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1、2022高考數(shù)學(xué) 熱點題型 專題03 解析幾何 理
熱點一 圓錐曲線中的最值問題
圓錐曲線中的最值問題是高考中的熱點問題,常涉及不等式、函數(shù)的值域問題,綜合性比較強(qiáng),解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法:一是利用幾何方法,即利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解;二是利用代數(shù)方法,即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式),然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.
題型一 利用幾何性質(zhì)求最值
【例1】設(shè)P是橢圓+=1上一點,M,N分別是兩圓:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的點,則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為(
2、 )
A.9,12 B.8,11
C.8,12 D.10,12
答案 C
【類題通法】
利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解,也叫做幾何法.
【對點訓(xùn)練】
如圖所示,已知直線l:y=kx-2與拋物線C:x2=-2py(p>0)交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,+=(-4,-12).
(1)求直線l和拋物線C的方程;
(2)拋物線上一動點P從A到B運(yùn)動時,求△ABP面積的最大值.
解析 (1)由得x2+2pkx-4p=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+
3、x2)-4=-2pk2-4.
因為+=(x1+x2,y1+y2)=(-2pk,-2pk2-4)=(-4,-12),所以解得
所以直線l的方程為y=2x-2,拋物線C的方程為x2=-2y.
(2)設(shè)P(x0,y0),依題意,知拋物線過點P的切線與l平行時,△ABP的面積最大,又y′=-x,所以-x0=2,故x0=-2,y0=-x=-2,所以P(-2,-2).
此時點P到直線l的距離d===.
由得x2+4x-4=0,故x1+x2=-4,x1x2=-4,
所以|AB|=×=×=4.
所以△ABP面積的最大值為=8.
題型二 建立目標(biāo)函數(shù)求最值
【例2】已知△ABP的三個頂點都在拋
4、物線C:x2=4y上,F(xiàn)為拋物線C的焦點,點M為AB的中點,=3.
(1)若|PF|=3,求點M的坐標(biāo);
(2)求△ABP面積的最大值.
(2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,點A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
由得x2-4kx-4m=0.
于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,
所以AB中點M的坐標(biāo)為(2k,2k2+m).
由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),
所以
由x=4y0得k2=-m+,
由Δ>0,k2≥0,得-
5、9m2-10m+1=0,
解得m1=,m2=1,
可得f(m)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),
又f=>f=.
所以當(dāng)m=時,f(m)取到最大值,此時k=±.
所以△ABP面積的最大值為.
【類題通法】
(1)當(dāng)題目中給出的條件有明顯的幾何特征,考慮用圖象性質(zhì)來求解.
(2)當(dāng)題目中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯,則可以建立目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值.求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、單調(diào)性法、三角換元法等.
【對點訓(xùn)練】
平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,左、右焦點分別是F1,F(xiàn)2.以F1為圓心、以3為半徑的圓與以F2
6、為圓心、以1為半徑的圓相交,且交點在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓E:+=1,P為橢圓C上任意一點.過點P的直線y=kx+m交橢圓E于A,B兩點,射線PO交橢圓E于點Q.
①求的值;
②求△ABQ面積的最大值.
解析 (1)由題意知2a=4,則a=2.
又=,a2-c2=b2,可得b=1,
所以橢圓C的方程為+y2=1.
②設(shè)A(x1,y1),B(x2, y2).
將y=kx+m代入橢圓E的方程,
可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,
由Δ>0,可得m2<4+16k2.(*)
則有x1+x2=-,x1x2=.
所以|x1-x2|
7、=.
因為直線y=kx+m與y軸交點的坐標(biāo)為(0,m),
所以△OAB的面積S=|m||x1-x2|
=
=
=2
設(shè)=t.
將y=kx+m代入橢圓C的方程,
可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.(**)
由(*)(**)可知00)的一個焦點為F(-1,0),左、右頂點分別為A,B.經(jīng)過點F的直線l
8、與橢圓M交于C,D兩點.
(1)當(dāng)直線l的傾斜角為45°時,求線段CD的長;
(2)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2,求|S1-S2|的最大值.
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線方程為x=-1,
此時△ABD與△ABC面積相等,|S1-S2|=0;
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線方程為y=k(x+1)(k≠0),
聯(lián)立方程,得
消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
Δ>0,且x1+x2=-,x1x2=,
此時|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y2+y1|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=,
9、
因為k≠0,上式=≤==當(dāng)且僅當(dāng)k=±時等號成立,
所以|S1-S2|的最大值為.
【類題通法】
(1)求最值問題時,一定要注意對特殊情況的討論.如直線斜率不存在的情況,二次三項式最高次項的系數(shù)的討論等.
