基于立方三角插值樣條的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)路徑的描述和平滑處理外文文獻(xiàn)翻譯@中英文翻譯@外文翻譯,基于,立方,三角,插值樣條,數(shù)控機(jī)床,運(yùn)動(dòng),路徑,描述,描寫(xiě),以及,平滑,處理,外文,文獻(xiàn),翻譯,中英文 C on a , ,b i 1,c 125127, In to C a of on a of C it as to of of be by at of C of of it C C is to of of it to of to of to 1]. In NC of a of At to at of C is to to at of to in of to C of it of 2]. it to at to of to In at of 3,4] to or in to to To a to it of is is of be so of 5] a by of at at to it a of it 6] a to of is is is 3652013) 15013/6 at (2013) No of of be or in or by TP,(2/14,06:23:35) On of ,8], a of be to C as it of be to at C of of k , u 1u≤ ≤ ; is a of ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3 3 20,33 3 21,33 3 22,33,32 2 2 2 2( ) (1 ) ( ) (1 )2 2 2 2 2 2 2 2( ) 1 (1 ) (1 ) 1 ( 1) 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2( ) 1 1 1(B u C S S SB u k C k S k S C k S kB u k k C k k S S k C kS λ λπ π π π πλ λ λ λπ π π π π π π πλ λ λ λπ π π π π π π π= ? + ? + ? ? +? ? ? ?= + ? + + + ? + + ? + + + ? + +? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?= + ? + ? + + ? + ? +? ? ? ?? ? ? ?3 3 22 2 2 2)u kC k S k S π π π π??????????? = ? + ? +??(1) In S is ) C is ) of ( …0,1, ， ), be ( ) ( )3 ,30i i j u q B u+== ∑ , 0 1u≤ ≤ , …0,1, 3i n= ?， . (2) )P u is of )iP u is 2), it is to )P u n? of To i )iP u ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 11 2 1 3 20 , ' 01 , ' 1i i i i i i ii i i i i i iP q P q q k q qP q P q q k q q+ + ++ + + + += = ? ? ?= = ? ? ? . (3) to i + )1iP u+ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 3 21 2 1 3 2 4 30 , ' 01 , ' 1i i i i i i ii i i i i i iP q P q q k q qP q P q q k q q+ + + + + + ++ + + + + + += = ? ? ?= = ? ? ? . (4) 3) 4), it be )iP u )1iP u+ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 11 2 1 3 21 0' 1 ' 0i i ii i i i i q q k q q+ ++ + + + += == = ? ? ? . (5) to 3), (4) 5), a be is )P u of q it C 2) a 516 I ( ) 3 3 23 3 21322 2 2 2 2(1 ) ( ) (1 )2 2 2 2 2 2 2 2( 1) (1 ) (1 ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 12 2 2 2( 1) ( S S k S k S C k S kk k C k λ λπ π π π πλ λ λ λπ π π π π π π πλπ π π π++? ?= ? + ? + ? ? + +? ?? ?? ?? ? ? ? + ? + + + ? + + ? + + + ? + + +? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? + ? + ? +? ?? ?P 23 3 232 2 2 21) ( 1)2 2 2 2 k C kS k S k S λπ π π πλ λπ π π π+? ?? ? + ? + ? + +? ?? ?? ?? ?? ? ? + ? +? ?? ?q; (6) 3 3 23 3 21322 2 2 2 2(1 ) ( ) (1 )2 2 2 2 2 2 2 2( 1) (1 ) (1 ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 12 2 2 2( 1) ( 1)x C S S Sx k C k S k S C k S kx k k C k λ λπ π π π πλ λ λ λπ π π π π π π πλ λπ π π π++? ?= ? + ? + ? ? + +? ?? ?? ?? ? ? ? + ? + + + ? + + ? + + + ? + + +? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? + ? + ? +? ? ? ?? ? ? ? 3 23 3 233 3 23 3 212 2 2 2( 1)2 2 2 22 2 2 2 2(1 ) ( ) (1 )2 2 2 2 2 2( 1) (1 ) (1 ) ( 1) ( 1) k C kS kx kC k S k S y C S S Sy k C k S k S π π π πλ λπ π π πλ λ λ λπ π π π πλ λ λπ π π π π π++? ?