(貴陽專用)2022中考數(shù)學總復習 第二部分 熱點專題解讀 專題六 函數(shù)的綜合探究針對訓練
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1、(貴陽專用)2022中考數(shù)學總復習 第二部分 熱點專題解讀 專題六 函數(shù)的綜合探究針對訓練 1.如圖,直線y=-x+2與反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象交于A(a,3),B(3,b)兩點,過點A作AC⊥x軸于點C,過點B作BD⊥x軸于點D. (1)求a,b的值及反比例函數(shù)的解析式; (2)若點P在直線y=-x+2上,且S△ACP=S△BDP,請求出此時點P的坐標; (3)在x軸正半軸上是否存在點M,使得△MAB為等腰三角形?若存在,請直接寫出M點的坐標;若不存在,說明理由. 解:(1)∵直線y=-x+2與反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象交于A(a,3),B(3,b)兩點, ∴-
2、a+2=3,-3+2=b,解得a=-1,b=-1, ∴A(-1,3),B(3,-1). ∵點A(-1,3)在反比例函數(shù)y=圖象上, ∴k=-1×3=-3, ∴反比例函數(shù)的解析式為y=-. (2)設點P(n,-n+2). ∵A(-1,3),∴C(-1,0). ∵B(3,-1),∴D(3,0). ∴S△ACP=AC·|xP-xA|=×3·|n+1|, S△BDP=BD·|xB-xP|=×1·|3-n|. ∵S△ACP=S△BDP,∴×3·|n+1|=×1·|3-n|, 解得n=0或n=-3,∴P(0,2)或(-3,5). (3)存在.設M(m,0)(m>0), ∵A(-1
3、,3),B(3,-1),∴MA2=(m+1)2+9,MB2=(m-3)2+1,AB2=32, ∵△MAB是等腰三角形,∴①當MA=MB時, ∴(m+1)2+9=(m-3)2+1,∴m=0(舍); ②當MA=AB時,∴(m+1)2+9=32, ∴m=-1+或m=-1-(舍), ∴M(-1+,0); ③當MB=AB時,(m-3)2+1=32, ∴m=3+或m=3-(舍), ∴M(3+,0). 則滿足條件的M(-1+,0)或(3+,0). 2.如圖,在平面直角坐標系中,等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上,直線y=3x-4經(jīng)過等腰Rt△AOB的直角頂點A,交y軸于C點,雙曲線y=也
4、經(jīng)過A點,連接BC. (1)求k的值; (2)判斷△ABC的形狀,并求出它的面積; (3)若點P為x正半軸上一動點,在點A的右側(cè)的雙曲線上是否存在一點M,使得△PAM是以點A為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由. 解:(1)如答圖1,過點A分別作AQ⊥y軸于Q點,AN⊥x軸于N點. 答圖1 ∵△AOB是等腰直角三角形, ∴AQ=AN. 設點A的坐標為(a,a), ∵點A在直線y=3x-4上, ∴a=3a-4,解得a=2, 則點A的坐標為(2,2). ∵雙曲線y=也經(jīng)過A點,∴k=4. (2)由(1)知,A(2,2),∴B(4
5、,0). ∵直線y=3x-4與y軸的交點為C,∴C(0,-4), ∴AB2+BC2=(4-2)2+22+42+(-4)2=40, AC2=22+(2+4)2=40,∴AB2+BC2=AC2,△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,∴S△ABC=AB·BC=×2×4=8. (3)存在.如答圖2,假設雙曲線上存在一點M,使得△PAM是等腰直角三角形. 答圖2 ∴∠PAM=90°=∠OAB, AP=AM,連接BM.∵k=4, ∴反比例函數(shù)的解析式為y=. ∵∠OAB=∠PAM=90°,∴∠OAP=∠BAM. 在△AOP和△ABM中, ∴△AOP≌△ABM(ASA), ∴
