《江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù) 5.2 小題考法—不等式講義（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù) 5.2 小題考法—不等式講義（含解析）（14頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù) 5.2 小題考法—不等式講義（含解析） 考點(diǎn)(一) 不等式的恒成立問題及存在性問題 主要考查恒成立問題或存在性問題以及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. ①或② 不等式組①參照(2)的過程得a≥a＋1－， 解得1≤a≤，矛盾，舍去； 由不等式組②得a≤＝x－1＋，同上可得1≤a≤，矛盾，舍去． 綜上所述，1≤a≤或a≥. 答案：∪ 2．已知函數(shù)f(x)＝x，若存在x∈，使得f(x)<2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)<2， 等價(jià)于|x3－ax|<2，即－2

2、 即x3－2

3、1，故切點(diǎn)A(1,0)，此切點(diǎn)到直線y＝x＋λ的距離為≥，解得λ≥1或λ≤－3(舍去，此時(shí)直線與曲線相交)．故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞) [方法技巧] 不等式恒成立問題或存在性問題的求解策略 (1)有關(guān)不等式恒成立問題，通常利用分離變量法將其轉(zhuǎn)化，即將所求參數(shù)與變量x之間的函數(shù)關(guān)系用不等式連接起來，再求函數(shù)的最值，從而確定參數(shù)范圍．用分離變量法進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的好處是可以減少分類討論．若不等式中含有絕對(duì)值，須通過分類討論，轉(zhuǎn)化為一般的一元二次不等式，再求解． (2)存在性問題也需要轉(zhuǎn)化為最值問題，優(yōu)先考慮分離變量的做題思路． (3)二元問題的恒成立也可以構(gòu)造幾

4、何意義，利用幾何法求解. 考點(diǎn)(二) 基本不等式 主要考查利用基本不等式求最值，常與函數(shù)等知識(shí)交匯命題. [題組練透] 1．已知f(x)＝log2(x－2)，若實(shí)數(shù)m，n滿足f(m)＋f(2n)＝3，則m＋n的最小值為________． 解析：因?yàn)閒(m)＋f(2n)＝3， 所以log2(m－2)＋log2(2n－2)＝3(m＞2且n＞1)， 化簡(jiǎn)得(m－2)(n－1)＝4，解得m＝＋2， 所以m＋n＝n＋＋2＝(n－1)＋＋3≥2＋3＝7，當(dāng)且僅當(dāng)n＝3時(shí)等號(hào)成立，所以m＋n的最小值為7. 答案：7 2．已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若對(duì)于任意的x∈N*

5、，f(x)≥3恒成立，則a的取值范圍是________． 解析：令f(x)＝≥3(x∈N*)，則(3－a)x≤x2＋8，即3－a≤x＋.因?yàn)閤＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)閤∈N*，當(dāng)x＝1時(shí)，x＋＝9；當(dāng)x＝2時(shí)，x＋＝6；當(dāng)x＝3時(shí)，x＋＝3＋<6，因此x＋的最小值為3＋，于是3－a≤3＋，得a≥－，即a的取值范圍是. 答案： 3．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x>y>0，且x＋y≤2，則＋的最小值為________． 解析：法一：因?yàn)?≥2x＋2y，所以 4≥[(x＋3y)＋(x－y)] ＝3＋＋ ≥3＋2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－1，y＝3－2時(shí)取等號(hào)， 故＋的最小值為.