+ ? + ? + +? ?? ?? ? ? + ? +? ?? ?? ?= ? + ? + ? ? + +? ?? ?? ? ? ? + ? + + + ? + + ? + +? ? ? ?? ? ? ?3 3 223 3 232 2( 1) ( 1) 12 2 2 2 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 1)2 2 2 2 ky k k C k k S S k C kS ky kC k S k S λ λ λ λπ π π π π π π πλ λπ π π π++?????????????????? ? ?+ ? + + +? ??? ??? ? ?? ? ? ?? + ? + ? + + ? + ? + +? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ??? + ? +? ?? ? ??. (7) In 7) 8): S is ) C is ) 0 1u≤ ≤ . (a) (b) 1 a of to of 1 , 2 , 3 , B , C , D in a of as 1. k of 1(a) to k a 0λ = , 1 1(b) to a , , 0.6 2 3 be As 2, B, B, C , D), is 36517 2 to k a ? , 1λ = ? , 0, . , B, C in of is in B , is in D. be to C of It of of by as be to C of it or C of a , as B,C ,B,C ), a be as 3. 7), 2i ii ix xy y++=??? =?? , 3 13 1i ii ix xy y+ ++ +=??? =?? , 0λ = k = ? , 7) ( )( )31 131 1i i ii i iX x x C xY y y C y+ ++ +? = ? +?? = ? +??. (8) In C is ) 0 1u≤ ≤ . C by of a , ),0A a , ( )0,B a , ( ), 2C a )2,D a , λ = , 1k = ? , a be 7), of be X a CY a S=?? =? (9) In S is ) C is ) 0 1u≤ ≤ . 4 0°, to of u . to 0°, it be of of u ; to 0°, a to C we n n? of As 5, A, B, C , D, E , F , G , H , I , J ) a of by of C of 518 I 4 5 C 6 a of C of B C D→ → → . by is it of be to C is of to of at of of so as to of 6 NC 7 NC 7 C on C C of C D is at . B , 1 C D a . C is is no to C As 8, in to a is at , is by B , B , 1B , 2B ) k = ? . B is on of B is on as of is in is in C of of so of 36519 8 9 As 9, a is at to 1C , 2C , 3C , 4C ) k = ? . C C of is at ; C is on of C is on by C C . of is in is in C of of so of it a of on it is C 1) to no to of so of 2) of k , of be by k , so of 3) as so of 4) of to so it of to C it be to C By at C of 1] , . NC : J]. 41, p. 1323 2001. [2] St基于立方三角插值樣條的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)路徑的 描述和平滑處理 陶建明，宋愛(ài)平，易旦萍 (揚(yáng)州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇揚(yáng)州 225127) 關(guān)鍵字 ：樣條曲線 ，插值，可調(diào)節(jié)形狀，軌道描述，平滑路徑 摘要 ：為了更好地描述數(shù)控加工的復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)路徑 ,實(shí)現(xiàn)路徑片段之間的平穩(wěn)過(guò)渡，一種 基于一組特殊的基函數(shù)的立方三角插值樣條曲線被提出 。有可調(diào)形狀的樣條曲線滿足 C 1連續(xù)性并且它可以準(zhǔn)確地描述一些常見(jiàn)工程曲線比如直線，圓弧和自由曲線。根據(jù)給定的控制點(diǎn)信息，不同形狀的插值樣條曲線可以通過(guò)改變調(diào)整系數(shù)獲得認(rèn)可。通過(guò)選擇合適的控制點(diǎn)和形狀 調(diào)整系數(shù)附近的拐角，插入樣條曲線可以在相鄰的拐角處實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)過(guò)渡段數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑 ， 這樣可以確保穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)路徑和進(jìn)給速度的連續(xù)，與此同時(shí) ， 它還可以減少數(shù)控機(jī)床的影響。 引言 ：高速數(shù)控加工是提高零件加工效率和質(zhì)量的重要方法。機(jī)床在高速運(yùn)行過(guò)程中 ,需要確保機(jī)床運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性 ,避免產(chǎn)生更大的將影響零件的加工質(zhì)量的影響 ,同時(shí)保護(hù)機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)。在實(shí)際加工過(guò)程中，數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑通常由許多直線和圓弧組成。