6、∠AOP=∠ABM, ∴∠OBM=∠OBA+∠ABM=90°, ∴點M的橫坐標為4,∴M(4,1). 則在雙曲線上存在一點M(4,1),使得△PAM是以點A為直角頂點的等腰三角形. 3.如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點P(n,2),與x軸交于點A(-4,0),與y軸交于點C,PB⊥x軸于點B,點A與點B關于y軸對稱. (1)求一次函數(shù),反比例函數(shù)的解析式; (2)求證:點C為線段AP的中點; (3)反比例函數(shù)圖象上是否存在點D,使四邊形BCPD為菱形?如果存在,說明理由并求出點D的坐標;如果不存在,說明理由. 解:(1)∵點A與點B關于
7、y軸對稱,∴AO=BO. ∵A(-4,0),∴B(4,0). ∵PB⊥x軸于點B,∴P(4,2). 把P(4,2)代入反比例函數(shù)解析式可得m=8, ∴反比例函數(shù)的解析式為y=. 把A,P兩點坐標分別代入一次函數(shù)解析式可得解得 ∴一次函數(shù)的解析式為y=x+1. (2)證明:∵點A與點B關于y軸對稱,∴OA=OB. ∵PB⊥x軸于點B,∴∠PBA=∠COA=90°, ∴PB∥CO,∴點C為線段AP的中點. (3)存在點D,使四邊形BCPD為菱形. 理由如下: ∵點C為線段AP的中點,∴BC=AP=PC, ∴BC和PC是菱形的兩條邊. 由y=x+1可得C(0,1). 如
8、答圖,過點C作CD∥x軸,交PB于點E,交反比例函數(shù)圖象于點D,分別連接PD,BD, 答圖 ∴D(8,1),且PB⊥CD, ∴PE=BE=1,CE=DE=4, ∴PB與CD互相垂直平分,即四邊形BCPD為菱形, ∴存在滿足條件的點D,其坐標為(8,1). 4.(xx·金華)如圖,四邊形ABCD的四個頂點分別在反比例函數(shù)y=與y=(x>0,0<m<n)的圖象上,對角線BD∥y軸,且BD⊥AC于點P.已知點B的橫坐標為4. (1)當m=4,n=20時. ①若點P的縱坐標為2,求直線AB的函數(shù)表達式. ②若點P是BD的中點,試判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由. (2)
9、四邊形ABCD能否成為正方形?若能,求此時m,n之間的數(shù)量關系;若不能,試說明理由. 解:(1)①如答圖1.∵m=4, ∴反比例函數(shù)y=的解析式為y=. ∵當x=4時,y=1,∴B(4,1), ∴當y=2時,2=,解得x=2,∴A(2,2). 設直線AB的解析式為y=kx+b, 將A(2,2),B(4,1)兩點分別代入, 得解得 ∴直線AB的函數(shù)表達式為y=-x+3. ②四邊形ABCD是菱形. 理由如下:如答圖2,由①知,B(4,1), ∵BD∥y軸,∴D(4,5). ∵點P是線段BD的中點,∴P(4,3). ∵當y=3時,由y=得x=, 由y=得x=, ∴PA=
10、4-=,PC=-4=,∴PA=PC. ∵PB=PD,∴四邊形ABCD為平行四邊形, ∵BD⊥AC,∴四邊形ABCD是菱形. 圖1 圖2 答圖 (2)四邊形ABCD能成為正方形. 理由:當四邊形ABCD是正方形時, 則PA=PB=PC=PD(設為t,t≠0), ∵當x=4時,y==, ∴B(4,), ∴A(4-t,+t),C(4+t,+t), ∴(4-t)(+t)=m,∴t=4-, ∴C(8-,4),∴(8-)×4=n,∴m+n=32. ∵點D的縱坐標為+2t=+2(4-)=8-, ∴D(4,8-),∴4(8-)=n,∴m+n=32. 5
11、.如圖,已知一次函數(shù)y1=k1x+b的圖象與x軸,y軸分別交于A,B兩點,與反比例函數(shù)y2=的圖象分別交于C,D兩點,點D(2,-3),OA=2. (1)求一次函數(shù)y1=k1x+b與反比例函數(shù)y2=的解析式; (2)直接寫出k1x+b-≥0時自變量x的取值范圍; (3)動點P(0,m)在y軸上運動,當|PC-PD|的值最大時,直接寫出P點的坐標. 解:(1)∵點D(2,-3)在反比例函數(shù)y2=的圖象上, ∴k2=2×(-3)=-6,∴y2=-. 如答圖,過點D作DE⊥x軸于E. 答圖 ∵OA=2,∴A(-2,0), ∵A(-2,0),D(2,-3)在y1=k1x+b的
