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(全國(guó)通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)(四十三)直線與圓錐曲線 文

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1、(全國(guó)通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)(四十三)直線與圓錐曲線 文 1.直線y=x+3與雙曲線-=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(  ) A.1 B.2 C.1或2 D.0 解析:選A 因?yàn)橹本€y=x+3與雙曲線的漸近線y=x平行,所以它與雙曲線只有1個(gè)交點(diǎn). 2.已知直線y=2(x-1)與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M(-1,m),若·=0,則m=(  ) A. B. C. D.0 解析:選B 由得A(2,2),B,又∵M(jìn)(-1,m)且·=0,∴2m2-2m+1=0,解得m=. 3.斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則|A

2、B|的最大值為(  ) A.2 B. C. D. 解析:選C 設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),直線l的方程為y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.則x1+x2=-t,x1x2=.∴|AB|=|x1-x2|=·=· =·,故當(dāng)t=0時(shí),|AB|max=. 4.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)上的一點(diǎn)到雙曲線的左、右焦點(diǎn)的距離之差為4,若拋物線y=ax2上的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱,且x1x2=-,則m的值為(  ) A. B. C.2 D.3 解析:選A 由雙曲線的定義知2a=4,得a=2,

3、所以拋物線的方程為y=2x2.因?yàn)辄c(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線y=2x2上,所以y1=2x,y2=2x,兩式相減得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨設(shè)x1<x2,又A,B關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱,所以=-1,故x1+x2=-,而x1x2=-,解得x1=-1,x2=,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)的中點(diǎn)為M(x0,y0),則x0==-,y0===,因?yàn)橹悬c(diǎn)M在直線y=x+m上,所以=-+m,解得m=. 5.已知傾斜角為60°的直線l通過拋物線x2=4y的焦點(diǎn),且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長(zhǎng)為________. 解析:直線l的方程為y=x+1,由得y

4、2-14y+1=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=14,∴|AB|=y(tǒng)1+y2+p=14+2=16. 答案:16 6.設(shè)雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線與拋物線y=x2+1只有一個(gè)公共點(diǎn),則雙曲線的離心率為________. 解析:雙曲線-=1的一條漸近線為y=x,由方程組消去y,得x2-x+1=0有唯一解,所以Δ=2-4=0,=2,所以e=== =. 答案: 7.已知拋物線C:y2=8x與點(diǎn)M(-2,2),過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若·=0,則k=________. 解析:如圖所示,設(shè)F為焦點(diǎn),易知F(2,0),取AB的中點(diǎn)P,

5、過A,B分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為G,H,連接MF,MP,由·=0,知MA⊥MB,則|MP|=|AB|=(|AF|+|BF|)=(|AG|+|BH|),所以MP為直角梯形BHGA的中位線,所以MP∥AG∥BH,由|MP|=|AP|,得∠GAM=∠AMP=∠MAP,又|AG|=|AF|,AM為公共邊,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM=90°,則MF⊥AB,所以k=-=2. 答案:2 [大題??碱}點(diǎn)——穩(wěn)解全解] 1.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),離心率為.過點(diǎn)F2的直線l(斜率不為0)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)

6、為D,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OD交橢圓于M,N兩點(diǎn). (1)求橢圓C的方程; (2)當(dāng)四邊形MF1NF2為矩形時(shí),求直線l的方程. 解:(1)由題意可知解得a=,b=. 故橢圓C的方程為+=1. (2)由題意可知直線l的斜率存在.設(shè)其方程為y=k(x-2),點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(-x3,-y3),由得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0,所以x1+x2=,則y1+y2=k(x1+x2-4)=,所以AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為,因此直線OD的方程為x+3ky=0(k≠0).由解得y=,x3=-3ky3.因?yàn)樗倪呅蜯F1NF2為矩形,所以·=0,即(

7、x3-2,y3)·(-x3-2,-y3)=0,所以4-x-y=0.所以4-=0.解得k=±.故直線l的方程為x-3y-2=0或x+3y-2=0. 2.已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為,其一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線x2=-4y的焦點(diǎn). (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若過點(diǎn)P(2,1)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M,求直線l的方程和點(diǎn)M的坐標(biāo). 解:(1)設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0), 由題意得b=,=,解得a=2,c=1. 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)因?yàn)檫^點(diǎn)P(2,1)的直線l與橢圓C在第一象限相切,所以直線l的斜率存在,故可設(shè)直線l的方程為y=k(

8、x-2)+1(k≠0).由 得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0.① 因?yàn)橹本€l與橢圓C相切, 所以Δ=[-8k(2k-1)]2-4(3+4k2)(16k2-16k-8)=0, 整理,得96(2k+1)=0,解得k=-. 所以直線l的方程為y=-(x-2)+1=-x+2. 將k=-代入①式,可以解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,故切點(diǎn)M的坐標(biāo)為. 3.已知過點(diǎn)(2,0)的直線l1交拋物線C:y2=2px(p>0)于A,B兩點(diǎn),直線l2:x=-2交x軸于點(diǎn)Q. (1)設(shè)直線QA,QB的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值; (2)點(diǎn)P為拋物線C上異于A,B的

9、任意一點(diǎn),直線PA,PB交直線l2于M,N兩點(diǎn),·=2,求拋物線C的方程. 解:(1)設(shè)直線l1的方程為x=my+2,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立方程得y2-2pmy-4p=0, 則y1+y2=2pm,y1y2=-4p. k1+k2=+=+ ===0. (2)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),直線PA:y-y1=(x-x1), 當(dāng)x=-2時(shí),yM=,同理yN=. 因?yàn)椤ぃ?,所以4+yNyM=2, 即·= ===-2, 故p=,所以拋物線C的方程為y2=x. 4.如圖,已知橢圓+=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(0,),離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)

10、. (1)求橢圓的方程; (2)若直線l:y=-x+m與橢圓交于A,B兩點(diǎn),與以F1F2為直徑的圓交于C,D兩點(diǎn),且滿足=,求直線l的方程. 解:(1)由題設(shè)知解得 ∴橢圓的方程為+=1. (2)由題設(shè),以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=1, ∴圓心到直線l的距離d=. 由d<1得|m|<.(*) ∴|CD|=2=2=. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由得x2-mx+m2-3=0, 由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3. ∴|AB|= =. 由=得 =1, 解得m=±,均滿足(*). ∴直線l的方程為y=-x+或y=-x-.

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