《(全國通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達(dá)標(biāo)檢測(十九)正、余弦定理的3個基礎(chǔ)點(diǎn)——邊角、形狀和面積 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達(dá)標(biāo)檢測(十九)正、余弦定理的3個基礎(chǔ)點(diǎn)——邊角、形狀和面積 文(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、(全國通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達(dá)標(biāo)檢測(十九)正、余弦定理的3個基礎(chǔ)點(diǎn)——邊角、形狀和面積 文
一、選擇題
1.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=1,b=,A=30°,若B為銳角,則A∶B∶C=( )
A.1∶1∶3 B.1∶2∶3
C.1∶3∶2 D.1∶4∶1
解析:選B 因?yàn)閍=1,b=,A=30°,B為銳角,
所以由正弦定理可得sin B==,則B=60°,
所以C=90°,則A∶B∶C=1∶2∶3.
2.如果將直角三角形三邊增加相同的長度,則新三角形一定是( )
A.銳角三角形
B.鈍角三角形
C.直角
2、三角形
D.根據(jù)增加的長度確定三角形的形狀
解析:選A 設(shè)原來直角三角形的三邊長是a,b,c且a2=b2+c2,在原來的三角形三條邊長的基礎(chǔ)上都加上相同的長度,設(shè)為d,原來的斜邊仍然是最長的邊,故cos A==>0,所以新三角形中最大的角是一個銳角,故選A.
3.(2018·太原模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若b2+c2-a2=bc,且b=a,則下列關(guān)系一定不成立的是( )
A.a(chǎn)=c B.b=c
C.2a=c D.a(chǎn)2+b2=c2
解析:選B 由余弦定理,得cos A===,則A=30°.
又b=a,由正弦定理得sin B=sin A=sin
3、30°=,
所以B=60°或120°.
當(dāng)B=60°時,△ABC為直角三角形,且2a=c,可知C、D成立;
當(dāng)B=120°時,C=30°,所以A=C,即a=c,可知A成立,故選B.
4.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,則cos∠DAC=( )
A. B.
C. D.
解析:選B 如圖所示,設(shè)CD=a,則易知AC=a,AD=a,在△ACD中,CD2=AD2+AC2-2AD×AC×cos∠DAC,∴a2=(a)2+(a)2-2×a×a×cos∠DAC,∴cos∠DAC=.
5.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a
4、,b,c,若△ABC的面積為S,且2S=(a+b)2-c2,則tan C等于( )
A. B.
C.- D.-
解析:選C 因?yàn)?S=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab,
則由面積公式與余弦定理,得absin C=2abcos C+2ab,
即sin C-2cos C=2,所以(sin C-2cos C)2=4,
即=4,
所以=4,
解得tan C=-或tan C=0(舍去).
6.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足b2+c2-a2=bc,·>0,a=,則b+c的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:選B 在△A
5、BC中,b2+c2-a2=bc,
由余弦定理可得cos A===,
∵A是△ABC的內(nèi)角,∴A=60°.
∵a=,
∴由正弦定理得====1,
∴b+c=sin B+sin(120°-B)=sin B+cos B
=sin(B+30°).
∵·=||·||·cos(π-B)>0,
∴cos B<0,B為鈍角,
∴90°
6、_____.
解析:將2ccos B=2a+b中的邊化為角可得
2sin Ccos B=2sin A+sin B=2sin Ccos B+2sin Bcos C+sin B.
則2sin Bcos C+sin B=0,
因?yàn)閟in B≠0,所以cos C=-,則C=120°,
所以S=absin 120°=c,則c=ab.
由余弦定理可得2=a2+b2-2abcos C≥3ab,則ab≥12,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號,所以ab的最小值為12.
答案:12
8.(2017·浙江高考)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn),BD=2,連接CD,則△BD
7、C的面積是________,cos∠BDC=________.
解析:在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,
由余弦定理得cos∠ABC=
==,
則sin∠ABC=sin∠CBD=,
所以S△BDC=BD·BCsin∠CBD=×2×2×=.
因?yàn)锽D=BC=2,所以∠CDB=∠ABC,
則cos∠CDB= =.
答案:
9.已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,則△ABC面積的最大值為________.
解析:因?yàn)閍=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,
8、
所以(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C.
由正弦定理得b2+c2-bc=4,
又因?yàn)閎2+c2≥2bc,所以bc≤4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取等號,此時三角形為等邊三角形,
所以S=bcsin 60°≤×4×=,
故△ABC的面積的最大值為.
答案:
三、解答題
10.(2017·天津高考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=(a2-b2-c2).
(1)求cos A的值;
(2)求sin(2B-A)的值.
解:(1)由asin A=4bsin B,及=,得a=2b.
由ac=(a2-b2
9、-c2)及余弦定理,
得cos A===-.
(2)由(1),可得sin A=,代入asin A=4bsin B,得sin B==.
由(1)知,A為鈍角,所以cos B==.
于是sin 2B=2sin Bcos B=,cos 2B=1-2sin2B=,
故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A
=×-×=-.
11.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asin B=bcos A.
(1)求角A的大小;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面積.
解:(1)因?yàn)閍sin B=bcos A,由正弦定理得sin Asin B
10、=sin Bcos A.
又sin B≠0,從而tan A=.
由于00,所以c=3.
故△ABC的面積S=bcsin A=.
法二:由正弦定理,得=,從而sin B=,
又由a>b,知A>B,所以cos B=.
故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos +cos Bsin =.
所以△ABC的面積S=absin C=.
12.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,sin B·(aco
11、s B+bcos A)=ccos B.
(1)求B;
(2)若b=2,△ABC的面積為2,求△ABC的周長.
解:(1)由正弦定理得,
sin B(sin Acos B+sin Bcos A)=sin Ccos B,
∴sin Bsin(A+B)=sin Ccos B,
∴sin Bsin C=sin Ccos B.
∵sin C≠0,∴sin B=cos B,即tan B=.
∵B∈(0,π),∴B=.
(2)∵S△ABC=acsin B=ac=2,∴ac=8.
根據(jù)余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B,
∴12=a2+c2-8,即a2+c2=20,
∴a+
12、c===6,
∴△ABC的周長為6+2.
1.在平面五邊形ABCDE中,已知∠A=120°,∠B=90°,∠C=120°,∠E=90°,AB=3,AE=3,當(dāng)五邊形ABCDE的面積S∈時,則BC的取值范圍為________.
解析:因?yàn)锳B=3,AE=3,且∠A=120°,
由余弦定理可得BE==3,且∠ABE=∠AEB=30°.
又∠B=90°,∠E=90°,所以∠DEB=∠EBC=60°.
又∠C=120°,所以四邊形BCDE是等腰梯形.
易得三角形ABE的面積為,
所以四邊形BCDE的面積的取值范圍是.
在等腰梯形BCDE中,令BC=x,則CD=3-x,且梯形的高為
13、,
故梯形BCDE的面積為·(3+3-x)·,
即15≤(6-x)x<24,
解得≤x<2或4