(2)利用基本不等式求函數(shù)的最值時,關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項和或積的形式,然后用基本不等式求出最值.
【對點訓(xùn)練】
定圓M:(x+)2+y2=16,動圓N過點F(,0)且與圓M相切,記圓心N的軌跡為E.
(1)求軌跡E的方程;
(2)設(shè)點A,B,C在E上運(yùn)動,A與B關(guān)于原點對稱,且|AC|=|BC|,當(dāng)△ABC的面積最小時,求直線AB的方程.
(2)①當(dāng)AB為長軸(
10、或短軸)時,S△ABC=|OC|·|AB|=2.
②當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時,設(shè)直線AB的方程為y=kx,A(xA,yA),由題意,C在線段AB的中垂線上,則OC的方程為y=-x.
聯(lián)立方程得,x=,y=,
∴|OA|2=x+y=.
將上式中的k替換為-,可得|OC|2=.
∴S△ABC=2S△AOC=|OA|·|OC|=·=.
∵≤=,
∴S△ABC≥,當(dāng)且僅當(dāng)1+4k2=k2+4,即k=±1時等號成立,此時△ABC面積的最小值是.∵2>,
∴△ABC面積的最小值是,此時直線AB的方程為y=x或y=-x.
熱點二 圓錐曲線中的范圍問題
圓錐曲線中的范圍問題是高考中的
11、熱點問題,常涉及不等式的恒成立問題、函數(shù)的值域問題,綜合性比較強(qiáng).解決此類問題常用幾何法和判別式法.
題型一 利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系求范圍
【例4】已知A,B,C是橢圓M:+=1(a>b>0)上的三點,其中點A的坐標(biāo)為(2,0),BC過橢圓的中心,且·=0,||=2||.
(1)求橢圓M的方程;
(2)過點(0,t)的直線l(斜率存在時)與橢圓M交于兩點P,Q,設(shè)D為橢圓M與y軸負(fù)半軸的交點,且||=||,求實數(shù)t的取值范圍.
(2)由條件D(0,-2),當(dāng)k=0時,顯然-2
12、
由Δ>0可得t2<4+12k2,①
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中點H(x0,y0),
則x0==,
y0=kx0+t=,
所以H,
由||=||,
所以DH⊥PQ,即kDH=-,
所以=-,
化簡得t=1+3k2,②
所以t>1,將②代入①得,1
13、關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.
(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.
(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.
【對點訓(xùn)練】
設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:+=1(b>0)的左、右焦點,若P是該橢圓上的一個動點,且·的最大值為1.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)直線l:x=ky-1與橢圓E交于不同的兩點A,B,且∠AOB為銳角(O為坐標(biāo)原點),求k的取值范圍.
即1=×4+2b2-4,解得b2=1.
故所求橢圓E的方程為+y2=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+
14、4)y2-2ky-3=0,Δ=(-2k)2+12(4+k2)=16k2+48>0,
故y1+y2=,y1·y2=.
又∠AOB為銳角,故·=x1x2+y1y2>0,
又x1x2=(ky1-1)(ky2-1)=k2y1y2-k(y1+y2)+1,
所以x1x2+y1y2=(1+k2)y1y2-k(y1+y2)+1=(1+k2)·-+1
==>0,所以k2<,解得-b>0)的離心率為,過點M(1,0)的直線l交橢圓C于A,B兩點,|MA|=λ|MB|,且當(dāng)直線l垂直于x軸時,|AB|=.
(
15、1)求橢圓C的方程;
(2)若λ∈,求弦長|AB|的取值范圍.
(2)當(dāng)過點M的直線斜率為0時,點A,B分別為橢圓長軸的端點,
λ===3+2>2或λ===3-2<,不符合題意.
∴直線的斜率不能為0.
設(shè)直線方程為x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
將直線方程代入橢圓方程得:(m2+2)y2+2my-1=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系可得,
將①式平方除以②式可得:++2=-,
由已知|MA|=λ|MB|可知,=-λ,
∴-λ-+2=-,
又知λ∈,
∴-λ-+2∈,
∴-≤-≤0,
解得m2∈.
|AB|2=(1+m2)|y1-y2|2=(1+m
16、2)[(y1+y2)2-4y1y2]=82=82,
∵m2∈,
∴∈,
∴|AB|∈.
