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方程的根與函數(shù)的零點 教學設計及教學反思 一 背景分析 1 學習任務分析 函數(shù)與方程是中學數(shù)學的重要內(nèi)容 既是初等數(shù)學的基礎(chǔ) 又是初等數(shù)學與高等數(shù)學 的連接紐帶 在新課程教學中有著不可替代的重要位置 為什么要引進函數(shù)的零點 原因是 要用函數(shù)的觀點統(tǒng)帥中學數(shù)學 把解方程問題納入到函數(shù)問題中 引入函數(shù)的零點 解方程的 問題就變成了求函數(shù)的零點問題 就本章而言 本節(jié)通過對二次函數(shù)的圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根 的個數(shù)的判斷建立一元二次方程的根與相應的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系 然后由特殊到一般 將其推廣到一般方程與相應的函數(shù)的情形 它既揭示了初中一元二次方程與相應的二次函 數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系 也引出對函數(shù)知識的總結(jié)拓展 之后將函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系在利用 二分法解方程中 3 1 2 加以應用 通過建立函數(shù)模型以及模型的求解 3 2 更全面地體 現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系 逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系 即體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想 又滲透 了數(shù)形結(jié)合的思想 總之 本節(jié)課滲透著重要的數(shù)學思想 特殊到一般的歸納思想 方程與 函數(shù) 和 數(shù)形結(jié)合 的思想 教好本節(jié)課可以為學好中學數(shù)學打下一個良好基礎(chǔ) 因此教好 本節(jié)是至關(guān)重要的 2 學生情況分析 學生在學習本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學習了函數(shù)的圖象和性質(zhì) 理解了函數(shù)圖象與性質(zhì)之間的 關(guān)系 尤其熟悉二次函數(shù) 并且已經(jīng)具有一定的數(shù)形結(jié)合思想 這為理解函數(shù)的零點提供了直 觀認識 并為判定零點是否存在和求出零點提供了支持 學生有一定的方程知識的基礎(chǔ) 熟悉 從特殊到一般的歸納方法 這為深入理解函數(shù)的零點及方程的根與函數(shù)零點的聯(lián)系提供了依 據(jù) 但學生對于函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏一定的認識 對于綜合應用函數(shù)圖象與性質(zhì)尚不 夠熟練 這些都給學生在聯(lián)系函數(shù)與方程 發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點的存在性事造成了一定的難度 又加上函數(shù)零點存在性的判定方法表述較為抽象難以概括 因此教學中盡可能提供學生動 手實踐的機會 讓學生親身體驗中掌握知識與方法 充分利用學生熟悉的二次函數(shù)圖象和 一元二次方程通過直觀感受發(fā)現(xiàn)并歸納出函數(shù)零點的概念 在函數(shù)零點存在性的判定方法 的教學時應該為學生創(chuàng)設適當?shù)膯栴}情境 激發(fā)學生的思維引導學生通過觀察 計算 作 圖 思考理解問題的本質(zhì) 二 教學目標設計 1 結(jié)合 課程標準 對本節(jié)的要求 制定本節(jié)課的教學目標為 1 以二次函數(shù)的圖象與對應的一元二次方程的關(guān)系為突破口 探究方程的根與函數(shù)的 零點的關(guān)系 2 掌握在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點的判定方法 學會在某區(qū)間上圖象連續(xù)的 函數(shù)存在零點的判定方法 3 讓學生在探究過程中體驗發(fā)現(xiàn)的樂趣 體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想 從特殊到一般的 歸納思想 培養(yǎng)學生的辨證思維以及分析問題解決問題的能力 2 教學重點難點設計 重點 函數(shù)零點與方程根之間的關(guān)系 連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的判定方法 難點 發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系 探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點的方法 三 教學程序設計 四 教學媒體設計 根據(jù)本節(jié)課的教學任務以及學生學習的需要 教學媒體設計如下 1 多媒體輔助教學 在對某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點的判定方法的探究過程中 利用小馬過河的形象實 例把抽象的判定定理還原到具體的可觀察可操作的層面上來 