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1、江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題五 函數(shù)、不等式與導數(shù) 5.1 小題考法—函數(shù)講義（含解析） 小題考情分析 大題考情分析 ?？键c 1.函數(shù)的基本性質(zhì)(5年4考) 2.函數(shù)的零點問題(5年4考) 3.導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值(5年2考) 4.基本不等式(5年3考) 　　本部分內(nèi)容在高考解答題中是必考內(nèi)容.2014年第19題，考查函數(shù)與不等式；2015年第19題，考查函數(shù)的單調(diào)性及應用函數(shù)零點確定參數(shù)值；2016年第19題，考查函數(shù)與不等式、零點問題；2017年第20題，考查函數(shù)與導數(shù)、函數(shù)的極值、零點問題；2018年第19題，考查函數(shù)的定義、函數(shù)零點以及導數(shù)應用于函數(shù)的性質(zhì)

2、問題．題目難度較大，多體現(xiàn)分類討論思想. 偶考點 1.一元二次不等式恒成立問題 2.線性規(guī)劃問題 考點(一) 函數(shù)的基本性質(zhì) 主要考查函數(shù)的三要素以及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的應用，常結(jié)合分段函數(shù)命題. [題組練透] 1．(2018·江蘇高考)函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2,2]上，f(x)＝則f(f(15))的值為________． 解析：由函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)， 可知函數(shù)f(x)的周期是4， 所以f(15)＝f(－1)＝＝， 所以f(f(15))＝f＝cos＝. 答案： 2．(2017·江蘇高考

3、)已知函數(shù)f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由f(x)＝x3－2x＋ex－， 得f(－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)， 所以f(x)是R上的奇函數(shù)． 又f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0，當且僅當x＝0時取等號， 所以f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增． 因為f(a－1)＋f(2a2)≤0， 所以f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)， 所以a－1≤－2a2，解得－1≤a≤， 故實數(shù)a的取值范圍是. 答案： 3．(2018·揚州期末)已知函數(shù)

4、f(x)＝若存在實數(shù)k使得該函數(shù)的值域為[－2,0]，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， ①當x∈[－1，k]時，f(x)＝log(－x＋1)－1在[－1,1)上是單調(diào)遞增，且f(－1)＝－2，f＝0，因為原函數(shù)在[－1，a]上的值域為[－2,0]，所以必有－1

5、2.所以實數(shù)a的取值范圍為. 答案： [方法技巧] 函數(shù)性質(zhì)的應用技巧 奇偶性 具有奇偶性的函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切，研究問題時可轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上．尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì)：f(|x|)＝f(x) 單調(diào)性 可以比較大小，求函數(shù)最值，解不等式，證明方程根的唯一性 周期性 利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解 對稱性 利用其軸對稱或中心對稱可將研究的問題，轉(zhuǎn)化到另一對稱區(qū)間上研究 考點(二) 基本初等函數(shù) 主要考查基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及

6、由基本初等函數(shù)復合而成的函數(shù)的性質(zhì)問題. [題組練透] 1．(2018·南通檢測)已知冪函數(shù)f(x)＝xα，其中α∈.則使f(x)為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)的α的所有取值的集合為________． 解析：冪函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則α＝－1,1,3，f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，則α的所有值為1,3. 答案：{1,3} 2．已知函數(shù)y＝與函數(shù)y＝的圖象共有k(k∈N*)個公共點：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，Ak(xk，yk)，則(xi＋yi)＝________. 解析：如圖，函數(shù)y＝與函數(shù)y＝的圖象都關于點(0,1)成中心對稱， 所

7、以它們的交點也關于點(0,1)成中心對稱，且只有兩個交點， 所以i＝0，i＝2，則(xi＋yi)＝2. 答案：2 3．(2018·鎮(zhèn)江期末)不等式logax－ln2x＜4(a＞0且a≠1)對任意x∈(1,100)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________________． 解析：不等式logax－ln2x＜4可化為－ln2x＜4， 即＜＋ln x對任意x∈(1,100)恒成立． 因為x∈(1,100)，所以ln x∈(0,2ln 10)， 所以＋ln x≥4，故＜4， 解得ln a＜0或ln a＞，即0＜a＜1或a＞e. 答案：(0,1)∪ 4．(2018·揚州期中)已知