12、圖象上, ∴解得 ∴y1=-x-. (2)由圖可得,當k1x+b-≥0時,x≤-4或0<x≤2. (3)P點坐標為(0,-).理由如下: 由解得或 ∴C(-4,), 如答圖,作C(-4,)關于y軸對稱點C′(4,),延長C′D交y軸于點P, ∴由C′和D的坐標可得,直線C′D解析式為y=x-, 令x=0,則y=-, ∴當|PC-PD|的值最大時,點P的坐標為(0,-). 6.如圖1,直線y=kx+b與雙曲線y=(x>0)相交于點A(1,m),B(4,n),與x軸相交于C點. (1)求點A,B的坐標及直線y=kx+b的解析式; (2)求△ABO的面積; (3)如圖
13、2,在x軸上是否存在點P,使得PA+PB的和最小?若存在,請說明理由并求出P點坐標. 解:(1)∵點A(1,m),B(4,n)在雙曲線y=(x>0)上, ∴m=4,n=1, ∴A(1,4),B(4,1), ∴解得 ∴直線y=kx+b的解析式為y=-x+5. (2)如答圖1,設直線AB與y軸交于D點,由(1)知,直線AB的解析式為y=-x+5, ∴C(5,0),D(0,5), ∴OC=5,OD=5. ∴S△AOB=S△COD-S△AOD-S△BOC=×5×5-×5×1-×5×1=. (3)存在,理由:如答圖2, 作點B(4,1)關于x軸的對稱點B′(4,-1),連接AB
14、′交x軸于點P,連接BP,在x軸上取一點Q,連接AQ,BQ. ∵點B與點B′關于x軸對稱, ∴點P,Q是BB′中垂線上的點,∴PB′=PB,QB′=QB,在△AQB′中,AQ+B′Q>AB′, ∴AP+BP的最小值為AB′. ∵A(1,4),B′(4,-1), ∴直線AB′的解析式為y=-x+, 令y=0,則0=-x+, 解得x=, ∴P(,0). 7.如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點,點A在點B的左邊,與y軸交于點C,點D是拋物線的頂點,且A(-6,0),D(-2,-8). (1)求拋物線的解析式; (2)點P是直線AC下方的拋物線上一動點,不與點A,C重合,過點P
15、作x軸的垂線交于AC于點E,求線段PE的最大值及P點坐標; (3)在拋物線的對稱軸上是否存在點M,使得△ACM為直角三角形?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由. 解:(1)設拋物線的解析式為y=a(x+2)2-8,把A(-6,0)代入得a(-6+2)2-8=0,解得a=. ∴拋物線的解析式為y=(x+2)2-8, 即y=x2+2x-6. (2)如答圖,當x=0時,y=x2+2x-6=-6,則C(0,-6). 設直線AC的解析式為y=kx+b, 把A(-6,0),C(0,-6)分別代入得 解得∴直線AC的解析式為y=-x-6. 設P(x,x2+2x-6)(-6<x
16、<0),則E(x,-x-6). ∴PE=-x-6-(x2+2x-6)=-x2-3x=-(x+3)2+, ∴當x=-3時,PE的長度有最大值,最大值為,此時點P的坐標為(-3,-). (3)存在. 如答圖,拋物線的對稱軸為直線x=-2,設M(-2,t). ∵A(-6,0),C(0,-6),∴AC2=62+62=72, AM2=(-2+6)2+t2,CM2=(-2)2+(t+6)2. 當AC2+AM2=CM2,△ACM為直角三角形, 即72+(-2+6)2+t2=(-2)2+(t+6)2, 解得t=4,此時點M坐標為(-2,4); 當AC2+CM2=AM2時,△ACM為直角三角
17、形, 即72+(-2)2+(t+6)2=(-2+6)2+t2, 解得t=-8,此時點M的坐標為(-2,-8); 當CM2+AM2=AC2時,△ACM為直角三角形, 即(-2)2+(t+6)2+(-2+6)2+t2=72, 解得t1=-3+,t2=-3-,此時點M的坐標為(-2,-3+)或(-2,-3-). 綜上所述,點M的坐標為(-2,4)或(-2,-8)或(-2,-3+)或(-2,-3-). 8.(xx·泰安)如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于點A(-4,0),B(2,0),交y軸于點C(0,6),在y軸上有一點E(0,-2),連接AE.