目前，為了處理在相鄰數(shù)控機(jī)床路徑段落的拐角的速度，主要方法是在當(dāng)前加工階段的結(jié)尾減緩速度為零，然后在下個(gè)處理段的起始位置加快 命令速度。使用這種方式以零速度來(lái)度過(guò)每一個(gè)拐角可以避免 對(duì) 數(shù)控機(jī)床 更大的影響。然而 ,這種方式將導(dǎo)致在加工過(guò)程中頻繁啟動(dòng)和停止速度 ,它會(huì)嚴(yán)重影響零件加工效率的提高。因此 ,需要研究新的在拐角處的運(yùn)動(dòng)控制方法 ,從而使傳輸速度不降至零 ,并達(dá)到目的的實(shí)現(xiàn)兩個(gè)相鄰路徑之間的高速平穩(wěn)過(guò)渡段。從而提高加工效率和限制載荷的影響。 處理在拐角處的相鄰加工路徑段的速度時(shí)，文獻(xiàn)提出了在拐角處添加圓弧或二次曲線過(guò)渡 ,來(lái)使速度不降至零。在某種程度上 ,這種方法提高了加工效率 ,降低了機(jī)床的影響。但它缺乏加速控制并且錯(cuò)誤控制不嚴(yán)格，當(dāng)拐角很大 時(shí)，傳輸速度的提高將是有限的，所以這個(gè)方法不滿足高速加工的需要。文獻(xiàn)提出了在拐角處速度與預(yù)見(jiàn)性控制方法，該方法有限速度矢量的變化形成的影響，通過(guò)在拐角處的有限的速度下降追求最大的加工效率。但它需要大量的預(yù)計(jì)算，它需要更高的數(shù)控控制系統(tǒng)。文獻(xiàn)提出了一種向量法來(lái)實(shí)現(xiàn)兩個(gè)路徑之間的平穩(wěn)過(guò)渡。通過(guò)預(yù)期的運(yùn)動(dòng)參數(shù)的分析，該方法可以在拐角更大時(shí)提高傳輸速度，但當(dāng)拐角較小時(shí)，傳輸速度仍不夠光滑。 在立方埃米爾函數(shù)功能基礎(chǔ)上，這篇論文提出了一種可調(diào)形立方三角多項(xiàng)式插值樣條曲線，它可以用來(lái)描述數(shù)控加工路徑，如直線、圓弧和自由 曲線段，并且它有簡(jiǎn)單的計(jì)算性能 ,靈活的結(jié)構(gòu) ,等等。樣條也可以在拐角處用來(lái)描述平穩(wěn)過(guò)渡曲線，實(shí)現(xiàn)高速數(shù)控加工路徑段之間的平穩(wěn)過(guò)渡，滿足現(xiàn)代數(shù)控系統(tǒng)的需求高速、穩(wěn)定性和靈活性。 立方三角插值樣條曲線 樣條的基礎(chǔ)功能 一些變量的給定值λ和κ，參數(shù)υ滿足 0≤ υ ≤ 1，下面的公式稱為立方三角樣條基函數(shù)集。 表 ， 在公式中， 假設(shè)一組給定的控制點(diǎn)是 那么樣條曲線段可以被定義為 由許多小的曲線段組成的曲線 P(u)被稱為立方樣條插值曲線。 從表達(dá)式（ 2）中知道整個(gè)曲線 P(u)由 第 pi(u)存在 (3) 第 i+1個(gè)曲線段 (u)存在 (4) 比較（ 3）（ 4）兩式，很明顯知道臨近的曲線段 pi(u)和 (u)有以下聯(lián)系 (5) 由式子（ 3）（ 4）（ 5），一個(gè)定理可以得到，即樣條曲線篡改 這組給定的控制點(diǎn)從 它也滿足 展開(kāi)樣條曲線公式（ 2）變成多項(xiàng)式形式，然后可以得到(6) (7) 在式子（ 7）（ 8）中 s 代表 ， c 代表 圖一 可調(diào) 樣值插條曲線 從上面可以知道 ,任何四個(gè)控制點(diǎn)完全確定一段可調(diào)形立方三角插值樣條曲線。曲線篡改前兩個(gè)控制點(diǎn) ,后兩個(gè)控制點(diǎn)是用來(lái)計(jì)算曲線的端點(diǎn)斜坡段。 設(shè) qi 分別為 A B C D 四個(gè)確定的點(diǎn)，采用 序 能畫(huà)一個(gè)立方三角插值樣條曲線段可調(diào)的形狀，如圖 1。改變?chǔ)撕?整。當(dāng) = 和 一中的四條曲線分別插值樣條曲線段一致。然而當(dāng)λ取值 1， k=條曲線在圖 1別和樣條曲線段一致。 圖二 環(huán)形插值樣條 圖三 直線插值樣條 此外 ,當(dāng)控制點(diǎn)被重用時(shí)環(huán)形插值樣條曲線段可以生成。如圖 2 所示，當(dāng)控制點(diǎn)序列式（ B,B,C,D） 后通過(guò)編程可以生成環(huán)型樣條曲線段 。當(dāng) 1，λ =和 1，圖 2 中的兩條環(huán)形曲線段分別和樣條曲線段對(duì)應(yīng)。保持 A、 B、 然后樣條起點(diǎn)向量和 向，向量結(jié)束點(diǎn)和 個(gè)特性可以用來(lái)處理在數(shù)控加工中的相鄰路徑之間的拐角平穩(wěn)過(guò)渡段。 三角立方插值樣條曲線的工程應(yīng)用 貝塞爾曲線和 b 樣條曲線與傳統(tǒng)的弗格森曲線相比 ,可調(diào)形狀立方三角插值樣條曲線具有更好的性能。它不僅具有可調(diào)的屬性插值和形狀 ,還因?yàn)闃訔l曲線包含的三角多項(xiàng)式 ,通過(guò)選擇合適的控制點(diǎn)和形狀調(diào)整系數(shù)。樣條曲線可以準(zhǔn)確地描述常見(jiàn)的工程曲線如直線、圓弧和自由曲線等。因此 ,樣條曲線可以用來(lái)描述復(fù)雜的數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑。與此同時(shí) ,通過(guò)選擇合適的附近角落里的控制點(diǎn)相鄰加工路徑段和形狀調(diào)整系數(shù) ,可以生成可實(shí)現(xiàn)高速平穩(wěn)過(guò)渡街角環(huán)形式或圓弧樣條曲線。 數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑的直線描述 假設(shè)一個(gè)線段的兩個(gè)端點(diǎn) B 和 C,以四個(gè)控制點(diǎn)順序?yàn)?(B,C,B,C),然后從 B 到 C 一條直線可以構(gòu)造如圖 3 所示。 分析公式 7 當(dāng) 和 k=1 的時(shí)候，公式 7 變成了線性參數(shù)方程 （ 8） 在公式中： 圓弧數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑的描述 通過(guò)樣條曲線的四個(gè)特殊控制點(diǎn)和形狀調(diào)整系數(shù)可以準(zhǔn)確的描述圓弧。 