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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 課時跟蹤訓(xùn)練52 拋物線 文 一、選擇題 1．若拋物線y2＝2px的焦點與雙曲線－y2＝1的右焦點重合，則p的值為(　　) A．－4 B．4 C．－2 D．2 [解析]　拋物線的焦點坐標為， 由雙曲線的方程可知a2＝3，b2＝1， 所以c2＝a2＋b2＝4，即c＝2， 所以右焦點為(2,0)，所以＝2，p＝4. [答案]　B 2．(2018·廣東湛江一中等四校第二次聯(lián)考)拋物線y2＝2px上橫坐標為4的點到此拋物線焦點的距離為9，則該拋物線的焦點到準線的距離為(　　) A．4 B．9 C．10 D．18 [解析

2、]　拋物線y2＝2px的焦點為，準線為x＝－.由題意可得4＋＝9，解得p＝10，所以該拋物線的焦點到準線的距離為p＝10. [答案]　C 3．(2016·全國卷Ⅱ)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點，曲線y＝(k>0)與C交于點P，PF⊥x軸，則k＝(　　) A. B．1 C. D．2 [解析]　拋物線C的焦點坐標為F(1,0)，PF⊥x軸，∴xP＝xF＝1.又∵y＝4xP，∴y＝4.∵yP＝(k>0)，∴yP＝2，∴k＝xPyP＝2.故選D. [答案]　D 4．(2017·全國卷Ⅱ)過拋物線C：y2＝4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方)，l為C的準線，點N

3、在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為(　　) A. B．2 C．2 D．3 [解析]　解法一：依題意，得F(1,0)，則直線FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.由M在x軸的上方，得M(3,2)，由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4，又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是邊長為4的等邊三角形，點M到直線NF的距離為4×＝2，選C. 解法二：依題意，得直線FM的傾斜角為60°，則|MN|＝|MF|＝＝4，又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是邊長為4的等邊三角形，點M到直線NF的距離為4×＝2，選C. [答

4、案]　C 5．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，點P為拋物線上一點，且在第一象限，PA⊥l，垂足為A，|PF|＝4，則直線AF的傾斜角等于(　　) A. 　　　B. C. 　　　D. [解析]　由拋物線定義知|PF|＝|PA|，∴P點坐標為(3，2)，所以A點坐標為(－1,2)，AF與x軸夾角為，所以直線AF的傾斜角為π，選B. [答案]　B 6．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x

5、 D．y2＝2x或y2＝16x [解析]　由已知得拋物線的焦點F，設(shè)點A(0,2)，拋物線上點M(x0，y0)，則＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5得，＋16＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8，故選C. [答案]　C 二、填空題 7．已知拋物線y2＝4x，過焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B分別作y軸垂線，垂足分別為C，D，則|AC|＋|BD|的最小值為__________． [解析]　由題意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值時，當且僅當|AB|取得最小值

6、．由拋物線定義知，當|AB|為通徑，即|AB|＝2p＝4時，取得最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值為2. [答案]　2 8．(2017·武漢市武昌區(qū)高三三調(diào))已知拋物線Γ：y2＝8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點P在Γ上且|PK|＝|PF|，則△PKF的面積為________． [解析]　由已知得，F(xiàn)(2,0)，K(－2,0)，過P作PM垂直于準線，則|PM|＝|PF|，又|PK|＝|PF|，∴|PM|＝|MK|＝|PF|，∴PF⊥x軸，△PFK的高等于|PF|，不妨設(shè)P(m2，2m)(m>0)，則m2＋2＝4，解得m＝，故△PFK的面積S＝4×2××＝8. [答案]　8

7、9．(2016·沈陽質(zhì)量監(jiān)測)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，過P作PA⊥l于點A，當∠AFO＝30°(O為坐標原點)時，|PF|＝________. [解析]　設(shè)l與y軸的交點為B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝，設(shè)P(x0，y0)，則x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，從而|PF|＝|PA|＝y(tǒng)0＋1＝. [答案]　 三、解答題 10．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4，且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M. (1)求拋物線的方

8、程； (2)若過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標． [解]　(1)拋物線y2＝2px的準線為x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x. (2)∵點A的坐標是(4,4)，由題意得B(0,4)，M(0,2)． 又∵F(1,0)，∴kFA＝. ∵MN⊥FA，∴kMN＝－. 又FA的方程為y＝(x－1)， 故MN的方程為y－2＝－x，解方程組得x＝，y＝， ∴N的坐標為. [能力提升] 11．已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為(　　) A. B. C．1 D．2 [解析]　由題意知，拋物線的準線l：y＝－1，

9、過點A作AA1⊥l交l于點A1，過點B作BB1⊥l交l于點B1，設(shè)弦AB的中點為M，過點M作MM1⊥l交l于點M1，則|MM1|＝.因為|AB|≤|AF|＋|BF|(F為拋物線的焦點)，即|AF|＋|BF|≥6，當直線AB過點F時，等號成立，所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故點M到x軸的距離d≥2，選D. [答案]　D 12．(2016·全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 [解析]　如圖，設(shè)圓的方程為x2＋y