6、 法二：因?yàn)閤>y>0，x＋y≤2，所以0

7、值：“積為定值，和有最小值”，直接應(yīng)用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的條件． (3)構(gòu)造不等式求最值：在求解含有兩個(gè)變量的代數(shù)式的最值問題時(shí)，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，構(gòu)造不等式求解． (4)“a＋b，a2＋b2，ab，＋”之間的互化也是基本等式常見處理方法. 考點(diǎn)(三) 線性規(guī)劃問題 主要考查在約束條件下目標(biāo)函數(shù)最值的求法，以及已知最優(yōu)解或可行域的情況求參數(shù)的值或范圍. [題組練透] 1．(2018·全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________． 解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示．由圖可知

8、當(dāng)直線x＋y＝z過點(diǎn)A時(shí)z取得最大值． 由得點(diǎn)A(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9. 答案：9 2．(2018·蘇州模擬)設(shè)變量x，y滿足則目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的最小值為________． 解析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，如圖中陰影部分所示．當(dāng)直線y＝－2x＋z過點(diǎn)C時(shí)，在y軸上的截距最小，此時(shí)z最小， 由得所以C， zmin＝2×＋＝. 答案： 3．(2018·福州四校聯(lián)考)設(shè)x，y滿足約束條件其中a>0，若的最大值為2，則a的值為________． 解析：設(shè)z＝，則y＝x，當(dāng)z＝2時(shí)，y＝－x，作出x，y滿足的約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線y＝－x，易

9、知此直線與區(qū)域的邊界線2x－2y－1＝0的交點(diǎn)為，當(dāng)直線x＝a過點(diǎn)時(shí)a＝，又此時(shí)直線y＝x的斜率＝－1＋的最小值為－，即z的最大值為2，符合題意，所以a的值為. 答案： 4．已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋2b≤8c，＋≤，則的取值范圍為________． 解析：因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋2b≤8c，＋≤， 所以令＝x，＝y(tǒng)， 得則 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示． 令z＝＝3x＋8y，則y＝－x＋，由圖知當(dāng)直線y＝－x＋過點(diǎn)A時(shí)，截距最大，即z最大，當(dāng)直線y＝－x＋與曲線y＝相切時(shí)，截距最小，即z最?。? 解方程組得A(2,3)， ∴zmax＝3×2＋8×

10、3＝30， 設(shè)直線y＝－x＋與曲線y＝的切點(diǎn)為(x0，y0)， 則′x＝x0＝－， 即＝－，解得x0＝3. ∴切點(diǎn)坐標(biāo)為， ∴zmin＝3×3＋8×＝27， ∴27≤≤30. 答案：[27,30] [方法技巧] 解決線性規(guī)劃問題的3步驟 [必備知能·自主補(bǔ)缺] (一) 主干知識(shí)要記牢 1．不等式的性質(zhì) (1)a＞b，b＞c?a＞c； (2)a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc； (3)a＞b?a＋c＞b＋c； (4)a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d； (5)a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd； (6)a＞b＞0，n∈N，n＞1?an＞

11、bn，＞. 2．簡(jiǎn)單分式不等式的解法 (1)＞0?f(x)g(x)＞0，＜0?f(x)g(x)＜0. (2)≥0?≤0? (3)對(duì)于形如＞a(≥a)的分式不等式要采取：“移項(xiàng)—通分—化乘積”的方法轉(zhuǎn)化為(1)或(2)的形式求解． (二) 二級(jí)結(jié)論要用好 1．一元二次不等式的恒成立問題 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是 2．基本不等式的重要結(jié)論 (1)≥(a＞0，b＞0)． (2)ab≤2(a，b∈R)． (3) ≥≥(a＞0，b＞0)． 3．線性規(guī)劃中的兩個(gè)重要結(jié)論 (1)點(diǎn)M(x0，y0)在直線

12、l：Ax＋By＋C＝0(B＞0)上方(或下方)?Ax0＋By0＋C＞0(或＜0)． (2)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)在直線l：Ax＋By＋C＝0同側(cè)(或異側(cè))?(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0(或＜0)． [課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練] A組——抓牢中檔小題 1．當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝的最大值為________． 解析：因?yàn)閤＞0，所以f(x)＝＝≤＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)取等號(hào)． 答案：1 2．若0