18、 (1)求二次函數(shù)的表達式; (2)若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點,求△ADE面積的最大值; (3)拋物線對稱軸上是否存在點P,使△AEP為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有P點的坐標,若不存在,請說明理由. 解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(-4,0),B(2,0),C(0,6), ∴解得 ∴二次函數(shù)的表達式為y=-x2-x+6. (2)由A(-4,0),E(0,-2)可得AE所在的直線解析式為y=-x-2, 過點D作DF⊥x軸,交AE于點F,交x軸于點G,過點E作EH⊥DF,垂足為H,如答圖, 設D(m,-m2-m+6), 則點F(m
19、,-m-2), ∴DF=-m2-m+6-(-m-2)=-m2-m+8, ∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=·DF·AG+·DF·EH=×DF·(AG+HE)=×DF×4=2×(-m2-m+8)=-(m+)2+, ∴當m=-時,S△ADE最大,最大值為. (3)存在,P點的坐標為(-1,1)或(-1,±)或(-1,-2±). 【解法提示】y=-x2-x+6的對稱軸為直線x=-1, 設P(-1,n),又E(0,-2),A(-4,0), 可得PA=,PE=, AE==2, 當PA=PE時,=, 解得n=1,此時P(-1,1); 當PA=AE時,=2, 解得n=±,此時P點
20、的坐標為(-1,±); 當PE=AE時,=2, 解得n=-2±, 此時P點的坐標為(-1,-2±), 綜上所述,P點的坐標為(-1,1)或(-1,±)或(-1,-2±). 9.如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(1,0),B(-3,0),與y軸交于點C,拋物線的頂點為D,對稱軸與x軸相交于點E,連接BD. (1)求拋物線的解析式. (2)若點P在直線BD上,當PE=PC時,求點P的坐標. (3)在(2)的條件下,作PF⊥x軸于F,點M為x軸上一動點,N為直線PF上一動點,G為拋物線上一動點,當以點F,N,G,M四點為頂點的四邊形為正方形時,求點M的坐標. 解:(1
21、)∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(1,0),B(-3,0), ∴ 解得 即拋物線的解析式為y=x2+2x-3. (2)由(1)知,拋物線的解析式為y=x2+2x-3, ∴C(0,-3),拋物線的頂點坐標為D(-1,-4), ∴E(-1,0).設直線BD的解析式為y=mx+n, ∴ 解得 ∴直線BD的解析式為y=-2x-6. 設點P(a,-2a-6).∵C(0,-3),E(-1,0), 根據(jù)勾股定理得,PE2=(a+1)2+(-2a-6)2,PC2=a2+(-2a-6+3)2. ∵PC=PE, ∴(a+1)2+(-2a-6)2=a2+(-2a-6+3)2, 解得a=-
22、2,∴y=-2×(-2)-6=-2, ∴P(-2,-2). (3)如答圖,作PF⊥x軸于F,∴F(-2,0). 設M(d,0),∴G(d,d2+2d-3),N(-2,d2+2d-3). ∵以點F,N,G,M四點為頂點的四邊形為正方形,∴必有FM=MG, ∴|d+2|=|d2+2d-3|, 解得d=或, ∴點M的坐標為(,0),(,0),(,0)或(,0). 10.(xx·岳陽)已知拋物線F:y=x2+bx+c經(jīng)過坐標原點O,且與x軸另一交點為(-,0). 圖1 圖2 (1)求拋物線F的解析式; (2)如圖1,直線l:y=x+m(
23、m>0)與拋物線F相交于點A(x1,y1)和點B(x2,y2)(點A在第二象限),求y2-y1的值(用含m的式子表示); (3)在(2)中,若m=,設點A′是點A關于原點O的對稱點,如圖2. ①判斷△AA′B的形狀,并說明理由; ②平面內(nèi)是否存在點P,使得以點A,B,A′,P為頂點的四邊形是菱形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由. 解:(1)∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(0,0)和(-,0),∴解得 ∴拋物線F的解析式為y=x2+x. (2)將y=x+m代入y=x2+x,得x2=m, 解得x1=-,x2=,∴y1=-+m, y2=+m,∴y2-y1=(+m)-