8、函數(shù)f(x)＝x(1－a|x|)＋1(a＞0)，若f(x＋a)≤f(x)對任意的x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是__________． 解析：∵f(x)＝x(1－a|x|)＋1 ＝ ＝(a>0)， f(x＋a)＝(x＋a)(1－a|x＋a|)＋1， 又∵f(x＋a)≤f(x)對任意的x∈R恒成立， 在同一直角坐標系中作出滿足題意的y＝f(x＋a)與y＝f(x)的圖象如圖所示． ∴x(1＋ax)＋1≥(x＋a)[1－a(x＋a)]＋1恒成立， 即x＋ax2＋1≥－a(x2＋2ax＋a2)＋x＋a＋1， 整理得：2x2＋2ax＋a2－1≥0恒成立， ∴Δ＝4a2－4×2×(a

9、2－1)≤0，解得a≥. 即實數(shù)a的取值范圍是[，＋∞)． 答案：[，＋∞) [方法技巧] 基本初等函數(shù)圖象與性質(zhì)的應用技巧 (1)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性都取決于其底數(shù)，當?shù)讛?shù)a的值不確定時，要注意分a>1和00和α<0兩種情況的不同． 考點(三) 函數(shù)的零點問題 　　　　　　　　　　　　　 主要考查函數(shù)零點個數(shù)問題以及根

10、據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍. [典例感悟] [典例]　(1)(2018·蘇錫常鎮(zhèn)一模)若函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝|f(x)|－的零點個數(shù)為________． (2)(2018·鎮(zhèn)江期末)已知k為常數(shù)，函數(shù)f(x)＝若關于x的方程f(x)＝kx＋2有且只有四個不同解，則實數(shù)k的取值構(gòu)成的集合為________． [解析]　(1)當x≥1時，y＝－， 則＝，即ln x＝x2， 令g(x)＝ln x－x2，x≥1， 則函數(shù)g(x)是連續(xù)函數(shù)且先增后減， g(1)＝－＜0，g(2)＝ln 2－＞0， g(4)＝ln 4－2＜0，由函數(shù)的零點判定定理可知g(x)＝ln x－x

11、2有2個零點． 當x＜1時，y＝ 函數(shù)的圖象與y＝的圖象如圖，則兩個函數(shù)有2個交點，綜上，函數(shù)y＝|f(x)|－有4個零點． (2)作函數(shù)y＝f(x)和y＝kx＋2的圖象，如圖所示，兩圖象除了(0,2)還應有3個公共點． 當k≥0時，直線應與曲線y＝f(x)(x>1)相切， 設切點(x0，ln x0)，則切線斜率為k＝，又k＝，則＝，解得x0＝e3，此時k＝； 當k<0時，當y＝kx＋2與曲線y＝相切于點(0,2)時，k＝－1，函數(shù)y＝f(x)和y＝kx＋2的圖象只有3個公共點，不符合題意， 當－1

12、 當直線y＝kx＋2與y＝f(x)(00.若函數(shù)y＝f(f(x))－1有3個不同的零點，則m的取值范圍是_

13、_______． 解析：令f(x)＝t，則f(t)＝1，所以t＝或t＝m－1，即f(x)＝與f(x)＝m－1有3個不同解． 畫出函數(shù)f(x)的圖象，結(jié)合題意解得 解得0

14、2018·南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào))設函數(shù)f(x)＝(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))有3個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：法一：(直接法)當x>0時，令f(x)＝e－x－＝0，解得x＝ln 2>0，此時函數(shù)f(x)有1個零點，因為要求函數(shù)f(x)在R上有3個不同的零點，則當x≤0時，f(x)＝x3－3mx－2有2個不同的零點，因為f′(x)＝3x2－3m，若m≤0，則函數(shù)f(x)為增函數(shù)，不合題意，若m>0，由f′(x)>0，得x<－；由f′(x)<0，得－

