《2022高考數(shù)學(xué) 選擇題 專題04 不等式的證明 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022高考數(shù)學(xué) 選擇題 專題04 不等式的證明 文（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022高考數(shù)學(xué) 選擇題 專題04 不等式的證明 文 知識(shí)通關(guān) 1．基本不等式 （1）定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． （2）定理2（基本不等式）：如果a，b>0，那么，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立. 用語(yǔ)言可以表述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù). （3）定理3：如果a，b，c為正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立． 用語(yǔ)言可以表述為：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù). （4）算術(shù)平均—幾何平均定理(基本不等式的推廣)：對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1，a2，···，an，它們的算術(shù)平均數(shù)

2、不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù)，即，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=···=an時(shí)，等號(hào)成立. 2．柯西不等式 （1）二維形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號(hào)成立. （2）柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則，當(dāng)且僅當(dāng)α是零向量或β是零向量或存在實(shí)數(shù)k使α=kβ時(shí)，等號(hào)成立. （3）二維形式的三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2∈R，那么. （4）一般形式的柯西不等式：設(shè)是實(shí)數(shù),則()() ≥，當(dāng)且僅當(dāng)ai=0或bi=0(i=1,2,···,n)或存在一個(gè)數(shù)k使得ai=kbi(i=1,2,···,n)時(shí)，等號(hào)成立. 3．不等式證明的方法

3、 （1）比較法 比較法是證明不等式最基本的方法，可分為作差比較法和作商比較法兩種. 名稱 作差比較法 作商比較法 理論依據(jù) a＞b?a－b＞0 a＜b?a－b＜0 a＝b?a－b＝0 b＞0，＞1?a＞b b＜0，＞1?a＜b （2）綜合法與分析法 ①綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種方法叫綜合法．即“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ? ②分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具備，那么就可以判定原不等式成立，這種方法叫分析法．即“執(zhí)果

4、索因”的方法． （3）反證法和放縮法 ①反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．反證法是間接證明的一種基本方法． ②放縮法：證明不等式時(shí)，通過(guò)把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到到證明的目的.我們把這種方法稱為放縮法. 基礎(chǔ)通關(guān) 1．比較法證明不等式最常用的是差值比較法，其基本步驟是：作差—變形—判斷差的符號(hào)—下結(jié)論.其中“變形”是證明的關(guān)鍵，一般通過(guò)因式分解或配方將差式變形為幾個(gè)因式的積或配成幾個(gè)代數(shù)式平方和的形式，當(dāng)差式是二次三項(xiàng)式時(shí)，有

5、時(shí)也可用判別式來(lái)判斷差值的符號(hào). 2．綜合法證明的實(shí)質(zhì)是由因?qū)Ч?，其證明的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理，B為要證結(jié)論)，它的常見書面表達(dá)式是“∵，∴”或“?”．解題時(shí)，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵． 3．當(dāng)要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來(lái)尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆． 題組一 比較法證明不等式 作差(商)證明不等式，關(guān)鍵是對(duì)差(商)式進(jìn)行合理的變形，特別注意作商證明不等式，不等式的兩邊應(yīng)同號(hào)．在使用作商比較

6、法時(shí)，要注意說(shuō)明分母的符號(hào)． 【例1】已知函數(shù)，M為不等式的解集. （1）求M； （2）證明：當(dāng)a，b時(shí)，. 【解析】（1） 當(dāng)時(shí)，由得解得； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，由得解得. 所以的解集. （2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，， 從而， 因此 題組二 分析法證明不等式 分析法證明的思路是“執(zhí)果索因”，具體過(guò)程如下：→→→···→得到一個(gè)明顯成立的條件. 【例2】已知函數(shù). （1）求不等式的解集A； （2）若，試證明：. 【解析】（1）若，則，解得，無(wú)解； 若，則，解得，故； 若，則，解得，故. 綜上所述，不等式的解集A為. 題組三 反證法證明不等式 反證法的

7、關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾等．矛盾是在推理過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的，不是推理之前設(shè)計(jì)的． 【例3】設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝.證明： （1）a＋b≥2； （2）a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立． 【解析】由a＋b＝＝，a>0，b>0，得ab＝1. （1）由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2. （2）假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時(shí)成立， 則由a2＋a<2及a>0，得0

