《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 5 第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 5 第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學(xué)案（16頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第5講　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 1．根式 (1)根式的概念 ①若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)． ②a的n次方根的表示： xn＝a? (2)根式的性質(zhì) ①()n＝a(n∈N*，且n>1)． ②＝ 2．有理數(shù)指數(shù)冪 (1)冪的有關(guān)概念 ①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義． (2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝a

2、rs(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì) 函數(shù) y＝ax(a>0，且a≠1) 圖象 01 圖象特征 在x軸上方，過定點(diǎn)(0，1) 當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸下降 當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸上升 性質(zhì) 定義域 R 值域 (0，＋∞) 單調(diào)性 減 增 函數(shù)值 變化 規(guī)律 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1 當(dāng)x<0時(shí)，y>1； 當(dāng)x>0時(shí)，00時(shí)，y>1 4.指數(shù)函數(shù)的變化特征 在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別作出指數(shù)函數(shù)y＝ax，

3、y＝bx，y＝cx，y＝dx(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的圖象，如圖所示． 作出直線x＝1，分別與四個(gè)圖象自上而下交于點(diǎn)A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，得到底數(shù)的大小關(guān)系是：a＞b＞1＞c＞d＞0.根據(jù)y軸右側(cè)的圖象，也可以利用口訣：“底大圖高”來記憶． [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)＝()n＝a.(　　) (2)(－1)＝(－1)＝.(　　) (3)函數(shù)y＝a－x是R上的增函數(shù)．(　　) (4)函數(shù)y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (5)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù)．(　　) (

4、6)若am0，且a≠1)，則m

5、>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，則A的坐標(biāo)為________． 解析：令x－2＝0，則x＝2，f(2)＝3，即A的坐標(biāo)為(2，3)． 答案：(2，3) [易錯(cuò)糾偏] (1)忽略n的范圍導(dǎo)致式子(a∈R)化簡出錯(cuò)； (2)不能正確理解指數(shù)函數(shù)的概念致錯(cuò)； (3)指數(shù)函數(shù)問題時(shí)刻注意底數(shù)的兩種情況； (4)復(fù)合函數(shù)問題容易忽略指數(shù)函數(shù)的值域致錯(cuò)． 1．計(jì)算＋＝________． 解析：＋＝(1＋)＋(－1)＝2. 答案：2 2．若函數(shù)f(x)＝(a2－3)·ax為指數(shù)函數(shù)，則a＝________． 解析：由題意知即a＝2. 答案：2 3．若函數(shù)f(x)＝ax在[－1，1

6、]上的最大值為2，則a＝________． 解析：當(dāng)a>1時(shí)，a＝2；當(dāng)00且2≠1. 答案：(0，1)∪(1，＋∞) 　　　　　　指數(shù)冪的運(yùn)算 化簡下列各式： (1)＋2－2·－(0.01)0.5； (2)a·b－2·÷(a，b>0)． 【解】　(1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝. (2)原式＝－a－b－3÷ ＝－a－b－3÷＝－a－·b－ ＝－·＝－. 指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則 (1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無括號(hào)的先算指數(shù)運(yùn)算．

7、 (2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)． (3)底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)． (4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答． [提醒]　運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式力求統(tǒng)一．　 　化簡下列各式： (1)(0.027)＋－； (2)·. 解：(1)原式＝0.32＋－ ＝＋－＝. (2)原式＝＝＝. 　　　　　指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 (1)函數(shù)f(x)＝21－x的大致圖象為(　　) (2)函數(shù)f(x)＝|ax＋b|(a>0，a≠1，b∈R)的圖象

8、如圖所示，則a＋b的取值范圍是________． (3)若方程|3x－1|＝k有一解，則k的取值范圍為________． 【解析】　(1)函數(shù)f(x)＝21－x＝2×，單調(diào)遞減且過點(diǎn)(0，2)，選項(xiàng)A中的圖象符合要求． (2)因?yàn)楦鶕?jù)圖象得a>1，f()＝0，b<0. 所以＋b＝0，所以a＋b＝a－>1－＝0. (3)函數(shù)y＝|3x－1|的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一個(gè)單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示． 當(dāng)k＝0或k≥1時(shí)，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖象有唯一的交點(diǎn)，所以方程有一解． 【答案】　(1)A　(2)(0，＋

