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1、山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 圓的方程練習(xí)（含解析） 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 已知圓C的圓心是直線與y軸的交點(diǎn)，且圓C與直線相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 A. B. C. D. （正確答案）A 解：對(duì)于直線，令，解得． 圓心， 設(shè)圓的半徑為r， 圓C與直線相切， ， 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 故選：A． 對(duì)于直線，令，解得可得圓心設(shè)圓的半徑為r，利用點(diǎn)到直線的距離公式及其圓C與直線相切的充要條件可得r． 本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式及其圓與直線相切的充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 2. 若過原點(diǎn)O的動(dòng)直線l將圓分成

2、兩部分的面積之差最大時(shí)，直線l與圓的交點(diǎn)記為A，直線l將圓E分成兩部分的面積相等時(shí)，直線l與圓的交點(diǎn)記為C，則四邊形ACBD的面積為 A. B. C. D. （正確答案）C 當(dāng)直線l時(shí)，弦AB將圓E分成兩部分的面積之差最大，當(dāng)直線l過圓心即與OE重合時(shí)，直徑CD將圓E分成兩部分的面積相等圓心到原點(diǎn)O的距離為，半徑為，所以，因?yàn)?，所以 ． 3. 已知圓的方程為，那么圓心坐標(biāo)為 A. B. C. D. （正確答案）C 解：將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得， 圓表示以為圓心，半徑的圓． 故選：C． 將已知圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程并對(duì)照?qǐng)A標(biāo)準(zhǔn)方程的基本概念，即可得到所

3、求圓心坐標(biāo)． 本題給出圓的一般方程，求圓心的坐標(biāo)著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題． 4. 圓心在y軸上，且過點(diǎn)的圓與x軸相切，則該圓的方程是 A. B. C. D. （正確答案）B 解：圓心在y軸上且過點(diǎn)的圓與x軸相切， 設(shè)圓的圓心，半徑為r． 則：． 解得． 所求圓的方程為：即． 故選：B． 設(shè)出圓的圓心與半徑，利用已知條件，求出圓的圓心與半徑，即可寫出圓的方程． 本題考查圓的方程的求法，求出圓的圓心與半徑是解題的關(guān)鍵． 5. 某學(xué)校有2500名學(xué)生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，為了了解學(xué)生的身體健康狀況，采

4、用分層抽樣的方法，若從本校學(xué)生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數(shù)分別為a，b，且直線與以為圓心的圓交于B，C兩點(diǎn)，且，則圓C的方程為 A. B. C. D. （正確答案）C 解：由題意，，，， 直線，即， 到直線的距離為， 直線與以為圓心的圓交于B，C兩點(diǎn)，且， ， 圓C的方程為， 故選C． 根據(jù)分層抽樣的定義進(jìn)行求解a，b，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出到直線的距離，可得半徑，即可得出結(jié)論． 本題考查分層抽樣，考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題． 6. 已知平面上點(diǎn)，其中，當(dāng)，變化時(shí)，則滿足條件的點(diǎn)P在平面上所組成圖形的面積是

5、A. B. C. D. （正確答案）C 解：由題意可得，點(diǎn)P在圓上， 而且圓心在以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓上． 滿足條件的點(diǎn)P在平面內(nèi)所組成的圖形的面積是以6為半徑的圓的面積減去以2為半徑的圓的面積， 即， 故選：C． 先根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑，然后研究圓心的軌跡，根據(jù)點(diǎn)P在平面內(nèi)所組成的圖形是一個(gè)環(huán)面進(jìn)行求解即可． 本題主要考查了圓的參數(shù)方程，題目比較新穎，正確理解題意是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題． 7. 已知三點(diǎn)，，則外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為 A. B. C. D. （正確答案）B 解：因?yàn)橥饨訄A的圓心在直線BC垂直平分線上，即直線上

6、， 可設(shè)圓心，由得 ， 得 圓心坐標(biāo)為， 所以圓心到原點(diǎn)的距離， 故選：B． 利用外接圓的性質(zhì)，求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓心到原點(diǎn)的距離公式即可求出結(jié)論． 本題主要考查圓性質(zhì)及外接圓的性質(zhì)，了解性質(zhì)并靈運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵． 8. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，點(diǎn)B是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是 A. B. C. D. （正確答案）A 解：設(shè)，， 又，且M為AB的中點(diǎn)， ，則， 點(diǎn)B在圓上， ，即． 線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是． 故選：A． 設(shè)出，的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式把B的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，代入已知圓的方程得答案．