15、f(－)＝－m＋3m－2＝2m－2，f(0)＝－2<0，要使f(x)＝x3－3mx－2在(－∞，0]上有2個不同的零點，則f(x)max＝2m－2>0，即m>1，故實數(shù)m的取值范圍是(1，＋∞)． 法二：(分離參數(shù)法)當x>0時，令f(x)＝e－x－＝0，解得x＝ln 2>0，此時函數(shù)f(x)有1個零點，因為要求函數(shù)f(x)在R上有3個不同的零點，則當x≤0時，f(x)＝x3－3mx－2有2個不同的零點，令x3－3mx－2＝0，顯然x＝0不是它的根，所以3m＝x2－，令y＝x2－(x<0)，則y′＝2x＋＝，當x∈(－∞，－1)時，y′<0，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當x∈(－1,0)時，y′>0，

16、此時函數(shù)單調(diào)遞增，故ymin＝3，因此，要使f(x)＝x3－3mx－2在(－∞，0)上有2個不同的零點，則需3m>3，即m>1. 答案：(1，＋∞) [必備知能·自主補缺] (一) 主干知識要牢記 1．函數(shù)的定義域 (1)函數(shù)的定義域是研究函數(shù)問題的先決條件，它會直接影響函數(shù)的性質(zhì)，所以要樹立定義域優(yōu)先的意識． (2)對于復合函數(shù)的定義域要注意： ①如果函數(shù)f(x)的定義域為A，則f(g(x))的定義域是使函數(shù)g(x)∈A的x的取值范圍． ②如果f(g(x))的定義域為A，則函數(shù)f(x)的定義域是函數(shù)g(x)的值域． ③f(g(x))與f(h(x))聯(lián)系的紐帶是g(x)與h(

17、x)的值域相同． 2．函數(shù)的值域 求函數(shù)值域的常用方法有觀察法、不等式法、圖象法、換元法、單調(diào)性法等． 3．函數(shù)的圖象 函數(shù)的圖象包括作圖、識圖、用圖，其中作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換． 4．函數(shù)的單調(diào)性 單調(diào)性是函數(shù)的一個局部性質(zhì)，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性．判斷函數(shù)單調(diào)性常用定義法、圖象法及導數(shù)法． 5．函數(shù)的奇偶性 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，在關于坐標原點對稱的定義域上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)的圖象關于坐標原點對稱，在關于坐標原點對稱的定義域上具有相同

18、的單調(diào)性．判斷函數(shù)奇偶性的常用方法有定義法、圖象法及性質(zhì)法． 6．函數(shù)的周期性 周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．若函數(shù)滿足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，則其一個周期T＝|a|，最小正數(shù)T叫做f(x)的最小正周期． (二) 二級結(jié)論要用好 1．函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的重要結(jié)論 (1)當f(x)，g(x)同為增(減)函數(shù)時，f(x)＋g(x)為增(減)函數(shù)． (2)偶函數(shù)的和、差、積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商是奇函數(shù)． (3)定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)的圖象必過原點，即有f(0)＝0.存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)：f(x

19、)＝0. 2．抽象函數(shù)的周期性與對稱性的結(jié)論 (1)函數(shù)的周期性 ①若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a. ②若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a. ③若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a. (2)函數(shù)圖象的對稱性 ①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，或f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝a對稱． ②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，或f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關于點(a,0)對稱． ③若函數(shù)y＝f(x

20、)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝對稱． 3．函數(shù)圖象平移變換的相關結(jié)論 (1)把y＝f(x)的圖象沿x軸左右平移|c|個單位(c＞0時向左移，c＜0時向右移)得到函數(shù)y＝f(x＋c)的圖象(c為常數(shù))． (2)把y＝f(x)的圖象沿y軸上下平移|b|個單位(b＞0時向上移，b＜0時向下移)得到函數(shù)y＝f(x)＋b的圖象(b為常數(shù))． [課時達標訓練] A組——抓牢中檔小題 1．(2018·江蘇高考)函數(shù)f(x)＝的定義域為________． 解析：由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，所以函數(shù)f(x)＝的定義域為{x|x≥2