假設(shè)兩個(gè)端點(diǎn)的圓弧段是 a 和 B,以四個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)為 A(a,0) ,B(0, a) , C(a,πa/2) (?π a/2, a),形狀調(diào)整系數(shù)λ = 1,k =?1,然后從一個(gè)圓弧從 A 到 B 可以構(gòu)造。把以上四個(gè)控制點(diǎn)的坐標(biāo)和形狀調(diào)整系數(shù)代入公式 (7),可以得到圓弧的參數(shù)方程 : （ 9） 在公式中： 圖 4 顯示了角圓弧段與中心的角為 90° ,相應(yīng)的改變了從 0 到 1 的參數(shù) u。當(dāng)使用樣條曲線來(lái)描述圓弧角和中心小于 90°時(shí) ,它可以通過(guò)控制參數(shù) u 的數(shù)值 ;當(dāng)描述圓弧角與中心超過(guò) 90°時(shí) ,使用一些圓弧段拼接去理解。 描述數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑的自由曲線 使用這個(gè)立方三角插值樣條可以很容易地描述自由曲線。從上面我們知道給定的控制點(diǎn)可以構(gòu)造 n?3 樣條曲線段。如圖 5 所示 ,通過(guò) (A,B,C,D,E,F,G,H， I,J)十控制點(diǎn)可以產(chǎn)生一個(gè)由七個(gè)小段樣條曲線組成的自由曲線段。整個(gè)自由曲線滿足這保證 了樣條曲線的平滑度。 應(yīng)用力學(xué)和材料波動(dòng)率 365 519 圖 圖 數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑的規(guī)劃 圖 6 顯示了當(dāng)前常用數(shù)控加工運(yùn)動(dòng)路徑的一部分。工具中心的移動(dòng)路徑為 A→ B→ C→ D。 在運(yùn)動(dòng)路徑中 ,點(diǎn) B 和 C 是明顯的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。當(dāng)相鄰加工路徑段形成的角比較大時(shí) ,它將引起過(guò)大的運(yùn)動(dòng)速度矢量的變化 ,這將更容易對(duì)數(shù)控機(jī)床引起更大的影響。這種現(xiàn)象對(duì)高速情況下的高速加工更加明顯。根據(jù)樣條曲線的性質(zhì) ,插入樣條在拐角處的相鄰段加工路徑 ,可以生成的 軌跡過(guò)渡段之間的平穩(wěn)過(guò)渡 ,實(shí)現(xiàn)加工路徑 ,以實(shí)現(xiàn)角落平滑過(guò)渡的速度的目的。圖 圖 圖 7 顯示了描述數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑基于可調(diào)鋒利的立方三角插值樣條曲線。其中 ,分 十字路口外輪廓的工具根據(jù)公元前段和 工具中心是在 C 點(diǎn)。段2入外花鍵環(huán)形式過(guò)渡曲線拐角點(diǎn) 。這樣計(jì)劃數(shù)控加工運(yùn)動(dòng)路徑平滑 ,沒(méi)有速度下降和上升角過(guò)渡期間 ,可以保證順利在拐角處轉(zhuǎn)移 ,容易實(shí)現(xiàn)高速加工數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑段之間的關(guān)系 。 外部角落的平滑度 如圖 8 所示 ,為了順利轉(zhuǎn)移加工 m l 和 n l 之間的片段 ,樣條曲線環(huán)形式插入外部角落 B 點(diǎn) , 由四個(gè)控制點(diǎn)生成序列 (B,B,形狀調(diào)整系數(shù) k =?1。其中 ,點(diǎn) 延長(zhǎng)線上段 m l 和點(diǎn) n l。選擇控制點(diǎn) ,這種方式可以確保矢量的起點(diǎn)樣條曲線轉(zhuǎn)移與段 m l 在同一個(gè)方向 ,和結(jié)束點(diǎn)向量是相同的段 n l 方向 ,可以實(shí)現(xiàn)外部角落數(shù)控運(yùn)動(dòng)之間的平穩(wěn)過(guò)渡路徑段。改變形狀調(diào)整系數(shù)λ的值可以產(chǎn)生不同大小的樣條曲線 ,通過(guò)選擇合適的λ值可以控制角落里的運(yùn)動(dòng)過(guò)程加速度的變化。 機(jī)械設(shè)計(jì)和制造工程 520 圖 8 外部角落平穩(wěn)過(guò)渡 圖 9 內(nèi)角平穩(wěn)過(guò)渡 平滑的內(nèi)角 如圖 9 所示 ,插入在圓弧樣條曲線內(nèi) 角點(diǎn) C 平滑轉(zhuǎn)移 n l 和 o l 之間的部分。四個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)是 (2,4)和形狀調(diào)整系數(shù) k =?1。其中 ,點(diǎn) l n 和 o l 當(dāng)工具中心在 C 點(diǎn) ,點(diǎn) 延長(zhǎng)線上段 n l,點(diǎn)o l,和他們的坐標(biāo)是由點(diǎn) 2。同樣 ,這條曲線的起點(diǎn)向量同一個(gè)方向段 n l 和終點(diǎn)向量與段 o l 在同一個(gè)方向 ,可實(shí)現(xiàn)數(shù)控運(yùn)動(dòng) 路徑的內(nèi)部角平穩(wěn)過(guò)渡段。改變形狀的價(jià)值調(diào)整系數(shù)λ可以改變傳輸曲線的大小 ,所以通過(guò)選擇合適的λ值可以控制在角落運(yùn)動(dòng)加速度的變化的過(guò)程 ,與此同時(shí) ,它還可以控制加工誤差。 結(jié)論 本文給出了一組特殊的基函數(shù) ,并根據(jù)它所構(gòu)造的曲線立方三角插值樣條曲線滿足 1 C 連續(xù)性。曲線有以下優(yōu)點(diǎn) :1)改變控制點(diǎn)只有四段曲線的相關(guān) 影響 ,并沒(méi)有影響其他地區(qū)的整個(gè)曲線 ,曲線具有良好的性能位置。 2)每段樣條有兩個(gè)形狀調(diào)整系數(shù)λ和 k,和的形狀曲線可以很容易地控制通過(guò)改變?chǔ)说闹岛?k,所以曲線的性質(zhì)形狀可調(diào)。 3)選擇合適的控制點(diǎn)和形狀調(diào)整系數(shù) ,樣條精確地描述一些常見(jiàn)工程曲線如直線、圓弧和自由曲線 ,所以樣條曲線構(gòu)造的靈活性。 