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1、2022高考數(shù)學“一本”培養(yǎng)專題突破 限時集訓8 直線與圓 文 一、選擇題 1．已知圓(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一條直徑通過直線x－2y＋3＝0被圓所截弦的中點，則該直徑所在的直線方程為(　　) A．3x＋y－5＝0　　　　　 B．x－2y＝0 C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0 D　[直線x－2y＋3＝0的斜率為，已知圓的圓心坐標為(2，－1)，該直徑所在直線的斜率為－2，所以該直徑所在的直線方程為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0，故選D.] 2．(2018·昆明模擬)已知直線l：y＝x＋m與圓C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B兩點，若∠ACB＝

2、120°，則實數(shù)m的值為(　　) A．3＋或3－ B．3＋2或3－2 C．9或－3 D．8或－2 A　[由題意可得，圓心(0,3)到直線的距離為，所以d＝＝，m＝3±，選A.] 3．(2018·大同模擬)以拋物線y2＝20x的焦點為圓心，且與雙曲線－＝1的兩條漸近線都相切的圓的方程為(　　) A．x2＋y2－20x＋64＝0 B．x2＋y2－20x＋36＝0 C．x2＋y2－10x＋16＝0 D．x2＋y2－10x＋9＝0 C　[∵拋物線y2＝20x的焦點F(5,0)，∴所求圓的圓心(5,0)，∵雙曲線－＝1的兩條漸近線分別為3x±4y＝0，∴圓心(5,0)到直線

3、3x±4y＝0的距離即為所求圓的半徑R，∴R＝＝3，∴圓的方程為(x－5)2＋y2＝9，即x2＋y2－10x＋16＝0，故選C.] 4．(2018·重慶模擬)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，過點A(－4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．2 C　[圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心為C(2,1)，半徑為r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝＝＝6，選C.] 5．(2018·忻州模擬)過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2

4、的切線有且只有一條，則該切線的方程為(　　) A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 B　[∵過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條， ∴點(3,1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上， ∵圓心與切點連線的斜率k＝＝， ∴切線的斜率為－2， 則圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)， 即2x＋y－7＝0.故選B.] 6．(2018·泰安模擬)一條光線從點(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為(　　) A．－或－ B．－或－ C．－或－

5、 D．－或－ D　[圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圓心為(－3,2)，半徑r＝1.(－2，－3)關于y軸的對稱點為(2，－3)．如圖所示，反射光線一定過點(2，－3)且斜率k存在，∴反射光線所在直線方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0. ∵反射光線與已知圓相切， ∴＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.] 7．(2018·安陽模擬)已知圓C1：x2＋y2－kx＋2y＝0與圓C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直線恒過定點P(a，b)，且點P在直線mx－ny－2＝0上，則mn的取值范圍是(　　) A. B. C. D. D

6、　[x2＋y2－kx＋2y＝0與x2＋y2＋ky－4＝0，相減得公共弦所在直線方程： kx＋(k－2)y－4＝0，即k(x＋y)－(2y＋4)＝0，所以由得x＝2，y＝－2，即P(2，－2)，因此2m＋2n－2＝0，∴m＋n＝1，mn≤2＝，選D.] 8．(2018·合肥模擬)設圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 B　[圓的標準方程為(

7、x－1)2＋(y－1)2＝4，設圓心到直線l的距離為d，則|AB|＝2＝2＝2，得d＝1，則直線l的斜率不存在時，即x＝0適合題意；若直線l的斜率存在，設為k，則l：y＝kx＋3，＝1，解得k＝－，此時l：y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0，故選B.] 二、填空題 9．過原點且與直線x－y＋1＝0平行的直線l被圓x2＋(y－)2＝7所截得的弦長為________． 2　[由題意可得l的方程為x－y＝0，∵圓心(0，)到l的距離為d＝1，∴所求弦長＝2＝2＝2.] 10．已知f(x)＝x3＋ax－2b，如果f(x)的圖象在切點P(1，－2)處的切線與圓(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切

8、，那么3a＋2b＝________. －7　[由題意得f(1)＝－2?a－2b＝－3，又∵f′(x)＝3x2＋a，∴f(x)的圖象在點P(1，－2)處的切線方程為y＋2＝(3＋a)(x－1)，即(3＋a)x－y－a－5＝0， ∴＝?a＝－，∴b＝， ∴3a＋2b＝－7.] 11．(2018·南京模擬)在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為________． (x－1)2＋y2＝2　[直線mx－y－2m－1＝0恒過定點(2，－1)，由題意，得半徑最大的圓的半徑r＝＝. 故所求圓的標準方程為(x－1

9、)2＋y2＝2.] 12．(2018·九江模擬)某學校有2 500名學生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人．為了了解學生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數(shù)分別為a，b，且直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點，且∠BAC＝120°，則圓的方程為________． (x－1)2＋(y＋1)2＝　[由題意，＝＝，∴a＝40，b＝24，∴直線ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0，A(1，－1)到直線的距離為＝， ∵直線5x＋3y＋1＝0與以A(1，－1)為圓心的圓相交于B，C兩點，且∠BAC＝12

10、0°， ∴r＝，∴圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝.] 三、解答題 13．已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于，A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點． (1)求M的軌跡方程； (2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積． [解]　(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16， 所以圓心為C(0,4)，半徑為4. 設M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)． 由題設知·＝0， 故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于點P在圓C的內(nèi)部， 所以M的軌跡方

11、程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心，為半徑的圓． 由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM. 因為ON的斜率為3，所以l的斜率為－， 故l的方程為y＝－x＋. 又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距離d為， 所以|PM|＝2＝， 所以△POM的面積為S△POM＝|PM|d＝. (教師備選) 已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方． (1)求圓C的方程； (2)過點M(1,0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正

12、半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由． [解]　(1)設圓心C(a,0)，則＝2?a＝0或a＝－5(舍)． 所以圓C：x2＋y2＝4. (2)當直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB. 當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2) 由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0. 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 若x軸平分∠ANB，則kAN＝－kBN?＋＝0?＋＝0?2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0?－＋2t＝0?t＝4， 所以當點N為(4,0)時，能使得∠ANM＝∠BNM總成立．