21、}． 答案：{x|x≥2} 2．(2018·蘇州期末)已知4a＝2，logax＝2a，則正實數(shù)x的值為________． 解析：由4a＝2，得22a＝21，所以2a＝1，即a＝.由logx＝1，得x＝1＝. 答案： 3．函數(shù)f(x)＝ln的值域是________． 解析：因為|x|≥0，所以|x|＋1≥1. 所以0＜≤1.所以ln≤0， 即f(x)＝ln的值域為(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 4．(2018·啟東模考)設函數(shù)f(x)＝ 則f(f(2))＝________. 解析：因為f(2)＝－4＋2＝－2，f(－2)＝－2－1＝3，所以f(f(2))＝3. 答案

22、：3 5．已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)＝.若g(2)＝3，則g(－2)＝________. 解析：由題意可得g(2)＝＝3，解得f(2)＝1.又f(x)是奇函數(shù)，則f(－2)＝－1，所以g(－2)＝＝＝－1. 答案：－1 6．(2018·南京、鹽城一模)設函數(shù)y＝ex＋－a的值域為A，若A?[0，＋∞)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：因為ex>0，所以y＝ex＋－a≥2 －a＝2－a，當且僅當ex＝1，即x＝0時取等號．故函數(shù)的值域A＝[2－a，＋∞)．又A?[0，＋∞)，所以2－a≥0，得a≤2，即實數(shù)a的取值范圍是(－∞，2]． 答案： (－∞，2] 7．(

23、2018·福建模擬)已知函數(shù)f(x)＝有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當x<1時，令ln(1－x)＝0，解得x＝0，故f(x)在(－∞，1)上有1個零點， ∴f(x)在[1，＋∞)上有1個零點． 當x≥1時，令－a＝0，得a＝≥1. ∴實數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞) 8．(2018·蘇州模擬)設a＝log2，b＝log，c＝0.3，則a，b，c按從小到大的順序排列為_________． 解析：因為log2log22＝1,0<0.3<0＝1，即a<0，b>1,0

24、

25、18·鹽城期中)若函數(shù)f(x)＝在區(qū)間(－∞，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：函數(shù)f(x)＝根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，要使函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，a)上單調(diào)遞減，則a≤0.因此函數(shù)f(x)＝|x＋1|在區(qū)間(a，＋∞)上單調(diào)遞增，那么a＋1≥0，解得a≥－1.所以實數(shù)a的取值范圍是[－1，0]． 答案：[－1,0] 12．(2018·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝(e是自然對數(shù)的底數(shù))．若函數(shù)y＝f(x)的最小值是4，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：法一：當x≥1時，f(x)mi

26、n＝f(2)＝4，所以當x<1時，a－ex≥4恒成立．轉(zhuǎn)化為a≥ex＋4對x<1恒成立．因為ex＋4在(－∞，1)上的值域為(4，e＋4)，所以a≥e＋4. 法二：當x<1時，f(x)＝a－ex>a－e；當x≥1時，f(x)＝x＋≥4，當且僅當x＝，即x＝2時，取“＝”，又函數(shù)f(x)的值域是[4，＋∞)，所以a－e≥4，即a≥e＋4. 答案： [e＋4，＋∞) 13．(2018·南京、鹽城、連云港二模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝x2＋x.若f(a)＋f(－a)＜4，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：法一：(奇偶性的性質(zhì))因為f(x)是定

27、義在R上的偶函數(shù)，所以f(a)＋f(－a)＝2 f(|a|)<4， 得f(|a|)<2，即|a|2＋|a|<2，(|a|＋2)(|a|－1)<0，解得－1

28、18·南通三模)已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝2f(x)－ax恰有2個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由題意可知，g(x)＝ 顯然當a＝2時，g(x)有無窮多個零點，不符合題意； 當x≥a時，令g(x)＝0，得x＝0， 當x0，且a≠2，則g(x)在[a，＋∞)上無零點， 在(－∞，a)上存在零點x＝0和x＝－， ∴≥a，解得0