弱化純粹的邏輯推理 把 數(shù) 轉(zhuǎn)化到了 形 多媒體使用也為學生提供了更廣闊的思維空間 提高了探究活動的質(zhì)量 同時 為有效的 指導學生活動 在教學中也使用了實物投影儀 展示學生所做的練習 并在此過程中隊學 生進行針對性的評價 2 設計合理的板書 為對本課有一個整體的認識 教學時將重要內(nèi)容進行板書 如 五 教學過程設計 一 設問激疑 創(chuàng)設情境 問題 1 求下列方程的根 1 2 3 設計意圖 從學生較為熟悉的方程 一元一次 一元二次方程 出發(fā) 再提出稍微難一點的 方程符合學生的認知規(guī)律 進而使學生認識到有些復雜的方程用以前的解題方法求解很不 方便 需要尋求新的解決方法 讓學生帶著問題學習 激發(fā)學生的求知欲 二 啟發(fā)引導 初步探究 問題 2 作出下列二次函數(shù)的圖象 1 y x2 2x 3 2 y x2 2x 1 3 y x2 2x 3 以上各函數(shù)圖象與相應方程的根有何關(guān)系 設計意圖 與問題 1 聯(lián)系起來結(jié)合一次 二次函數(shù)圖象 判斷方程根的存在性及根的個數(shù) 為理解函數(shù)的零點 了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系作準備 充分發(fā)揮學生的主觀能動性 問題 3 二次函數(shù) y ax2 bx c a 0 的圖象與 x 軸交點和相應一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根有何關(guān)系 設計意圖 把具體的結(jié)論推廣到一般情況 向?qū)W生滲透 從最簡單 最熟悉的問題入手解決 較復雜問題 的思維方法 培養(yǎng)學生的歸納能力 由此的出結(jié)論 二次函數(shù)圖象與 x 軸交點的橫坐標就是相應方程的實數(shù)根 三 形成概念 歸納 方程 f x 0 的實數(shù)根就是函數(shù) y f x 圖象與 x 軸交點的橫坐標 定義 對于函數(shù) y f x 我們把使 f x 0 的實數(shù) x 叫做函數(shù) y f x 的零點 由此引出課題 等價關(guān)系 設計意圖 讓學生從熟悉的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識 并與原有的知識形成聯(lián)系 利用方程與函 數(shù)的聯(lián)系 培養(yǎng)學生觀察 歸納的能力 并滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想 辨析練習 練習 1 判斷下列說法的正誤 函數(shù) 的零點是 1 0 3 0 x 1 x 3 1 和 3 設計意圖 利用辨析練習 來加深學生對概念的理解 目的要學生明確零點是一個實數(shù) 不是一個點 例 1 求函數(shù) 的零點 設計意圖 鞏固函數(shù)零點的求法 滲透二次函數(shù)以外的函數(shù)零點情況 進一步體會方程與 函數(shù)的關(guān)系 練習 2 利用函數(shù)圖象 判斷下列函數(shù)又沒有零點 并確定函數(shù)零點的所在的大致區(qū)間 1 2 設計意圖 培養(yǎng)學生的知識轉(zhuǎn)化應用能力 并給學生實踐動手的機會 為下面函數(shù)零點存 在性判定作鋪墊 四 討論探究 揭示定理 探究 在什么情況下 函數(shù) f x 在區(qū)間 a b 一定存在零點呢 問題 4 如果把函數(shù)比作一部電影 那么函數(shù)的零點就像是電影的一個瞬間 一個鏡頭 有時我們會忽略一些鏡頭 但是我們?nèi)匀荒芡茰y出被忽略的片斷 現(xiàn)在我有兩組鏡頭 下 圖 哪一組能一定曾渡過河 設計意圖 在學生尚缺乏一定數(shù)學知識的提前下 為學生充分理解這個抽象的判定方法提供了有利得 條件 這個問題以學生的經(jīng)驗為基礎(chǔ) 并帶有一定的趣味性和開放性 留給學生充分的空 間 試圖催生學生的深層思維 通過學生自身思維碰撞揭示結(jié)論 對突破教材的難點又重 要的意義 問題 5 將河流抽象成 x 軸 將前后的兩個位置視為 A B 兩點 請問當 A B 與 x 軸怎樣 的位置關(guān)系時 AB 間的一段連續(xù)不斷的函數(shù)圖象與 x 軸一定會有交點 A B 問題 6 A B 與 x 軸的位置關(guān)系 如何用數(shù)學符號 式子 來表示 最佳答案 用 f a f b 0 來表示 注意過程中的引導 設計意圖 1 將現(xiàn)實生活中的問題抽象成數(shù)學模型 進行合情推理 將原來學生只認為靜態(tài)的函數(shù)圖 象 理解為一種動態(tài)的過程 2 由原來的圖象語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言 培養(yǎng)學生的觀察能力和提取有效信息的能力 體驗 語言轉(zhuǎn)化的過程 問題 7 僅滿足 f a f b 0 可以確定有零點嗎 辨析練習 判斷下列函數(shù)是否有零點 設計意圖 看似一個簡單的問題卻從直觀上能揭示問題的本質(zhì) 為學生充分理解這個抽象 的判定方法提供了有利得條件 使得問題變得形象化 問題 8 那么在怎樣的條件下 函數(shù) y f x 一定有零點 設計意圖 通過小組討論完成探究 教師恰當輔導 引導學生大膽猜想出函數(shù)零點存在性 的判定方法 這樣設計既符合學生的認知特點 也讓學生經(jīng)歷從特殊到一般過程 1 定理 如果函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 并且有 f a