【類題通法】
利用函數(shù)性質(zhì)解決圓錐曲線中求范圍問題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個變量的函數(shù),通過求這個函數(shù)的值域確定目標(biāo)的取值范圍.在建立函數(shù)的過程中要根據(jù)題目的其他已知條件,把需要的量都用我們選用的變量表示,有時為了運(yùn)算方便,在建立函數(shù)的過程中也可以采用多個變量,只要在最后結(jié)果中把多個變量化為單個變量即可,同時要特別注意變量的取值范圍.
【對點訓(xùn)練】
已知圓心為H的圓x2+y2+2x-15=0和定點A(1,0),B是圓上任意一點,線段AB的中垂線l和直線BH相交于點M,當(dāng)點B在圓上運(yùn)動時,點M的軌
17、跡記為曲線C.
(1)求C的方程;
(2)過點A作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P,Q和E,F(xiàn),求·的取值范圍.
根據(jù)橢圓的定義可知,點M的軌跡是以A,H為焦點,4為長軸長的橢圓,所以a2=4,c2=1,b2=3,所求曲線C的方程為+=1.
(2)由直線EF與直線PQ垂直,可得·=·=0,
于是·=(-)·(-)=·+·.
①當(dāng)直線PQ的斜率不存在時,直線EF的斜率為零,此時可不妨取P,Q,E(2,0),F(xiàn)(-2,0),
所以·=·=-3-=-.
②當(dāng)直線PQ的斜率為零時,直線EF的斜率不存在,同理可得·=-.
③當(dāng)直線PQ的斜率存在且不為零時,直線EF的斜率也存在
18、,于是可設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-1),P(xP,yP),Q(xQ,yQ),=(xP-1,yP),=(xQ-1,yQ),
則直線EF的方程為y=-(x-1).
將上面的k換成-,可得·=-,
所以·=·+·=-9(1+k2).
令1+k2=t,則t>1,于是上式化簡整理可得,
·=-9t=-=-.
由t>1,得0<<1,所以-<·≤-.
綜合①②③可知,·的取值范圍為.
熱點三 圓錐曲線中的幾何證明問題
圓錐曲線中的幾何證明問題多出現(xiàn)在解答題中,難度較大,多涉及線段或角相等以及位置關(guān)系的證明等.
【例6】如圖,圓C與x軸相切于點T(2,0),與y軸正半軸相交于兩點M
19、,N(點M在點N的下方),且|MN|=3.
(1)求圓C的方程;
(2)過點M任作一條直線與橢圓+=1相交于兩點A,B,連接AN,BN,求證:∠ANM=∠BNM.
(2)證明:把x=0代入方程(x-2)2+2=,解得y=1或y=4,即點M(0,1),N(0,4).
①當(dāng)AB⊥x軸時,可知∠ANM=∠BNM=0.
②當(dāng)AB與x軸不垂直時,可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1.
聯(lián)立方程 消去y得,(1+2k2)x2+4kx-6=0.
設(shè)直線AB交橢圓于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則x1+x2=,x1x2=.
∴kAN+kBN=+=+=.
若kAN+kBN=0,則∠
20、ANM=∠BNM.
∵2kx1x2-3(x1+x2)=+=0,
∴∠ANM=∠BNM.
【類題通法】
解決圓錐曲線證明問題,注意依據(jù)直線,圓錐曲線,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等,通過代數(shù)恒等變形和化簡計算進(jìn)行證明,常見的證明方法有:
(1)證明三點共線,可以證明其中兩段線段的斜率相等,也可以證明其中兩個向量互相平行(共線);
(2)證明兩直線垂直,可以證明這兩條直線的斜率之積等于,也可以證明這兩直線所在的平面向量的數(shù)量積等于零;
(3)證明兩共點點段相等,可以利用弦長公式證明這兩線段長度相等,也可以證明公共點在線段的垂直平分線上.
【對點訓(xùn)練】
設(shè)橢圓C1:+=1(a>b>0)
21、的離心率為,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點,M是橢圓上任意一點,且△MF1F2的周長是4+2.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)橢圓C1的左、右頂點分別為A,B,過橢圓C1上的一點D作x軸的垂線交x軸于點E,若點C滿足⊥,∥,連接AC交DE于點P,求證:PD=PE.
(2)證明:由(1)得A(-2,0),B(2,0),
設(shè)D(x0,y0),所以E(x0,0),
因為⊥,
所以可設(shè)C(2,y1),
所以=(x0+2,y0),=(2,y1),
由∥可得:(x0+2)y1=2y0,即y1=.
所以直線AC的方程為:=.
整理得:y=(x+2).
又點P在DE上,將x=x0代入直線AC的方程可得:y=,即點P的坐標(biāo)為,所以P為DE的中點,
所以PD=PE.