13、＝，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝4－3x，即x＝時(shí)取等號(hào). 答案： 3．已知點(diǎn)A(a，b)在直線x＋2y－1＝0上，則2a＋4b的最小值為________． 解析：由題意可知a＋2b＝1，則2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝，即a＝且b＝時(shí)等號(hào)成立． 答案：2 4．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，原不等式為－4<0， 所以a＝2時(shí)不等式恒成立， 當(dāng)a－2≠0，即a≠2時(shí)，由題意得 即 解得－2

14、答案：(－2,2] 5．要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無蓋長(zhǎng)方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是________． 解析：設(shè)底面矩形的一邊長(zhǎng)為x.由容器的容積為4 m3，高為1 m，得另一邊長(zhǎng)為 m. 記容器的總造價(jià)為y元， 則y＝4×20＋2×1×10 ＝80＋20≥80＋20×2 ＝160， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝2時(shí)等號(hào)成立． 因此，當(dāng)x＝2時(shí)，y取得最小值160， 即容器的最低總造價(jià)為160元． 答案：160元 6．已知a>0, b>0，且＋＝，則ab的最小值是________． 解析：因?yàn)椋剑?

15、 ，所以ab≥2，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)取等號(hào)． 答案：2 7．已知關(guān)于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為________． 解析：因?yàn)閤∈(a，＋∞)，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝4＋2a，當(dāng)且僅當(dāng)x－a＝1時(shí)等號(hào)成立． 由題意可知4＋2a≥7，解得a≥，即實(shí)數(shù)a的最小值為. 答案： 8．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足＋＝1，且不等式x＋x＋≥≥4，故m2－3m>4，化簡(jiǎn)得(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，即實(shí)數(shù)m的取

16、值范圍為(－∞，－1)∪(4，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞) 9．已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對(duì)于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：因?yàn)閒(x)＝x2＋mx－1是開口向上的二次函數(shù)，所以函數(shù)的最大值只能在區(qū)間端點(diǎn)處取到，所以對(duì)于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，只需 即 解得所以－

17、 則＋＝y(tǒng)＋3＋＝y(tǒng)－3＋＋6≥2＋6＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝4時(shí)取等號(hào)． 答案：8 11．已知α，β均為銳角，且cos(α＋β)＝，則tan α的最大值是________． 解析：由cos(α＋β)＝， 得cos αcos β－sin αsin β＝， 即cos αcos β＝sin α， 由α，β均為銳角得cos α≠0，tan β>0， 所以tan α＝＝＝＝＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)2tan β＝，即tan β＝時(shí)，等號(hào)成立． 答案： 12．(2018·山西八校聯(lián)考)若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組且3(x－a)＋2(y＋1)的最大值為5，則a＝________. 解析：設(shè)z＝3

18、(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 由z＝3(x－a)＋2(y＋1)， 得y＝－x＋，作出直線y＝－x，平移該直線，易知當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值， 由得即A(1,3)． 又目標(biāo)函數(shù)的最大值為5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2. 答案：2 13．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足－y2＝1，則3x2－2xy的最小值是________． 解析：法一：因?yàn)椋瓂2＝1， 所以3x2－2xy＝＝， 令k＝∈， 則3x2－2xy＝＝， 再令t＝3－2k∈(2,4)，則k＝， 故3x2－2xy＝＝≥＝6＋4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時(shí)等號(hào)成立． 法二：

19、因?yàn)椋瓂2＝1＝，所以令＋y＝t，則－y＝，從而則3x2－2xy＝6＋2t2＋≥6＋4，當(dāng)且僅當(dāng)t2＝時(shí)等號(hào)成立． 答案：6＋4 14．已知函數(shù)f(x)＝設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，則a的取值范圍是________． 解析：根據(jù)題意，作出f(x)的大致圖象，如圖所示． 當(dāng)x≤1時(shí)，若要f(x)≥恒成立，結(jié)合圖象，只需x2－x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故對(duì)于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝2－4(3＋a)≤0，解得a≥－；當(dāng)x>1時(shí)，若要f(x)≥恒成立，結(jié)合圖象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2時(shí)等號(hào)成立，所以a≤2.綜上，a

