256π
[解析] 如圖,設(shè)點(diǎn)C到平面OAB的距離為h,球O的半徑為R,因?yàn)椤螦OB=90°,所以S△OAB=R2,要使VO-ABC=·S△OAB·h最大,則OA,OB
8、,OC應(yīng)兩兩垂直,且(VO-ABC)max=×R2×R=R3=36,此時(shí)R=6,所以球O的表面積為S球=4πR2=144π.故選C.
[答案] C
12.(2017·重慶診斷)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A. B.2 C. D.3
[解析] 該幾何體的直觀圖是如圖所示的不規(guī)則幾何體ABB1DC1C,其體積是底邊邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,高為3的正三棱柱ABC-A1B1C1的體積減去三棱錐A-A1C1D的體積,即3-×3×=.
[答案] C
13.(2017·河南南陽(yáng)一中四模)球O為正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球,AB=2,E,F(xiàn)分別
9、為棱AD,CC1的中點(diǎn),則直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為_(kāi)_______.
[解析] 設(shè)EF與球面交于M,N兩點(diǎn),因?yàn)锳B=2,E,F(xiàn)分別為棱AD,CC1的中點(diǎn),所以EF=,OE=OF=,取EF中點(diǎn)O′,則O′F=,所以O(shè)O′==.由球O為正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球,可得ON=1,由勾股定理得O′N(xiāo)=,故MN=.所以直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為.
[答案]
14.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=2,PA=PC=2,若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球,則此球的最大半徑是__________.
[解析] 由已知得,△
10、PAD,△PDC,△PAB,△PBC都是直角三角形.設(shè)內(nèi)切球的球心為O,半徑為R,連接OA,OB,OC,OD,OP,易知VP-ABCD=VO-ABCD+VO-PAD+VO-PAB+VO-PBC+VO-PCD,即×22×2=×22×R+××22×R+××2×2×R+××2×2×R+××22×R,解得R=2-,所以此球的最大半徑是2-.
[答案] 2-
15.如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,△ABC為等邊三角形,AA′⊥平面ABC,AB=3,AA′=4,M為AA′的中點(diǎn),P是BC上一點(diǎn),且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC′到M的最短路線長(zhǎng)為,設(shè)這條最短路線與CC′的交點(diǎn)為N,求:
(1)
11、該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng);
(2)PC與NC的長(zhǎng);
(3)三棱錐C-MNP的體積.
[解] (1)該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為一邊長(zhǎng)分別為4和9的矩形,故對(duì)角線長(zhǎng)為=.
(2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB′展開(kāi),如下圖,
設(shè)PC=x,則MP2=MA2+(AC+x)2.
∵M(jìn)P=,MA=2,AC=3,
∴x=2,即PC=2.
又∵NC∥AM,故=,即=.
∴NC=.
(3)S△PCN=×CP×CN=×2×=.
在三棱錐M-PCN中,M到面PCN的距離,
即h=×3=.
∴VC-MNP=VM-PCN=·h·S△PCN=××=.
16.(2017·全國(guó)卷Ⅲ)如圖,四面體A
12、BCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)證明:AC⊥BD;
(2)已知△ADC是正三角形,AB=BD,若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn),且AE⊥EC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.
[解] (1)證明:
取AC的中點(diǎn)O,連接BO、DO,如圖所示.
因?yàn)锳D=CD,所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO.
從而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.
(2)連接EO.
由(1)及題設(shè)知,∠ADC=90°,所以DO=AO.
在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以
BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB
13、=90°.
由題設(shè)知△AEC為直角三角形,所以EO=AC.
又△ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=BD.
故E為BD的中點(diǎn),從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1∶1.
[延伸拓展]
(2017·安徽蚌埠一模)如圖所示,用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,將表面積為4π的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為( )
A.+ B.+
C. D.+
[解析] 蛋巢的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,所以過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為1.因?yàn)殡u蛋的表面積為4π,所以球的半徑為1,所以球心到截面的距離d==,而截面到底面的距離即為三角形的高,所以球心到底面的距離為+.
[答案] D