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(全國(guó)通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八單元 數(shù)列 高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)(二十四)等比數(shù)列的3考點(diǎn)——基本運(yùn)算、判定和應(yīng)用 理

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1、(全國(guó)通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八單元 數(shù)列 高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)(二十四)等比數(shù)列的3考點(diǎn)——基本運(yùn)算、判定和應(yīng)用 理 一、選擇題 1.若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=-1,a4=b4=8,則=(  ) A.-1          B.1 C. D.-2 解析:選B 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q, 則a4=-1+3d=8,解得d=3; b4=-1·q3=8,解得q=-2. 所以a2=-1+3=2,b2=-1×(-2)=2, 所以=1. 2.(2018·??谡{(diào)研)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a2-8a5=0,則的

2、值為(  ) A. B. C.2 D.17 解析:選B 設(shè){an}的公比為q,依題意得==q3,因此q=. 注意到a5+a6+a7+a8=q4(a1+a2+a3+a4), 即有S8-S4=q4S4,因此S8=(q4+1)S4,=q4+1=. 3.在等比數(shù)列{an}中,a1,a5為方程x2-10x+16=0的兩根,則a3=(  ) A.4 B.5 C.±4 D.±5 解析:選A ∵a1,a5為方程x2-10x+16=0的兩根, ∴a1+a5=10,a1a5=16,則a1,a5為正數(shù), 在等比數(shù)列{an}中,a=a1a5=16,則a3=±4, ∵a1,a5為正數(shù),∴

3、a3=4. 4.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若存在m∈N*,滿足=9,=,則數(shù)列{an}的公比為(  ) A.-2 B.2 C.-3 D.3 解析:選B 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q, 若q=1,則=2,與題中條件矛盾,故q≠1. ∵==qm+1=9,∴qm=8. ∴==qm=8=, ∴m=3,∴q3=8, ∴q=2. 5.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為不等于1的正數(shù),數(shù)列{bn}滿足bn=lg an,b3=18,b6=12,則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最大值為(  ) A.126 B.130 C.132 D.134 解析:選C 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為

4、q(q>0), 由題意可知,lg a3=b3,lg a6=b6. 又b3=18,b6=12,則a1q2=1018,a1q5=1012, ∴q3=10-6,即q=10-2,∴a1=1022. 又{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列, ∴{bn}為等差數(shù)列,且公差d=-2,b1=22, ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=22n+×(-2)=-n2+23n=-2+. 又n∈N*,故n=11或12時(shí),(Sn)max=132. 6.正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,存在兩項(xiàng)am,an,使得=4a1,且a6=a5+2a4,則+的最小值是(  ) A. B.2 C. D. 解析:選A 設(shè)等比數(shù)列{an}的

5、公比為q,其中q>0, 于是有a4q2=a4q+2a4,即q2-q-2=0,(q+1)(q-2)=0(q>0), 由此解得q=2.由aman=16a,得a×2m+n-2=16a, 故m+n=6,其中m,n∈N*, ∴+=+(m+n)=≥=, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即m=2,n=4時(shí)等號(hào)成立, ∴+的最小值為. 二、填空題 7.已知數(shù)列{an}滿足a1,,,…,是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,則a101=________. 解析:因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1,,,…,是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列, 所以a1=1,=2n-1, 所以an=a1···…· =1×2×22×…×2n-1=2

6、1+2+…+(n-1) =2, 當(dāng)n=1時(shí),a1=1滿足上式,故an=2, 所以a101=2=25 050. 答案:25 050 8.(2017·遼寧一模)在等比數(shù)列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,則+++=________. 解析:因?yàn)椋剑剑? 由等比數(shù)列的性質(zhì)知a7a10=a8a9, 所以+++==÷=-. 答案:- 9.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),關(guān)于數(shù)列{an}有下列四個(gè)命題: ①若{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則an=an+1(n∈N*); ②若Sn=an2+bn(a,b∈R),則{an}是等差數(shù)列; ③若