20、的取值范圍是. 答案： B組——力爭(zhēng)難度小題 1．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x，若當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，－1≤f(x)≤1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 解析：當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0，不等式成立； 當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，不等式－1≤f(x)≤1，即 其中∈[1，＋∞)， 從而 解得－2≤a≤0. 答案：[－2,0] 2．(2018·南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào))已知a，b，c均為正數(shù)，且abc＝4(a＋b)，則a＋b＋c的最小值為________． 解析：由a，b，c均為正數(shù)，abc＝4(a＋b)，得c＝＋，代入得a＋b＋c＝a＋b＋＋＝＋≥2

21、 ＋2 ＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)，等號(hào)成立，所以a＋b＋c的最小值為8. 答案：8 3．(2018·洛陽尖子生統(tǒng)考)已知x，y滿足約束條件則的取值范圍是________． 解析：畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示，＝1＋2×，表示可行域中的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)P(－1，－1)連線的斜率．由圖可知，當(dāng)x＝0，y＝3時(shí)，取得最大值，且max＝9.因?yàn)辄c(diǎn)P(－1，－1)在直線y＝x上，所以當(dāng)點(diǎn)(x，y)在線段AO上時(shí)，取得最小值，且min＝3.所以的取值范圍是[3,9]． 答案：[3,9] 4．已知函數(shù)f(x)＝若存在唯一的整數(shù)x，使得＞0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________

22、． 解析：作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， 易知，點(diǎn)A(1,3)，B(－1,2)，C(2,0)，D(－2,8)． 當(dāng)a<0時(shí)，則點(diǎn)M(0，a)與點(diǎn)C，點(diǎn)A連線的斜率都大于0，故不符合題意； 當(dāng)0≤a≤2時(shí)，則僅有點(diǎn)M(0，a)與點(diǎn)A連線的斜率大于0，故符合題意； 當(dāng)28時(shí)，則點(diǎn)M(0，a)與點(diǎn)B，點(diǎn)D連線的斜率都大于0，故不符合題意． 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,2]∪[3,8]． 答案：[0,2]∪[3,8] 5．(

23、2018·鎮(zhèn)江期末)已知a，b∈R，a＋b＝4，則＋的最大值為________． 解析：法一：(ab作為一個(gè)變?cè)?ab≤2＝4， ＋＝ ＝＝. 設(shè)t＝9－ab≥5， 則＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)t2＝80時(shí)等號(hào)成立， 所以＋的最大值為. 法二：(均值換元)因?yàn)閍＋b＝4， 所以令a＝2＋t，b＝2－t， 則f(t)＝＋＝＋ ＝， 令u＝t2＋5≥5， 則g(u)＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)u＝4時(shí)等號(hào)成立．所以＋的最大值為. 答案： 6．已知對(duì)任意的x∈R,3a(sin x＋cos x)＋2bsin 2x≤3(a，b∈R)恒成立，則當(dāng)a＋b取得最小值時(shí)，a的值是________．

24、 解析：由題意可令sin x＋cos x＝－，兩邊平方得1＋2sin xcos x＝，即sin 2x＝－，代入3a(sin x＋cos x)＋2bsin 2x≤3，解得－a－b≤3，可得a＋b≥－2，當(dāng)a＋b＝－2時(shí)，令t＝sin x＋cos x＝sin∈[－， ]，則sin 2x＝t2－1. 所以3at＋2(－a－2)(t2－1)≤3對(duì)t∈[－，]恒成立， 即2(a＋2)t2－3at－2a－1≥0對(duì)t∈[－，]恒成立． 記f(t)＝2(a＋2)t2－3at－2a－1，t∈[－，]． 因?yàn)閒＝0是f(t)的最小值，所以只能把f(t)看成以t為自變量的一元二次函數(shù)， 所以解得a＝－. 答案：－