10、2＝R2(R>0)，拋物線方程為y2＝2px(p>0)，A(m，n)，∵拋物線y2＝2px關(guān)于x軸對稱，圓關(guān)于x軸對稱，且|AB|＝4，∴|yA|＝2，∴xA＝＝.∵A在圓上，∴＋8＝R2.① 由拋物線y2＝2px知，它的準線方程為x＝－， ∵|DE|＝2，∴R2＝＋5.② 聯(lián)立①②可解得p＝4， ∴C的焦點到準線的距離為4.故選B. [答案]　B 13．(2017·全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝________. [解析]　解法一：依題意，拋物線C：y2＝8x的焦點F(2,0)，準線x＝－

11、2，因為M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，M為FN的中點，設(shè)M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2，所以N(0,4)，|FN|＝＝6. 解法二：依題意，拋物線C：y2＝8x的焦點F(2,0)，準線x＝－2，因為M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，M為FN的中點，則點M的橫坐標為1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6. [答案]　6 14．(2017·山東濰坊期末)已知點A為拋物線M：x2＝2py(p>0)與圓N：(x＋2)2＋y2＝r2在第二象限的一個公共點，滿足點A到拋物線M準線的距離為r.若拋物線M上動點到其準線的距離與到點N的距離之和的最小上值為

12、2r，則p＝________. [解析]　圓N：(x＋2)2＋y2＝r2的圓心N(－2,0)，半徑為r.設(shè)拋物線x2＝2py的焦點為F，則|AN|＋|AF|＝2r. 由拋物線M上一動點到其準線與到點N的距離之和的最小值為2r，即動點到焦點F與到點N的距離之和的最小值為2r， 可得A，N，F(xiàn)三點共線，且A為NF的中點． 由N(－2,0)，F(xiàn)，可得A，代入拋物線M的方程可得，1＝2p·，解得p＝. [答案]　 15．(2017·河北廊坊期末質(zhì)量監(jiān)測)我國唐代詩人王維詩云：“明月松間照，清泉石上流”，這里的明月和清泉都是自然景物，沒有變，形容詞“明”對“清”，名詞“月”對“泉”，詞性不變

13、，其余各詞均如此．變化中的不變性質(zhì)，在文學(xué)和數(shù)學(xué)中都廣泛存在．比如我們利用幾何畫板軟件作出拋物線C：x2＝y(tǒng)的圖象(如圖)，過焦點F作直線l交C于A，B兩點，過A，B分別作C的切線，兩切線交于點P，過點P作x軸的垂線交C于點N，拖動點B在C上運動，會發(fā)現(xiàn)是一個定值，試求出該定值． [解]　由題意，得線段AB是過拋物線x2＝y(tǒng)焦點F的弦．過A，B兩點分別作拋物線的切線，兩切線相交于P點，則P點在拋物線的準線上．下面給出證明： 由拋物線C：x2＝y(tǒng)，得其焦點坐標為F. 設(shè)A(x1，x)，B(x2，x)，直線l：y＝kx＋. 將直線l的方程代入拋物線C的方程x2＝y(tǒng)，得x2－kx－＝0.

14、 ∴x1x2＝－.① 又∵拋物線C的方程為y＝x2，求導(dǎo)得y′＝2x， ∴拋物線C在點A處的切線的斜率為2x1，切線方程為y－x＝2x1(x－x1)；② 拋物線C在點B處的切線的斜率為2x2，切線方程為y－x＝2x2(x－x2)．③ 由①②③得y＝－. ∴點P的軌跡方程得y＝－，即點P在拋物線的準線上． 根據(jù)拋物線的定義知|NF|＝|NP|，∴是一個定值1. 16．設(shè)A，B為拋物線y2＝x上相異兩點，其縱坐標分別為1，－2，分別以A，B為切點作拋物線的切線l1，l2，設(shè)l1，l2相交于點P. (1)求點P的坐標； (2)M為A，B間拋物線段上任意一點，設(shè)＝λ＋μ，試判斷＋是

15、否為定值？如果為定值，求出該定值，如果不是定值，請說明理由． [解]　(1)由題知A(1,1)，B(4，－2)，設(shè)點P的坐標為(xP，yP)， 切線l1：y－1＝k(x－1)，聯(lián)立由拋物線與直線l1相切，解得k＝， 即l1：y＝x＋，同理，l2：y＝－x－1. 聯(lián)立l1，l2的方程，可解得即點P的坐標為. (2)設(shè)M(y，y0)，且－2≤y0≤1. 由＝λ＋μ得＝λ＋μ， 即解得 則＋＝＋＝1，即＋為定值1. [延伸拓展] 　(2017·廣西玉林陸川中學(xué)期末)從拋物線y2＝4x的準線l上一點P引拋物線的兩條切線PA，PB，A，B為切點．若直線AB的傾斜角為，則P點的縱坐標為(　　) A. B. C. D．2 [解析]　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(－1，y)，則kAB＝＝. ∵直線AB的傾斜角為，∴＝，∴y1＋y2＝. 切線PA的方程為y－y1＝(x－x1)，切線PB的方程為y－y2＝(x－x2)，即切線PA的方程為y＝x＋y1，切線PB的方程為y＝x＋y2. ∴y1，y2是方程t2－2yt＋4x＝0兩個根，∴y1＋y2＝2y＝.∴y＝.故選B. [答案]　B