4)使用樣條多項(xiàng)式的形式表達(dá)式來(lái)避免理性形式 ,因此需要減少大量的計(jì)算和存儲(chǔ)空間。 因此 ,使用這個(gè)樣條描述復(fù)雜數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑具有明顯的優(yōu)勢(shì) ,它也可以用來(lái)處理相鄰數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑之間的角落平穩(wěn)過(guò)渡段。通過(guò)插入可調(diào)鋒利的樣條在拐角處可以很容易地實(shí)現(xiàn)高速數(shù)控路徑之間的平穩(wěn)過(guò)渡段 ,可以滿足現(xiàn)代數(shù)控需要的系統(tǒng)高速、穩(wěn)定性和靈活性。 C on a , ,b i 1,c 125127, In to C a of on a of C it as to of of be by at of C of of it C C is to of of it to of to of to 1]. In NC of a of At to at of C is to to at of to in of to C of it of 2]. it to at to of to In at of 3,4] to or in to to To a to it of is is of be so of 5] a by of at at to it a of it 6] a to of is is is 3652013) 15013/6 at (2013) No of of be or in or by TP,(2/14,06:23:35) On of ,8], a of be to C as it of be to at C of of k , u 1u≤ ≤ ; is a of ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3 3 20,33 3 21,33 3 22,33,32 2 2 2 2( ) (1 ) ( ) (1 )2 2 2 2 2 2 2 2( ) 1 (1 ) (1 ) 1 ( 1) 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2( ) 1 1 1(B u C S S SB u k C k S k S C k S kB u k k C k k S S k C kS λ λπ π π π πλ λ λ λπ π π π π π π πλ λ λ λπ π π π π π π π= ? + ? + ? ? +? ? ? ?= + ? + + + ? + + ? + + + ? + +? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?= + ? + ? + + ? + ? +? ? ? ?? ? ? ?3 3 22 2 2 2)u kC k S k S π π π π??????????? = ? + ? +??(1) In S is ) C is ) of ( …0,1, ， ), be ( ) ( )3 ,30i i j u q B u+== ∑ , 0 1u≤ ≤ , …0,1, 3i n= ?， . (2) )P u is of )iP u is 2), it is to )P u n? of To i )iP u ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 11 2 1 3 20 , ' 01 , ' 1i i i i i i ii i i i i i iP q P q q k q qP q P q q k q q+ + ++ + + + += = ? ? ?= = ? ? ? . (3) to i + )1iP u+ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 3 21 2 1 3 2 4 30 , ' 01 , ' 1i i i i i i ii i i i i i iP q P q q k q qP q P q q k q q+ + + + + + ++ + + + + + += = ? ? ?= = ? ? ? . (4) 3) 4), it be )iP u )1iP u+ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 11 2 1 3 21 0' 1 ' 0i i ii i i i i q q k q q+ ++ + + + += == = ? ? ? . (5) to 3), (4) 5), a be is )P u of q it C 2) a 516 I ( ) 3 3 23 3 21322 2 2 2 2(1 ) ( ) (1 )2 2 2 2 2 2 2 2( 1) (1 ) (1 ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 12 2 2 2( 1) ( S S k S k S C k S kk k C k λ λπ π π π πλ λ λ λπ π π π π π π πλπ π π π++? ?= ? + ? + ? ? + +? ?? ?? ?? ? ? ? + ? + + + ? + + ? + + + ? + + +? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? + ? + ? +? ?? ?P 23 3 232 2 2 21) ( 1)2 2 2 2 k C kS k S k S λπ π π πλ λπ π π π+? ?? ? + ? + ? + +? ?? ?? ?? ?? ? ? + ? +? ?? ?q; (6) 3 3 23 3 21322 2 2 2 2(1 ) ( ) (1 )2 2 2 2 2 2 2 2( 1) (1 ) (1 ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 12 2 2 2( 1) ( 1)x C S S Sx k C k S k S C k S kx k k C k λ λπ π π π πλ λ λ λπ π π π π π π πλ λπ π π π++? ?= ? + ? + ? ? + +? ?? ?? ?? ? ? ? + ? + + + ? + + ? + + + ? + + +? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? + ? + ? +? ? ? ?? ? ? ? 