29、 ∴g(x)在(－∞，a)上只有1個零點， ∵0?(－∞，a)， ∴g(x)在(－∞，a)上的零點為－， ∴－

30、)＝ax＋1恰有一個解時，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析： 畫出函數(shù)y＝f(x)與y＝ax＋1的圖象． 當y＝ax＋1過點B(2,2)時，a＝，此時方程有兩個解； 當y＝ax＋1與f(x)＝2(x≥2)相切時， 則有ax＋1＝2，即a2x2＋(2a－4)x＋5＝0， 所以Δ＝(2a－4)2－20a2＝0，解得a＝， 此時方程有兩個解； 當y＝ax＋1過點A(1,2)時，a＝1，此時方程有一個解． 因為方程恰有一個解，結(jié)合圖象和以上分析可知實數(shù)a的取值范圍為∪. 答案：∪ 3．(2018·無錫期末)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝－x2－2x－2.若存在a∈R

31、，使得f(a)＋g(b)＝0，則實數(shù)b的取值范圍是________． 解析：由題意，存在a∈R，使得f(a)＝－g(b)， 令h(b)＝－g(b)＝b2＋2b＋2. 當a≤－時，f(a)＝＝－＋＋1＝－2＋2，因為a≤－，所以－2≤<0，從而－7≤f(a)<1； 當a>－時，f(a)＝log，因為a>－，所以>，從而f(a)<2. 綜上，函數(shù)f(a)的值域是(－∞，2)． 令h(b)<2，即b2＋2b＋2<2，解得－2

32、是________． 解析：當a＜0時，x≤0，y＝ax－1的圖象經(jīng)過第二、三象限；x>0，y＝x3－ax＋|x－2|>0在(0，＋∞)恒成立，所以圖象僅在第一象限，所以a＜0時顯然滿足題意；當a≥0時，x≤0，y＝ax－1的圖象僅經(jīng)過第三象限，由題意知，x>0，y＝x3－ax＋|x－2|的圖象需經(jīng)過第一、四象限． y＝x3＋|x－2|與y＝ax在y軸右側(cè)的圖象有公共點(且不相切)，如圖， y＝x3＋|x－2|＝ 結(jié)合圖象設切點坐標為(x0，x－x0＋2)，y′＝3x2－1，則有3x－1＝， 解得x0＝1，所以臨界直線l0的斜率為2，所以a＞2時，符合．綜上，a＜0或a＞2.

33、答案：(－∞，0)∪(2，＋∞) 5．(2018·蘇州測試)設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝2x，若對任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f2(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當x≥0時，定義在R上的偶函數(shù)f(x)＝2x，易得f(x)＝2|x|，x∈R.由f(x＋a)≥f2(x)得，2|x＋a|≥(2|x|)2，即|x＋a|≥|2x|對于x∈[a，a＋2]恒成立，即(3x＋a)(x－a)≤0對于x∈[a，a＋2]恒成立， 即解得a≤－. 答案： 6．(2018·南京、鹽城、連云港二模)已知函數(shù)f(x)＝t∈R.若函數(shù)g(x)

34、＝f(f (x)－1)恰有4個不同的零點，則t的取值范圍為________． 解析：當x<0時，f′(x)＝－3x2＋6x＝3x(2－x)，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，此時f(0)＝t. 當t≥0時，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖①所示． 令f(x)＝0，得x＝0， 從而當g(x)＝f(f(x)－1)＝0時，f(x)＝1， 由圖象①可知，此時至多有兩個零點，不符合題意； 當t<0時，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖②所示． 令f(x)＝0，得x＝0，或x＝m(m<0)，且－m3＋3m2＋t＝0， 從而當g(x)＝f(f(x)－1)＝0時， f(x)－1＝0或f(x)－1＝m，即f(x)＝1或f(x)＝1＋m， 借助圖象②知，欲使得函數(shù)g(x)恰有4個不同的零點， 則m＋1≥0，從而－1≤m<0. 又因為t(m)＝m3－3m2，而t′(m)＝3m2－6m>0， 故t(m)在區(qū)間[－1,0)上單調(diào)遞增，從而t∈[－4,0)． 答案： [－4,0)