7、Sn=1-(-1)n,則{an}是等比數(shù)列; ④若S1=1,S2=2,且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n≥2),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列. 其中真命題的序號(hào)是________. 解析:若{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列, 設(shè)其前三項(xiàng)分別為:a-d,a,a+d(d為公差), 則a2=(a-d)(a+d),解得d=0, 因此an=an+1(n∈N*),①正確; 由Sn=an2+bn(a,b∈R)是數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件,可知②正確; 若Sn=1-(-1)n,則a1=2,n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2(-1)n-1,為等比數(shù)列, 首項(xiàng)為2,公比為-1,因此③正確;

8、 由Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n≥2),可得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1),即an+1=2an, 又S1=1,S2=2,∴a1=1,a2=1,可得a2=a1, ∴數(shù)列{an}不是等比數(shù)列,④錯(cuò)誤. 故真命題的序號(hào)是①②③. 答案:①②③ 三、解答題 10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an=(n∈N*). (1)若數(shù)列{an+t}是等比數(shù)列,求t的值; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (3)記bn=+,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解:(1)當(dāng)n=1時(shí),由a1==,得a1=1. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1)

9、, 即an=2an-1+1, ∴a2=3,a3=7. 依題意,得(3+t)2=(1+t)(7+t),解得t=1, 當(dāng)t=1時(shí),an+1=2(an-1+1),n≥2, 即{an+1}為等比數(shù)列成立, 故實(shí)數(shù)t的值為1. (2)由(1),知當(dāng)n≥2時(shí),an+1=2(an-1+1), 又因?yàn)閍1+1=2, 所以數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. 所以an+1=2×2n-1=2n, ∴an=2n-1. (3)由(2),知bn=+===-, 則Tn=-+-+-+…+-+-=1-. 11.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈

10、N*). (1)證明:數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列; (2)設(shè)bn=,Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,證明:Tn<. 證明:(1)∵an+2=3an+1-2an, ∴an+2-an+1=2(an+1-an), 又∵a2-a1=3-1=2, ∴數(shù)列{an+1-an}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列. (2)由(1)可知an+1-an=2n,顯然數(shù)列{an}是遞增的, ∴bn==·=·=, 于是Tn===<. 12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn,且Sn+an=1(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=log4(1-Sn+1)(n∈N*),Tn=+

11、+…+,求Tn的取值范圍. 解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1,由S1+a1=1,得a1=, 當(dāng)n≥2時(shí),Sn+an=1,Sn-1+an-1=1, 兩式相減得,Sn-Sn-1+(an-an-1)=0,∴an=an-1. ∴{an}是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列. 故an=n-1=3n(n∈N*). (2)由(1)知1-Sn+1=an+1=n+1, ∴bn=log4(1-Sn+1)=log4n+1=-(n+1), ∴==-, 故Tn=++…+=++…+=-, ∴≤Tn<, 即Tn的取值范圍為. 1.?dāng)?shù)列{an}是以a為首項(xiàng),q為公比的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=1+a

12、1+a2+…+an,數(shù)列cn=2+b1+b2+…+bn,若{cn}為等比數(shù)列,則a+q=(  ) A. B.3 C. D.6 解析:選B 由題意知q≠1. 因?yàn)閿?shù)列{an}是以a為首項(xiàng),q為公比的等比數(shù)列, 所以bn=1+-, 所以cn=2-+n+, 要使{cn}為等比數(shù)列,則2-=0且=0, 所以a=1,q=2,則a+q=3. 2.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=3,an+1=2Sn+3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)令bn=(2n-1)an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a2=2S1+3=2a1+3=9, 當(dāng)n≥2

13、時(shí),an+1=2Sn+3, 可得an=2Sn-1+3. 兩式相減得,an+1-an=2(Sn-Sn-1), 即an+1-an=2an,an+1=3an, 則an=a2·3n-2=9×3n-2=3n. 又an=3n對(duì)n=1也成立, 所以an=3n. (2)由(1)知,bn=(2n-1)an=(2n-1)×3n, 故Tn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n, 3Tn=1×32+3×33+5×34+…+(2n-1)×3n+1, 兩式相減可得-2Tn=3+2(32+33+…+3n)-(2n-1)×3n+1=3+2×-(2n-1)×3n+1, 化簡(jiǎn)可得Tn=3+(n-1)×3n+1.

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