3 23 3 233 3 23 3 212 2 2 2( 1)2 2 2 22 2 2 2 2(1 ) ( ) (1 )2 2 2 2 2 2( 1) (1 ) (1 ) ( 1) ( 1) k C kS kx kC k S k S y C S S Sy k C k S k S π π π πλ λπ π π πλ λ λ λπ π π π πλ λ λπ π π π π π++? ?+ ? + ? + +? ?? ?? ? ? + ? +? ?? ?? ?= ? + ? + ? ? + +? ?? ?? ? ? ? + ? + + + ? + + ? + +? ? ? ?? ? ? ?3 3 223 3 232 2( 1) ( 1) 12 2 2 2 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 1)2 2 2 2 ky k k C k k S S k C kS ky kC k S k S λ λ λ λπ π π π π π π πλ λπ π π π++?????????????????? ? ?+ ? + + +? ??? ??? ? ?? ? ? ?? + ? + ? + + ? + ? + +? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ??? + ? +? ?? ? ??. (7) In 7) 8): S is ) C is ) 0 1u≤ ≤ . (a) (b) 1 a of to of 1 , 2 , 3 , B , C , D in a of as 1. k of 1(a) to k a 0λ = , 1 1(b) to a , , 0.6 2 3 be As 2, B, B, C , D), is 36517 2 to k a ? , 1λ = ? , 0, . , B, C in of is in B , is in D. be to C of It of of by as be to C of it or C of a , as B,C ,B,C ), a be as 3. 7), 2i ii ix xy y++=??? =?? , 3 13 1i ii ix xy y+ ++ +=??? =?? , 0λ = k = ? , 7) ( )( )31 131 1i i ii i iX x x C xY y y C y+ ++ +? = ? +?? = ? +??. (8) In C is ) 0 1u≤ ≤ . C by of a , ),0A a , ( )0,B a , ( ), 2C a )2,D a , λ = , 1k = ? , a be 7), of be X a CY a S=?? =? (9) In S is ) C is ) 0 1u≤ ≤ . 4 0°, to of u . to 0°, it be of of u ; to 0°, a to C we n n? of As 5, A, B, C , D, E , F , G , H , I , J ) a of by of C of 518 I 4 5 C 6 a of C of B C D→ → → . by is it of be to C is of to of at of of so as to of 6 NC 7 NC 7 C on C C of C D is at . B , 1 C D a . C is is no to C As 8, in to a is at , is by B , B , 1B , 2B ) k = ? . B is on of B is on as of is in is in C of of so of 36519 8 9 As 9, a is at to 1C , 2C , 3C , 4C ) k = ? . C C of is at ; C is on of C is on by C C . of is in is in C of of so of it a of on it is C 1) to no to of so of 2) of k , of be by k , so of 3) as so of 4) of to so it of to C it be to C By at C of 1] , . NC : J]. 41, p. 1323 2001. [2] St基于立方三角插值樣條的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)路徑的 描述和平滑處理 陶建明，宋愛(ài)平，易旦萍 (揚(yáng)州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇揚(yáng)州 225127) 關(guān)鍵字 ：樣條曲線 ，插值，可調(diào)節(jié)形狀，軌道描述，平滑路徑 摘要 ：為了更好地描述數(shù)控加工的復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)路徑 ,實(shí)現(xiàn)路徑片段之間的平穩(wěn)過(guò)渡，一種 基于一組特殊的基函數(shù)的立方三角插值樣條曲線被提出 。有可調(diào)形狀的樣條曲線滿足 C 1連續(xù)性并且它可以準(zhǔn)確地描述一些常見(jiàn)工程曲線比如直線，圓弧和自由曲線。根據(jù)給定的控制點(diǎn)信息，不同形狀的插值樣條曲線可以通過(guò)改變調(diào)整系數(shù)獲得認(rèn)可。通過(guò)選擇合適的控制點(diǎn)和形狀 調(diào)整系數(shù)附近的拐角，插入樣條曲線可以在相鄰的拐角處實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)過(guò)渡段數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑 ， 這樣可以確保穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)路徑和進(jìn)給速度的連續(xù)，與此同時(shí) ， 它還可以減少數(shù)控機(jī)床的影響。 引言 ：高速數(shù)控加工是提高零件加工效率和質(zhì)量的重要方法。機(jī)床在高速運(yùn)行過(guò)程中 ,需要確保機(jī)床運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性 ,避免產(chǎn)生更大的將影響零件的加工質(zhì)量的影響 ,同時(shí)保護(hù)機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)。