9、∞)　(3){0}∪[1，＋∞) 應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象的4個(gè)技巧 (1)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，. (2)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷所給的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除． (3)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論． (4)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．　 1．函數(shù)y＝(a>1)的圖象大致是(　　) 解析：選B.y＝因?yàn)閍>1，依

10、據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象特征可知選B. 2．若函數(shù)y＝21－x＋m的圖象不經(jīng)過第一象限，則m的取值范圍為________． 解析：y＝＋m， 函數(shù)y＝的圖象如圖所示，則要使其圖象不經(jīng)過第一象限，則m≤－2. 答案：(－∞，－2] 　　　　　　指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(高頻考點(diǎn)) 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)主要是其單調(diào)性，特別受到高考命題專家的青睞，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．主要命題角度有： (1)比較指數(shù)式的大??； (2)解簡單的指數(shù)方程或不等式； (3)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性； (4)函數(shù)的值域(最值)． 角度一　比較指數(shù)式的大小 設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，

11、則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)0.60.6>0.61.5， 即b0，所以1.50.6>1.50＝1，即c>1.綜上，b

12、0時(shí)，不等式f(a)<1可化為－7<1，即<8，即<，因?yàn)?<<1，所以a>－3，此時(shí)－3

13、2x＋1的增區(qū)間． 又u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間為(－∞，1]， 所以f(x)的減區(qū)間為(－∞，1]． (2)因?yàn)閒(x)＝2|x－a|， 所以f(x)的圖象關(guān)于x＝a對稱．又由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故a＝1，且f(x)的增區(qū)間是[1，＋∞)，由函數(shù)f(x)在[m，＋∞)上單調(diào)遞增，知[m，＋∞)?[1，＋∞)， 所以m≥1，故m的最小值為1. 【答案】　(1)(－∞，1]　(2)1 角度四　函數(shù)的值域(最值) 如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在區(qū)間[－1，1]上的最大值是14，則a的值為(　　) A. B．1

14、 C．3 D.或3 【解析】　令ax＝t，則y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)閤∈[－1，1]，所以t∈， 又函數(shù)y＝(t＋1)2－2在上單調(diào)遞增， 所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(負(fù)值舍去)． 當(dāng)0

15、等式問題，應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論． (3)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問題歸結(jié)為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決． [提醒]　在研究指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)與“1”的大小關(guān)系不明確時(shí)，要分類討論．　 1．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定義域和值域都是[－1，0]，則a＋b＝________． 解析：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax＋b在[－1，0]上為增函數(shù)，

16、由題意得無解．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax＋b在[－1，0]上為減函數(shù)，由題意得解得所以a＋b＝－. 答案：－ 2．已知函數(shù)f(x)＝的值域是[－8，1]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f(x)∈[－8，1]，當(dāng)a≤x<0時(shí)，f(x)∈，所以[－8，1]，即－8≤－<－1，即－3≤a<0， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－3，0)． 答案：[－3，0) [基礎(chǔ)題組練] 1．函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是(　　) 解析：選A.將函數(shù)解析式與圖象對比分析，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，且值域是(－∞，0]，只有A滿足上述兩

17、個(gè)性質(zhì)． 2．化簡4a·b－÷的結(jié)果為(　　) A．－　　　　　　　　　 B．－ C．－ D．－6ab 解析：選C.原式＝a－b－－＝－6ab－1＝－，故選C. 3．下列各式比較大小正確的是(　　) A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62 C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1 解析：選B.A中，因?yàn)楹瘮?shù)y＝1.7x在R上是增函數(shù)，2.5<3，所以1.72.5<1.73.B中，因?yàn)閥＝0.6x在R上是減函數(shù)，－1<2，所以0.6－1>0.62.C中，因?yàn)?.8－1＝1.25，所以問題轉(zhuǎn)化為比較1.250.1與1.250.

