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1、2022高考數(shù)學(xué) 考點突破——概率：隨機事件的概率學(xué)案 【考點梳理】 1．概率和頻率 (1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率． (2)對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)． 2．事件的關(guān)系與運算 定義 符號表示 包含關(guān)系 若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B?A (或A?B) 相等關(guān)系 若B?A，且A?

2、B，那么稱事件A與事件B相等 A＝B 并事件 (和事件) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (積事件) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B (或AB) 互斥事件 若A∩B為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥 A∩B＝? 對立事件 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 A∩B＝? 且A∪B＝Ω 3．概率的幾個基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1. (2)必

3、然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式． ①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； ②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B)． 【考點突破】 考點一、隨機事件間的關(guān)系 【例1】(1)從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是(　　) A．“至少有一個黑球”與“都是黑球” B．“至少有一個黑球”與“都是紅球” C．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球” D．“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球” (2)從1，2，3，4，5這五個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中：①恰

4、有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù)．上述事件中，是對立事件的是(　　) A．①　　　　 B．②④ C．③　　　　 D．①③ [答案] (1) D (2) C [解析] (1)A中的兩個事件是包含關(guān)系，不是互斥事件；B中的兩個事件是對立事件；C中的兩個事件都包含“一個黑球一個紅球”的事件，不是互斥關(guān)系；D中的兩個事件是互斥而不對立的關(guān)系． (2)從1，2，3，4，5這五個數(shù)中任取兩個數(shù)有3種情況：一奇一偶，兩個奇數(shù)，兩個偶數(shù)，其中“至少有一個是奇數(shù)”包含一奇一偶或兩個奇數(shù)這兩種情況

5、，它與兩個都是偶數(shù)是對立事件． 又①②④中的事件可以同時發(fā)生，不是對立事件． 【類題通法】 1.準(zhǔn)確把握互斥事件與對立事件的概念 (1)互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生. (2)對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生. 2.判別互斥、對立事件的方法 判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件. 【對點訓(xùn)練】 1．把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙

6、分得紅牌”是(　　) A．對立事件 B．不可能事件 C．互斥事件但不是對立事件 D．以上答案都不對 [答案] C [解析] 由互斥事件和對立事件的概念可判斷，應(yīng)選C. 2．袋中裝有3個白球和4個黑球，從中任取3個球，則：①恰有1個白球和全是白球；②至少有1個白球和全是黑球；③至少有1個白球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個黑球. 在上述事件中，是對立事件的為(　　) A．① B．② C．③ D．④ [答案] B [解析] 至少有1個白球和全是黑球不同時發(fā)生，且一定有一個發(fā)生.故②中兩事件是對立事件.③④不是互斥事件，①是互斥事件，但不是對立

7、事件，因此是對立事件的只有②，選B. 考點二、隨機事件的頻率與概率 【例2】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [3

8、5，40] 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率. [解析] (1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25， 由表中數(shù)據(jù)可知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6. 所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6. (2)當(dāng)這種酸奶一天的進貨量為450瓶時， 若最高氣溫低于20，則

9、Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100； 若最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，則Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300； 若最高氣溫不低于25，則Y＝450×(6－4)＝900， 所以，利潤Y的所有可能值為－100，300，900. Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8. 因此Y大于零的概率的估計值為0.8. 【類題通法】 1.概率與頻率的關(guān)系 頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率

10、的估計值. 2.隨機事件概率的求法 利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗，事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率. 【對點訓(xùn)練】 某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 ?！≠M 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表： 出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 頻數(shù) 60 50 30 30 20 10

11、 (1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值； (2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值； (3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值． [解析] (1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為＝0.55，故P(A)的估計值為0.55. (2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為＝0.3，故P(B)的估計值為0.3. (3)由所給數(shù)據(jù)得 保費 0.85a a 1.25a 1.5a

12、1.75a 2a 頻率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192 5a. 考點三、互斥事件與對立事件的概率 【例3】某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(

13、C)； (2)1張獎券的中獎概率； (3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率． [解析] (1)P(A)＝， P(B)＝＝， P(C)＝＝. 故事件A，B，C的概率分別為，，. (2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設(shè)“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A∪B∪C. ∵A，B，C兩兩互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝＝， 故1張獎券的中獎概率約為. (3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件， ∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝， 故1張獎券不中特等獎且不

14、中一等獎的概率為. 【類題通法】 1．求解本題的關(guān)鍵是正確判斷各事件的關(guān)系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出來． 2．求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問題，多考慮間接法． 【對點訓(xùn)練】 經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下： 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多2人排隊等候的概率；

15、 (2)至少3人排隊等候的概率. [解析] 記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥. (1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則G＝A∪B∪C， 所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一　記“至少3人排隊等候”為事件H， 則H＝D∪E∪F， 所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 法二　記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G， 所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.