在實(shí)際加工過(guò)程中，數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑通常由許多直線和圓弧組成。目前，為了處理在相鄰數(shù)控機(jī)床路徑段落的拐角的速度，主要方法是在當(dāng)前加工階段的結(jié)尾減緩速度為零，然后在下個(gè)處理段的起始位置加快 命令速度。使用這種方式以零速度來(lái)度過(guò)每一個(gè)拐角可以避免 對(duì) 數(shù)控機(jī)床 更大的影響。然而 ,這種方式將導(dǎo)致在加工過(guò)程中頻繁啟動(dòng)和停止速度 ,它會(huì)嚴(yán)重影響零件加工效率的提高。因此 ,需要研究新的在拐角處的運(yùn)動(dòng)控制方法 ,從而使傳輸速度不降至零 ,并達(dá)到目的的實(shí)現(xiàn)兩個(gè)相鄰路徑之間的高速平穩(wěn)過(guò)渡段。從而提高加工效率和限制載荷的影響。 處理在拐角處的相鄰加工路徑段的速度時(shí)，文獻(xiàn)提出了在拐角處添加圓弧或二次曲線過(guò)渡 ,來(lái)使速度不降至零。在某種程度上 ,這種方法提高了加工效率 ,降低了機(jī)床的影響。但它缺乏加速控制并且錯(cuò)誤控制不嚴(yán)格，當(dāng)拐角很大 時(shí)，傳輸速度的提高將是有限的，所以這個(gè)方法不滿足高速加工的需要。文獻(xiàn)提出了在拐角處速度與預(yù)見(jiàn)性控制方法，該方法有限速度矢量的變化形成的影響，通過(guò)在拐角處的有限的速度下降追求最大的加工效率。但它需要大量的預(yù)計(jì)算，它需要更高的數(shù)控控制系統(tǒng)。文獻(xiàn)提出了一種向量法來(lái)實(shí)現(xiàn)兩個(gè)路徑之間的平穩(wěn)過(guò)渡。通過(guò)預(yù)期的運(yùn)動(dòng)參數(shù)的分析，該方法可以在拐角更大時(shí)提高傳輸速度，但當(dāng)拐角較小時(shí)，傳輸速度仍不夠光滑。 在立方埃米爾函數(shù)功能基礎(chǔ)上，這篇論文提出了一種可調(diào)形立方三角多項(xiàng)式插值樣條曲線，它可以用來(lái)描述數(shù)控加工路徑，如直線、圓弧和自由 曲線段，并且它有簡(jiǎn)單的計(jì)算性能 ,靈活的結(jié)構(gòu) ,等等。樣條也可以在拐角處用來(lái)描述平穩(wěn)過(guò)渡曲線，實(shí)現(xiàn)高速數(shù)控加工路徑段之間的平穩(wěn)過(guò)渡，滿足現(xiàn)代數(shù)控系統(tǒng)的需求高速、穩(wěn)定性和靈活性。 立方三角插值樣條曲線 樣條的基礎(chǔ)功能 一些變量的給定值λ和κ，參數(shù)υ滿足 0≤ υ ≤ 1，下面的公式稱為立方三角樣條基函數(shù)集。 表 ， 在公式中， 假設(shè)一組給定的控制點(diǎn)是 那么樣條曲線段可以被定義為 由許多小的曲線段組成的曲線 P(u)被稱為立方樣條插值曲線。 從表達(dá)式（ 2）中知道整個(gè)曲線 P(u)由 第 pi(u)存在 (3) 第 i+1個(gè)曲線段 (u)存在 (4) 比較（ 3）（ 4）兩式，很明顯知道臨近的曲線段 pi(u)和 (u)有以下聯(lián)系 (5) 由式子（ 3）（ 4）（ 5），一個(gè)定理可以得到，即樣條曲線篡改 這組給定的控制點(diǎn)從 它也滿足 展開(kāi)樣條曲線公式（ 2）變成多項(xiàng)式形式，然后可以得到(6) (7) 在式子（ 7）（ 8）中 s 代表 ， c 代表 圖一 可調(diào) 樣值插條曲線 從上面可以知道 ,任何四個(gè)控制點(diǎn)完全確定一段可調(diào)形立方三角插值樣條曲線。曲線篡改前兩個(gè)控制點(diǎn) ,后兩個(gè)控制點(diǎn)是用來(lái)計(jì)算曲線的端點(diǎn)斜坡段。 設(shè) qi 分別為 A B C D 四個(gè)確定的點(diǎn)，采用 序 能畫(huà)一個(gè)立方三角插值樣條曲線段可調(diào)的形狀，如圖 1。改變?chǔ)撕?整。當(dāng) = 和 一中的四條曲線分別插值樣條曲線段一致。然而當(dāng)λ取值 1， k=條曲線在圖 1別和樣條曲線段一致。 圖二 環(huán)形插值樣條 圖三 直線插值樣條 此外 ,當(dāng)控制點(diǎn)被重用時(shí)環(huán)形插值樣條曲線段可以生成。如圖 2 所示，當(dāng)控制點(diǎn)序列式（ B,B,C,D） 后通過(guò)編程可以生成環(huán)型樣條曲線段 。當(dāng) 1，λ =和 1，圖 2 中的兩條環(huán)形曲線段分別和樣條曲線段對(duì)應(yīng)。保持 A、 B、 然后樣條起點(diǎn)向量和 向，向量結(jié)束點(diǎn)和 個(gè)特性可以用來(lái)處理在數(shù)控加工中的相鄰路徑之間的拐角平穩(wěn)過(guò)渡段。 三角立方插值樣條曲線的工程應(yīng)用 貝塞爾曲線和 b 樣條曲線與傳統(tǒng)的弗格森曲線相比 ,可調(diào)形狀立方三角插值樣條曲線具有更好的性能。它不僅具有可調(diào)的屬性插值和形狀 ,還因?yàn)闃訔l曲線包含的三角多項(xiàng)式 ,通過(guò)選擇合適的控制點(diǎn)和形狀調(diào)整系數(shù)。樣條曲線可以準(zhǔn)確地描述常見(jiàn)的工程曲線如直線、圓弧和自由曲線等。因此 ,樣條曲線可以用來(lái)描述復(fù)雜的數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑。與此同時(shí) ,通過(guò)選擇合適的附近角落里的控制點(diǎn)相鄰加工路徑段和形狀調(diào)整系數(shù) ,可以生成可實(shí)現(xiàn)高速平穩(wěn)過(guò)渡街角環(huán)形式或圓弧樣條曲線。 數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑的直線描述 假設(shè)一個(gè)線段的兩個(gè)端點(diǎn) B 和 C,以四個(gè)控制點(diǎn)順序?yàn)?(B,C,B,C),然后從 B 到 C 一條直線可以構(gòu)造如圖 3 所示。 