8、. 能力通關(guān) 1．使用基本不等式時(shí)易忽視等號(hào)成立的條件． 利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問(wèn)題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問(wèn)題．若不等式恒等變形之后與二次函數(shù)有關(guān)，可用配方法． 2．個(gè)別題目也可用柯西不等式來(lái)證明，注意柯西不等式使用的條件. 基本不等式——綜合法證明不等式 【例1】已知且．證明： （1）； （2）． 【解析】（1） ， ． （2）因?yàn)? 所以 即即. 【例2】已知函數(shù)的最大值為. （1）求的值； （2）若（，），求證：. 【解析】（1）由于 所

9、以的最大值為，即. （2）由（1）得. 因?yàn)椋? 所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立. 柯西不等式及其應(yīng)用 【例3】已知函數(shù),且對(duì)任意,都有. （1）求及的值； （2）若, 且,求的最大值及的最大值. 【解析】（1）, 其中取等號(hào)的條件是,即, 取等號(hào)的條件是, 所以,. 【名師點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用,基本不等式及柯西不等式的應(yīng)用,意在考查分類討論思想方法,以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力． 不等式證明的綜合問(wèn)題 【例4】已知在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，． （1）證明：； （2）若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值． 【解析】（1）因?yàn)?，，為正?shí)數(shù)， 所

10、以由均值不等式可得，即， 所以， 又， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)． 【例5】已知函數(shù). （1）解不等式：； （2）若函數(shù)的最小值為，正實(shí)數(shù)滿足，證明：. 【解析】（1）依題意，； 當(dāng)時(shí)，原式化為，解得； 當(dāng)時(shí)，原式化為，解得，故不等式無(wú)解； 當(dāng)時(shí)，原式化為，解得. 綜上所述，不等式的解集為. （2）由題意，可得， 所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值10，即. 故， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí). 高考通關(guān) 1．已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|. （1）求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M； （2）設(shè)a，b∈M，證明：f(ab)＞f(a)－f(－b)． （2）因

11、為f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|， 所以，要證f(ab)＞f(a)－f(－b)，只需證|ab＋1|＞|a＋b|， 即證|ab＋1|2＞|a＋b|2， 即證a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2， 即證a2b2－a2－b2＋1＞0，即證(a2－1)(b2－1)＞0. 因?yàn)閍，b∈M， 所以a2＞1，b2＞1， 所以(a2－1)(b2－1)＞0成立， 所以原不等式成立. 2．已知為任意實(shí)數(shù). （1）求證： ; （2）求函數(shù)的最小值. 【解析】（1） . 因?yàn)? 所以. （2）= = =, 即. 3．設(shè)函

12、數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，解不等式； （2）若的解集為，，求證：. 【解析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，不等式為， 若，則，解得； 若，則，即，無(wú)解； 若，則，解得. 所以不等式的解集為. （2）即，解得， 而的解集是，所以，解得a=1， 所以， 所以， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào). 4．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值為a. （1）求a的值； （2）若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足p＋q＋r＝a，求證：p2＋q2＋r2≥3. 【解析】（1）因?yàn)閨x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，等號(hào)成立， 所以f(x)的最

13、小值等于3，即a＝3. （2）方法一：由（1）知p＋q＋r＝3，且p，q，r大于0， ∴(p＋q＋r)2＝9. 又易知p2＋q2＋r2≥pq＋pr＋qr， 故9＝(p＋q＋r)2＝p2＋q2＋r2＋2pq＋2pr＋2qr≤3(p2＋q2＋r2)， 因此，p2＋q2＋r2≥3. 方法二：由（1）知p＋q＋r＝3， 又因?yàn)閜，q，r是正實(shí)數(shù)， 所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9， 故p2＋q2＋r2≥3. 5．已知不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立． （1）求實(shí)數(shù)的最小值； （2）若，且滿足，求證：． 【解析】（1）不等式等價(jià)于． 令，則不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立等價(jià)于． 而 作出函數(shù)的圖象，由圖可知，函數(shù)的最小值為，即， 所以，即， 故． （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）， （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）． 三式相加得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）， 所以，即． 【名師點(diǎn)睛】本題考查含有絕對(duì)值的不等式恒成立問(wèn)題、不等式的證明、函數(shù)圖象的應(yīng)用，意在考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力．