18、2的大?。?yàn)閥＝1.25x在R上是增函數(shù)，0.1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D中，因?yàn)?.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1. 4．(2020·寧波效實(shí)中學(xué)高三質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)滿足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是　(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：選B.由f(1)＝得a2＝. 又a>0，所以a＝，因此f(x)＝. 因?yàn)間(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)

19、間是[2，＋∞)． 5．已知函數(shù)y＝f(x)與y＝F(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，當(dāng)函數(shù)y＝f(x)和y＝F(x)在區(qū)間[a，b]同時(shí)遞增或同時(shí)遞減時(shí)，把區(qū)間[a，b]叫作函數(shù)y＝f(x)的“不動(dòng)區(qū)間”，若區(qū)間[1，2]為函數(shù)y＝|2x－t|的“不動(dòng)區(qū)間”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(　　) A．(0，2] B. C. D.∪ 解析：選C.因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)與y＝F(x)的圖象關(guān)于y軸對稱， 所以F(x)＝f(－x)＝|2－x－t|， 因?yàn)閰^(qū)間[1，2]為函數(shù)f(x)＝|2x－t|的“不動(dòng)區(qū)間”， 所以函數(shù)f(x)＝|2x－t|和函數(shù)F(x)＝|2－x－t|在[1，2]上單調(diào)性相

20、同， 因?yàn)閥＝2x－t和函數(shù)y＝2－x－t的單調(diào)性相反， 所以(2x－t)(2－x－t)≤0在[1，2]上恒成立， 即1－t(2x＋2－x)＋t2≤0在[1，2]上恒成立， 即2－x≤t≤2x在[1，2]上恒成立， 即≤t≤2，故答案為C. 6．指數(shù)函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(m，3)，則f(0)＋f(－m)＝________． 解析：設(shè)f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，所以f(0)＝a0＝1. 且f(m)＝am＝3. 所以f(0)＋f(－m)＝1＋a－m＝1＋＝. 答案： 7．(2020·杭州中學(xué)高三月考)已知ex＋x3＋x＋1＝0，－27y3－3y＋1＝0，則ex＋

21、3y的值為________． 解析：因?yàn)閑x＋x3＋x＋1＝0，－27y3－3y＋1＝0等價(jià)于e－3y＋(－3y)3＋(－3y)＋1＝0，所以x＝－3y，即x＋3y＝0，所以ex＋3y＝e0＝1. 答案：1 8．若函數(shù)f(x)＝是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：依題意，a應(yīng)滿足解得

22、m<2，解得－1

23、必有解得a＝1， 即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值為1. 11．已知函數(shù)f(x)＝a|x＋b|(a>0，a≠1，b∈R)． (1)若f(x)為偶函數(shù)，求b的值； (2)若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，試求a，b應(yīng)滿足的條件． 解：(1)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)， 所以對任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)， 即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0. (2)記h(x)＝|x＋b|＝ ①當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)， 即h(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，所以－b≤2，b≥－2. ②當(dāng)0

24、＋∞)上是增函數(shù)，即h(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是減函數(shù)，但h(x)在區(qū)間[－b，＋∞)上是增函數(shù)，故不存在a，b的值，使f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)． 所以f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)時(shí)，a，b應(yīng)滿足的條件為a>1且b≥－2. [綜合題組練] 1．已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是(　　) A．a(chǎn)<0，b<0，c<0 B．a(chǎn)<0，b≥0，c>0 C．2－a<2c D．2a＋2c<2 解析：選D.作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖，因?yàn)閍f(c)>f(b)，結(jié)合圖象知，