7、 本題考查軌跡方程的求法，訓(xùn)練了利用代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，是中檔題． 9. 阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P與A，B距離之比為，當(dāng)P，A，B不共線時(shí)，面積的最大值是 A. B. C. D. （正確答案）A 解：設(shè)，， 則，化簡(jiǎn)得 如圖， 當(dāng)點(diǎn)P到軸距離最大時(shí)，面積的最大值， 面積的最大值是． 故選：A． 設(shè)，，，則，化簡(jiǎn)得，當(dāng)點(diǎn)P到軸距離最大時(shí)，面積的最大值， 本題考查軌跡方程求解、直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題． 10. 在長(zhǎng)方

8、體中，，，，點(diǎn)P、Q分別在直線和BD上運(yùn)動(dòng)，且，則PQ的中點(diǎn)M的軌跡是 A. 平行四邊形 B. 圓 C. 橢圓 D. 非以上圖形 （正確答案）A 解：如圖所示，點(diǎn)P在點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)從點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H，則EF是中點(diǎn)M的軌跡； 同理，點(diǎn)P在點(diǎn)、點(diǎn)Q在B點(diǎn)、點(diǎn)Q在C點(diǎn)時(shí)，中點(diǎn)M的軌跡對(duì)應(yīng)四條線段，且兩組對(duì)邊平行且相等． 所以，PQ的中點(diǎn)M的軌跡是平行四邊形． 故選：A． 如圖所示，點(diǎn)P在點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)從點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H，則EF是中點(diǎn)M的軌跡；同理，點(diǎn)P在點(diǎn)、點(diǎn)Q在B點(diǎn)、點(diǎn)Q在C點(diǎn)時(shí)，中點(diǎn)M的軌跡對(duì)應(yīng)四條線段，且兩組對(duì)邊平行且相等，即可得出結(jié)論． 本題考查軌跡方程，考查立體幾何與解析幾何的綜合

9、，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題． 11. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以為圓心且與直線相切的所有圓中，面積最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 A. B. C. D. （正確答案）C 解：根據(jù)題意，設(shè)圓心為P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 對(duì)于直線，變形可得 即直線過定點(diǎn)， 在以點(diǎn)為圓心且與直線， 面積最大的圓的半徑r長(zhǎng)為MP， 則， 則其標(biāo)準(zhǔn)方程為； 故選B． 根據(jù)題意，將直線的方程變形可得，分析可得其定點(diǎn)，進(jìn)而分析可得滿足題意的圓是以P為圓心，半徑為MP的圓，求出MP的長(zhǎng)，將其代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算可得答案． 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是分析出直線過的定點(diǎn)坐標(biāo)．

10、 12. 已知圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)，面積為，且與直線l：相切，則圓C的方程是 A. B. 或 C. 或 D. （正確答案）C 解：設(shè)圓心坐標(biāo)為， 面積為，半徑， 圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線l：相切， ， ， 圓心為或， 圓C的方程是或， 故選：C． 設(shè)圓心坐標(biāo)為，利用圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)，面積為，且與直線l：相切，求出a，b，即可求出圓C的方程． 本題考查的是圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，利用條件建立方程，求出圓心與半徑是解題的關(guān)鍵所在． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 已知，，以AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______

11、． （正確答案） 解：設(shè)圓心為C，，， 圓心C的坐標(biāo)為； ，即圓的半徑， 則以線段AB為直徑的圓的方程是． 故答案為：． 因?yàn)榫€段AB為所求圓的直徑，所以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段AB的中點(diǎn)即為所求圓的圓心坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心C與點(diǎn)A之間的距離即為所求圓的半徑，根據(jù)求出的圓心坐標(biāo)與半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可． 此題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)間的距離公式以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解答本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用已知條件確定圓心坐標(biāo)及圓的半徑同時(shí)要求學(xué)生會(huì)根據(jù)圓心與半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 14. 圓心在直線上的圓C與x軸的正半軸相切，圓C截y軸所得的弦的長(zhǎng)為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為__