24、 (-+m)=(m>0). (3)如答圖,∵m=,∴點A的坐標為(-,),點B的坐標為(,2).∵點A′是點A關于原點O的對稱點,∴點A′的坐標為(,-). ①△AA′B為等邊三角形. 理由如下: ∵A(-,),B(,2),A′(,-), ∴AA′=,AB=,A′B=,∴AA′=AB=A′B, ∴△AA′B為等邊三角形. ②存在.∵△AA′B為等邊三角形, ∴以點A,B,A′,P為頂點的菱形分三種情況,設點P的坐標為(x,y)如答圖. a.當A′B為對角線時,有 解得∴點P的坐標為(2,). b.當AB為對角線時,有 解得∴點P的坐標為(-,). c.當AA′為對角線
25、時,有 解得∴點P的坐標為(-,-2). 綜上所述,平面內(nèi)存在點P,使得以點A,B,A′,P為頂點的四邊形是菱形,點P的坐標為(2,),(-,)或(-,-2). 11.(xx·永州)如圖1,拋物線的頂點A的坐標為(1,4),拋物線與x軸相交于B,C兩點,與y軸交于點E(0,3). 圖1 圖2 (1)求拋物線的表達式; (2)已知點F(0,-3),在拋物線的對稱軸上是否存在一點G,使得EG+FG最小?如果存在,求出點G的坐標;如果不存在,請說明理由. (3)如圖2,連接AB,若點P是線段OE上的一動點,過點P作線段AB的垂線,分別與線段AB,拋物線相交于點M,N
26、(點M,N都在拋物線對稱軸的右側(cè)),當MN最大時,求△PON的面積. 解:(1)設拋物線的表達式為y=a(x-1)2+4. 把(0,3)代入得3=a(0-1)2+4,解得a=-1, 故拋物線的表達式為y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. (2)存在. 如答圖1,作E關于對稱軸的對稱點E′,連接E′F交對稱軸于G,此時EG+FG的值最?。? ∵E(0,3),∴E′(2,3), 易得直線E′F的解析式為y=3x-3, 當x=1時,y=3×1-3=0,∴G(1,0). 圖1 圖2 (3)如答圖2,過N作NH⊥x軸于H,交AB于Q,設對稱軸交x軸于D, ∵A(1
27、,4),B(3,0), ∴直線AB的解析式為y=-2x+6, 設N(m,-m2+2m+3), 則Q(m,-2m+6)(1<m<3), ∴NQ=(-m2+2m+3)-(-2m+6)=-m2+4m-3. ∵AD∥NH,∴∠DAB=∠NQM. ∵∠ADB=∠QMN=90°, ∴△QMN∽△ADB, ∴=,即=, ∴MN=-(m-2)2+.∵-<0, ∴當m=2時,MN有最大值. 過N作NI⊥y軸于I,∵∠IPN=∠ABD, ∠NIP=∠ADB=90°,∴△NIP∽△ADB, ∴===,∴PI=NI=m, ∴OP=OI-PI=-m2+2m+3-m=-m2+m+3,∴S△PO
28、N=OP·IN=(-m2+m+3)·m,當m=2時,S△PON=×(-4+3+3)×2=2. 12.(xx·東營)如圖,拋物線y=a(x-1)(x-3)(a>0)與x軸交于A,B兩點,拋物線上另有一點C在x軸下方,且使△OCA∽△OBC. (1)求線段OC的長度; (2)設直線BC與y軸交于點M,點C是BM的中點時,求直線BM和拋物線的解析式; (3)在(2)的條件下,直線BC下方拋物線上是否存在一點P,使得四邊形ABPC面積最大?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由. 解:(1)當y=0時,a(x-1)(x-3)=0, 解得x1=1,x2=3,即A(1,0),B(3
29、,0), ∴OA=1,OB=3.∵△OCA∽△OBC, ∴OC∶OB=OA∶OC,∴OC2=OA·OB=3,則OC=. (2)∵C是BM的中點,即OC為Rt△OBM斜邊BM的中線,∴OC=BC,∴點C的橫坐標為. 又∵OC=,點C在x軸下方,∴C(,-). 設直線BM的解析式為y=kx+b, 把點B(3,0),C(,-)代入, 得解得 ∴直線BM的解析式為y=x-. 又∵點C(,-)在拋物線上, ∴將C(,-)代入拋物線的解析式, 解得a=, ∴拋物線的解析式為y=x2-x+2. (3)存在. 如答圖,過點P作PQ⊥x軸交直線BM于點Q,設點P的坐標為(x,x2-x+2), 則Q(x,x-), ∴PQ=x--(x2-x+2)=-x2+3x-3, ∴當△BCP面積最大時,四邊形ABPC的面積最大, ∴S△BCP=PQ(3-x)+PQ(x-)=PQ=-x2+x-, 當x=-=時,S△BCP有最大值,則四邊形ABPC的面積最大,此時點P的坐標為(,-).
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