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1、2022高中數學 活頁作業(yè)23 方程的根與函數的零點 新人教A版必修1 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．函數f(x)＝x2－3x－4的零點是(　　) A．1，－4　　　　　　 B．4，－1 C．1,3 D．不存在 解析：函數f(x)＝x2－3x－4的零點就是方程x2－3x－4＝0的兩根4與－1. 答案：B 2．函數f(x)＝3x＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，且函數f(x)＝3x＋x－2的圖象在(0,1)上連續(xù)不斷． 答案：C 3．已知函數f

2、(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，f(x)對應值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 123.5 21.5 －7.82 11.57 －53.7 －126.7 －129.6 那么函數f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有(　　) A．2個　 B．3個 C．4個　 D．5個 解析：由表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0， f(4)·f(5)<0. ∴f(x)在[1,6]上至少有3個零點．故選B. 答案：B 4．已知x0是函數f(x)＝2x－logx的零點，若0

3、0 B．f(x1)<0 C．f(x1)＝0 D．f(x1)>0與f(x1)<0均有可能 解析：由于f(x)在(0，＋∞)上是增函數， 所以f(x1)

4、 答案：C 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．對于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判斷： ①在(－2，－1)內有實數根； ②在(－1,0)內有實數根； ③在(1,2)內有實數根； ④在(－∞，＋∞)內沒有實數根． 其中正確的有________．(填序號) 解析：設f(x)＝x3＋x2－2x－1， 則f(－2)＝－1＜0，f(－1)＝1＞0， f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0， 則f(x)在(－2，－1)，(－1,0)(1,2)內均有零點，即①②③正確． 答案：①②③ 7．方程lg x＋x－1＝0有________個實數根． 解析

5、：由原方程得lg x＝－x＋1，問題轉化為函數y＝lg x的圖象與函數y＝－x＋1的圖象交點的個數． 作出相應函數的圖象，如圖： 由圖可知，有一個交點，故原方程有且僅有一個根． 答案：1 8．二次函數y＝x2－2ax＋a－1有一個零點大于1，一個零點小于1，則a的取值范圍是________． 解析：∵二次函數y＝x2－2ax＋a－1的開口向上，又其一個零點大于1，另一個零點小于1，∴當x＝1時，其函數值小于零，即12－2a×1＋a－1＜0.∴a＞0. 答案：a＞0 三、解答題(每小題10分，共20分) 9．判斷下列函數是否存在零點，如果存在，請求出． (1)f(x)＝x2

6、＋x＋2； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝3x＋1－7； (4)f(x)＝log5(2x－3)． 解：(1)令x2＋x＋2＝0，因為Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，所以方程無實數根．所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零點． (2)因為f(x)＝＝， 令＝0，解得x＝－6，所以函數的零點為－6. (3)令3x＋1－7＝0，解得x＝log3， 所以函數的零點是log3. (4)令log5(2x－3)＝0， 解得x＝2，所以函數的零點是2. 10．已知函數f(x)＝－3x2＋2x－m＋1. (1)當m為何值時，函數有兩個零點、一個零點、無零點． (2)若函數恰有一個零點

7、在原點處，求m的值． 解：(1)函數有兩個零點，則對應方程－3x2＋2x－m＋1＝0有兩個不相等的實數根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜. 由Δ＝0，可解得m＝； 由Δ＜0，可解得m＞. 故當m＜時，函數有兩個零點； 當m＝時，函數有一個零點； 當m＞時，函數無零點． (2)因為0是對應方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1. 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．函數f(x)＝x3－x的零點個數是(　　) A．0 B．1 C．2 D．無數個 解析：作出y＝x3與y＝x的圖象，如圖所示，兩個函數的圖象只有一個交點，所以函數f(x)只有一個零點．故選

8、B. 答案：B 2．若方程x＝log2x的解為x1，方程－x＝log2x的解為x2，則x1x2的取值范圍為(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(1,2) D．[1，＋∞) 解析：由已知，得x1＝log2x1，－x2＝log2x2，在同一坐標系中，畫出函數y＝x，y＝－x及y＝log2x的圖象，如圖所示． 觀察圖象可知，x1＞1,0＜x2＜1，∴0＜x1＜，－x2＜－，即0＜log2x1＜，log2x2＜－，兩式相加，得log2x1＋log2x2＜0，∴l(xiāng)og2(x1x2)＜0，即0＜x1x2＜1. 答案：A 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．若方程l

9、og3x＋x＝3的解所在的區(qū)間是(k，k＋1)，則整數k＝______. 解析：方程為log3x＋x－3＝0，設f(x)＝log3x＋x－3， ∵f(2)＝log32－1<0，f(3)＝1>0， 即f(2)·f(3)<0， ∴函數在(2,3)內存在零點．∴k＝2. 答案：2 4．函數f(x)＝log2x－x＋2的零點的個數為________． 解析：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2. 令y1＝log2x，y2＝x－2. 畫出兩個函數的大致圖象，如圖所示． 有兩個不同的交點． 所以函數f(x)＝log2x－x＋2有兩個零點． 答案：2

10、三、解答題(每小題10分，共20分) 5．已知函數f(x)＝ax2－4x＋2. (1)若f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式． (2)已知a≤1，若函數y＝f(x)－log2在區(qū)間[1,2]內有且只有一個零點，試確定實數a的取值范圍． 解：(1)因為f(2－x)＝f(2＋x)，所以f(x)的對稱軸為x＝2， 即－＝2，即a＝1. 所以f(x)＝x2－4x＋2. (2)因為y＝f(x)－log2＝ax2－4x＋5－log2x， 設r(x)＝ax2－4x＋5，s(x)＝log2x(x∈[1,2])， 則原命題等價于兩個函數r(x)與s(x)的圖象在區(qū)間[1,2]內有唯一

11、交點， 當a＝0時，r(x)＝－4x＋5在區(qū)間[1,2]內為減函數， s(x)＝log2x(x∈[1,2])為增函數， 且r(1)＝1＞s(1)＝0，r(2)＝－3＜s(2)＝1， 所以函數r(x)與s(x)的圖象在區(qū)間[1,2]內有唯一交點． 當a＜0時，r(x)圖象開口向下，對稱軸為x＝＜0， 所以r(x)在區(qū)間[1,2]內為減函數，s(x)＝log2x(x∈[1,2])為增函數， 則由??－1≤a≤1，所以－1≤a＜0. 當0＜a≤1時，r(x)圖象開口向上，對稱軸為x＝≥2， 所以r(x)在區(qū)間[1,2]內為減函數，s(x)＝log2x(x∈[1,2])為增函數，

12、則由??－1≤a≤1，所以0＜a≤1. 綜上所述，實數a的取值范圍為[－1,1]． 6．已知函數f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有兩個零點． (1)若函數的兩個零點是－1和－3，求k的值； (2)若函數的兩個零點是α和β，求α2＋β2的取值范圍． 解：(1)∵－1和－3是函數f(x)的兩個零點， ∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的兩個實數根． 則解得k＝－2. (2)若函數的兩個零點為α和β，則α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的兩根， ∴ 則 ∴α2＋β 2在區(qū)間上的最大值是18，最小值是，即α2＋β2的取值范圍為.