12、____． （正確答案） 解：設(shè)圓心，則由圓與x軸相切，可得半徑． 圓心到y(tǒng)軸的距離， 由圓C截y軸所得的弦的長(zhǎng)為， 解得． 故圓心為，半徑等于2． 故圓C的方程為． 故答案為． 設(shè)圓心，由題意可得半徑，求出圓心到直線的距離d，再由，解得t的值，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，由此求出圓的方程． 本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，求出圓心坐標(biāo)和半徑的值，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題． 15. 已知圓C的圓心在x軸正半軸上，點(diǎn)圓C上，且圓心到直線的距離為，則圓C的方程為______ ． （正確答案） 解：由題意設(shè)圓的方程為， 由點(diǎn)在圓上，且圓心到直線的距離為， 得，解得，

13、． 圓C的方程為：． 故答案為：． 由題意設(shè)出圓的方程，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入圓的方程，結(jié)合圓心到直線的距離列式求解． 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題． 16. 已知圓C的圓心與點(diǎn)M關(guān)于直線對(duì)稱，并且圓C與雙曲線 的漸近線相切，則圓C的方程為 ． （正確答案） 因?yàn)閳AC的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱， 所以圓C的圓心為，雙曲線 的漸近線方程為 ，與圓相切， 所以圓的半徑為 所以圓C的方程為． 三、解答題（本大題共3小題，共30分） 17. 已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線，分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)

14、． Ⅰ若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明； Ⅱ若的面積是的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程． （正確答案）Ⅰ證明：連接RF，PF， 由，及，得， ， 是PQ的中點(diǎn)， ， ≌， ，， ， ， ， ． Ⅱ設(shè)，， ，準(zhǔn)線為， ， 設(shè)直線AB與x軸交點(diǎn)為N， ， 的面積是的面積的兩倍， ，，即． 設(shè)AB中點(diǎn)為，由得， 又， ，即． 中點(diǎn)軌跡方程為． Ⅰ連接RF，PF，利用等角的余角相等，證明，即可證明； Ⅱ利用的面積是的面積的兩倍，求出N的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求AB中點(diǎn)的軌跡方程． 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力

15、，屬于中檔題． 18. 設(shè)圓的圓心為A，直線l過點(diǎn)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E． Ⅰ證明為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程； Ⅱ設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線，直線l交于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍． （正確答案）解：Ⅰ證明：圓即為， 可得圓心，半徑， 由，可得， 由，可得， 即為，即有， 則， 故E的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓， 且有，即，，， 則點(diǎn)E的軌跡方程為； Ⅱ橢圓：，設(shè)直線l：， 由，設(shè)PQ：， 由可得， 設(shè)，， 可得，， 則 ， A到PQ的距離為， ，

16、則四邊形MPNQ面積為 ， 當(dāng)時(shí)，S取得最小值12，又，可得， 即有四邊形MPNQ面積的取值范圍是 Ⅰ求得圓A的圓心和半徑，運(yùn)用直線平行的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可得，再由圓的定義和橢圓的定義，可得E的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，求得a，b，c，即可得到所求軌跡方程； Ⅱ設(shè)直線l：，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，可得，由，設(shè)PQ：，求得A到PQ的距離，再由圓的弦長(zhǎng)公式可得，再由四邊形的面積公式，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍． 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用橢圓和圓的定義，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式，考查不等

17、式的性質(zhì)，屬于中檔題． 19. 已知圓C：，點(diǎn)，P是圓C上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線交CP于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為曲線E． 求曲線E的方程； 若直線l：與曲線E相交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值． （正確答案）解：Ⅰ點(diǎn)Q在線段AP的垂直平分線上，． 又，． 曲線E是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，和為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓． 設(shè)曲線E的方程為，． ，，． 曲線E的方程為． Ⅱ設(shè)， 聯(lián)立消去y，得． 此時(shí)有． 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，， 原點(diǎn)O到直線l的距離， ．，由，得． 又， 據(jù)基本不等式，得．， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取等號(hào)． 面積的最大值為． 根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)，建立方程求出a，b即可． 聯(lián)立直線和橢圓方程，利用消元法結(jié)合設(shè)而不求的思想進(jìn)行求解即可． 本題主要考查與橢圓有關(guān)的軌跡方程問題，以及直線和橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用消元法以及設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵，運(yùn)算量較大，有一定的難度．