f b 0 那么 函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點 即存在 c a b 使 f c 0 這個 c 也就是方程 f x 0 的根 2 說明 1 若函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點 不一定能得出 f a f b 0 的結(jié)論 也就是說上述定理不可逆 2 此定理只能判定零點的存在性 既不能判定有多少個實根 也不能得出零點的具體值 3 判定零點存在性的方法 1 利用定理 2 利用圖象 反饋練習 練習 1 觀察下表 分析函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點 x 2 1 0 1 2 y 109 10 1 8 107 練習 2 若函數(shù) y 5x2 7x 1 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的曲線 且函數(shù) y 5x2 7x 1 在 a b 內(nèi)有零點 則 f a f b 的值 A 大于 0 B 小于 0 C 無法判斷 D 等于零 設計意圖 1 通過反饋練習 使學生初步運用定理來解決 函數(shù)零點存在或所在區(qū)間 這一類問題 2 引導學生觀察圖象的單調(diào)性以及在每一個單調(diào)區(qū)間的零點情況 得出相應的結(jié)論 為后 面的定理應用作好鋪墊 總結(jié) 函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 1 f a f b 0 函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點 2 函數(shù) y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點 f a f b 0 五 觀察感知 例題學習 例 2 已知函數(shù) f x lnx 2x 6 1 是否存在零點 若存在零點則有幾個 2 指出函數(shù)零點所在的大致區(qū)間 設計意圖 例 2 原題為 求函數(shù) f x lnx 2x 6 的零點的個數(shù) 改為問題序列以追問的形式 出現(xiàn) 問題由淺入深形成序列 即使對本節(jié)課知識的應用 也是對下節(jié)課二分法的一個鋪 墊 同時考慮了學生的實際情況 留給學生解決問題的不同思考途徑 這樣就抓住了教學 的關(guān)鍵且分層預設問題有利于學生思維深刻性的培養(yǎng) 六 知識應用 嘗試練習 1 判斷下列方程有沒有根 有幾個根 1 x 2 3x 5 0 2 x 2 4x 4 2 利用函數(shù)的圖象 指出下列函數(shù)零點所在的區(qū)間 1 f x x3 3x 5 2 f x 2x ln x 2 3 3 f x ex 1 4x 4 設計意圖 對新知識的理解需要一個不斷深化完善的過程 通過練習 進行數(shù)學思想方法的 小結(jié) 可使學生更深刻地理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和應用 同時反映教學效果 便于教師進行查漏補缺 七 反思小結(jié) 培養(yǎng)能力 問題 8 1 你能說說二次函數(shù)的零點與一元二次方程的根的聯(lián)系嗎 2 如果函數(shù)圖象在區(qū)間 a b 上是連 續(xù)不斷的 那么在什么條件下 函數(shù)在 a b 內(nèi)有 零點 設計意圖 通過師生共同反思 優(yōu)化學生的認知結(jié)構(gòu) 把課堂教學傳授的知識較快轉(zhuǎn)化為 學生的素質(zhì) 回顧小結(jié) 1 本節(jié)課你學到了那些知識 1 函數(shù)零點的定義 2 等價關(guān)系 3 函數(shù)的零點或相應方程的根的存在性以及個數(shù)的判斷 2 本節(jié)課滲透了什么數(shù)學思想方法 八 課后作業(yè) 自主學習 1 教材 92 頁習題 3 1 A 組 第二題 2 求函數(shù) 的零點的個數(shù) 并指出其零點所在的大致區(qū)間 設計意圖 鞏固學生所學的新知識 將學生的思維向外延伸 激發(fā)學生的發(fā)散思維 達到熟 練使用零點定理的目的 沒有圖像的情況下 同時為下一節(jié)課作好鋪墊 六 教學評價設計 1 本節(jié)課的教學通過提出問題 引導學生發(fā)現(xiàn)問題 經(jīng)歷思考交流概括歸納概念 由問題 的提出進一步加深理解 這一過程能夠培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題 分析問題 解決問題的能力 2 加強過程性評價 創(chuàng)設公平 平等 寬松 積極向上的課堂環(huán)境 這就要求對學生的語 言行為及時地給予肯定性的表揚和鼓勵 充分暴露思維 及時矯正 調(diào)整思路 3 通過練習來檢驗學生學習的效果 并在講評中肯定有點 指出不足 4 通過作業(yè)反饋信息 再次對本節(jié)課做出評價 以便查漏補缺 七 教學反思 1 逐層鋪墊 降低難度 由具體到一般 建立一元二次方程的根與相應的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系 然后將其推廣到 一般方程與相應的函數(shù)的情形 2 恰當使用信息技術(shù) 恰當?shù)厥褂枚嗝襟w和計算器 讓學生直觀形象地理解問題 了解知識的形成過程 3 采用 啟發(fā) 探究 討論 教學模式 精心設置一個個問題鏈 給每個學生提供思考 創(chuàng)造 表現(xiàn)和成功的機會