25、00，所以0<2a<1.所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，所以f(c)<1，所以0f(c)，所以1－2a>2c－1，所以2a＋2c<2，故選D. 2．(2020·衢州市高考模擬)已知函數(shù)f(x)＝，則此函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有(　　) A．0對 B．1對 C．2對 D．3對 解析：選B.作出函數(shù)y＝f(x)圖象如圖所示： 再作出－y＝f(－x)，即y＝x2－4x，恰好與函數(shù)圖象位于y軸左側(cè)部分(對數(shù)函數(shù)的圖象)關(guān)于原點(diǎn)對稱，記為曲線C，發(fā)現(xiàn)y＝與曲線C

26、有且僅有一個(gè)交點(diǎn)， 因此滿足條件的對稱點(diǎn)只有一對，圖中的A、B就是符合題意的點(diǎn)．故選B. 3．(2020·杭州模擬)已知函數(shù)y＝ax＋b(a>0，且a≠1，b>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(1，3)，如圖所示，則＋的最小值為________，此時(shí)a，b的值分別為________．　 解析：由函數(shù)y＝ax＋b(a>0且a≠1，b>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(1，3)，得a＋b＝3，所以＋＝1，又a>1，則＋＝＝2＋＋＋≥＋2?。?，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時(shí)取等號(hào)，所以＋的最小值為. 答案：　， 4．(2020·紹興一中高三期中)已知函數(shù)f(x)＝e|x|，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移3個(gè)單位后，再向上平

27、移2個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，函數(shù)h(x)＝若對于任意的x∈[3，λ](λ>3)，都有h(x)≥g(x)，則實(shí)數(shù)λ的最大值為________． 解析：依題意，g(x)＝f(x－3)＋2＝e|x－3|＋2，在同一坐標(biāo)系中分別作出g(x)，h(x)的圖象如圖所示，觀察可得，要使得h(x)≥g(x)，則有4e6－x＋2≥e(x－3)＋2，故4≥e2x－9，解得2x－9≤ln 4，故x≤ln 2＋，實(shí)數(shù)λ的最大值為ln 2＋. 答案：ln 2＋ 5．已知函數(shù)f(x)＝2a·4x－2x－1. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)在x∈[－3，0]上的值域； (2)若關(guān)于x的方程f(x)＝0有

28、解，求a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝2·4x－2x－1 ＝2(2x)2－2x－1， 令t＝2x，x∈[－3，0]，則t∈. 故y＝2t2－t－1＝2－，t∈， 故值域?yàn)? (2)關(guān)于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解， 設(shè)2x＝m>0， 等價(jià)于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解， 記g(m)＝2am2－m－1， 當(dāng)a＝0時(shí)，解為m＝－1<0，不成立． 當(dāng)a<0時(shí)，開口向下，對稱軸m＝<0， 過點(diǎn)(0，－1)，不成立． 當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，對稱軸m＝>0，過點(diǎn)(0，－1)，必有一個(gè)根為正，綜上得a>0. 6．(2020·寧波效實(shí)中學(xué)

29、模擬)已知函數(shù)f(x)＝，x∈[－1，1]，函數(shù)g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值為h(a)． (1)求h(a)； (2)是否存在實(shí)數(shù)m，n同時(shí)滿足下列條件： ①m>n>3； ②當(dāng)h(a)的定義域?yàn)閇n，m]時(shí)，值域?yàn)閇n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由． 解：(1)因?yàn)閤∈[－1，1]， 所以f(x)＝∈， 設(shè)t＝∈. 則y＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2. 當(dāng)a<時(shí)，ymin＝h(a)＝φ＝－； 當(dāng)≤a≤3時(shí)，ymin＝h(a)＝φ(a)＝3－a2； 當(dāng)a>3時(shí)，ymin＝h(a)＝φ(3)＝12－6a. 所以h(a)＝ (2)假設(shè)存在m，n滿足題意． 因?yàn)閙>n>3，h(a)＝12－6a在(3，＋∞)上是減函數(shù)， 又因?yàn)閔(a)的定義域?yàn)閇n，m]， 值域?yàn)閇n2，m2]， 所以兩式相減得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，即m＋n＝6，與m>n>3矛盾， 所以滿足題意的m，n不存在． 16