分析公式 7 當(dāng) 和 k=1 的時(shí)候，公式 7 變成了線性參數(shù)方程 （ 8） 在公式中： 圓弧數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑的描述 通過(guò)樣條曲線的四個(gè)特殊控制點(diǎn)和形狀調(diào)整系數(shù)可以準(zhǔn)確的描述圓弧。 假設(shè)兩個(gè)端點(diǎn)的圓弧段是 a 和 B,以四個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)為 A(a,0) ,B(0, a) , C(a,πa/2) (?π a/2, a),形狀調(diào)整系數(shù)λ = 1,k =?1,然后從一個(gè)圓弧從 A 到 B 可以構(gòu)造。把以上四個(gè)控制點(diǎn)的坐標(biāo)和形狀調(diào)整系數(shù)代入公式 (7),可以得到圓弧的參數(shù)方程 : （ 9） 在公式中： 圖 4 顯示了角圓弧段與中心的角為 90° ,相應(yīng)的改變了從 0 到 1 的參數(shù) u。當(dāng)使用樣條曲線來(lái)描述圓弧角和中心小于 90°時(shí) ,它可以通過(guò)控制參數(shù) u 的數(shù)值 ;當(dāng)描述圓弧角與中心超過(guò) 90°時(shí) ,使用一些圓弧段拼接去理解。 描述數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑的自由曲線 使用這個(gè)立方三角插值樣條可以很容易地描述自由曲線。從上面我們知道給定的控制點(diǎn)可以構(gòu)造 n?3 樣條曲線段。如圖 5 所示 ,通過(guò) (A,B,C,D,E,F,G,H， I,J)十控制點(diǎn)可以產(chǎn)生一個(gè)由七個(gè)小段樣條曲線組成的自由曲線段。整個(gè)自由曲線滿足這保證 了樣條曲線的平滑度。 應(yīng)用力學(xué)和材料波動(dòng)率 365 519 圖 圖 數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑的規(guī)劃 圖 6 顯示了當(dāng)前常用數(shù)控加工運(yùn)動(dòng)路徑的一部分。工具中心的移動(dòng)路徑為 A→ B→ C→ D。 在運(yùn)動(dòng)路徑中 ,點(diǎn) B 和 C 是明顯的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。當(dāng)相鄰加工路徑段形成的角比較大時(shí) ,它將引起過(guò)大的運(yùn)動(dòng)速度矢量的變化 ,這將更容易對(duì)數(shù)控機(jī)床引起更大的影響。這種現(xiàn)象對(duì)高速情況下的高速加工更加明顯。根據(jù)樣條曲線的性質(zhì) ,插入樣條在拐角處的相鄰段加工路徑 ,可以生成的 軌跡過(guò)渡段之間的平穩(wěn)過(guò)渡 ,實(shí)現(xiàn)加工路徑 ,以實(shí)現(xiàn)角落平滑過(guò)渡的速度的目的。圖 圖 圖 7 顯示了描述數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑基于可調(diào)鋒利的立方三角插值樣條曲線。其中 ,分 十字路口外輪廓的工具根據(jù)公元前段和 工具中心是在 C 點(diǎn)。段2入外花鍵環(huán)形式過(guò)渡曲線拐角點(diǎn) 。這樣計(jì)劃數(shù)控加工運(yùn)動(dòng)路徑平滑 ,沒(méi)有速度下降和上升角過(guò)渡期間 ,可以保證順利在拐角處轉(zhuǎn)移 ,容易實(shí)現(xiàn)高速加工數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑段之間的關(guān)系 。 外部角落的平滑度 如圖 8 所示 ,為了順利轉(zhuǎn)移加工 m l 和 n l 之間的片段 ,樣條曲線環(huán)形式插入外部角落 B 點(diǎn) , 由四個(gè)控制點(diǎn)生成序列 (B,B,形狀調(diào)整系數(shù) k =?1。其中 ,點(diǎn) 延長(zhǎng)線上段 m l 和點(diǎn) n l。選擇控制點(diǎn) ,這種方式可以確保矢量的起點(diǎn)樣條曲線轉(zhuǎn)移與段 m l 在同一個(gè)方向 ,和結(jié)束點(diǎn)向量是相同的段 n l 方向 ,可以實(shí)現(xiàn)外部角落數(shù)控運(yùn)動(dòng)之間的平穩(wěn)過(guò)渡路徑段。改變形狀調(diào)整系數(shù)λ的值可以產(chǎn)生不同大小的樣條曲線 ,通過(guò)選擇合適的λ值可以控制角落里的運(yùn)動(dòng)過(guò)程加速度的變化。 機(jī)械設(shè)計(jì)和制造工程 520 圖 8 外部角落平穩(wěn)過(guò)渡 圖 9 內(nèi)角平穩(wěn)過(guò)渡 平滑的內(nèi)角 如圖 9 所示 ,插入在圓弧樣條曲線內(nèi) 角點(diǎn) C 平滑轉(zhuǎn)移 n l 和 o l 之間的部分。四個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)是 (2,4)和形狀調(diào)整系數(shù) k =?1。其中 ,點(diǎn) l n 和 o l 當(dāng)工具中心在 C 點(diǎn) ,點(diǎn) 延長(zhǎng)線上段 n l,點(diǎn)o l,和他們的坐標(biāo)是由點(diǎn) 2。同樣 ,這條曲線的起點(diǎn)向量同一個(gè)方向段 n l 和終點(diǎn)向量與段 o l 在同一個(gè)方向 ,可實(shí)現(xiàn)數(shù)控運(yùn)動(dòng) 路徑的內(nèi)部角平穩(wěn)過(guò)渡段。改變形狀的價(jià)值調(diào)整系數(shù)λ可以改變傳輸曲線的大小 ,所以通過(guò)選擇合適的λ值可以控制在角落運(yùn)動(dòng)加速度的變化的過(guò)程 ,與此同時(shí) ,它還可以控制加工誤差。 結(jié)論 本文給出了一組特殊的基函數(shù) ,并根據(jù)它所構(gòu)造的曲線立方三角插值樣條曲線滿足 1 C 連續(xù)性。曲線有以下優(yōu)點(diǎn) :1)改變控制點(diǎn)只有四段曲線的相關(guān) 影響 ,并沒(méi)有影響其他地區(qū)的整個(gè)曲線 ,曲線具有良好的性能位置。 2)每段樣條有兩個(gè)形狀調(diào)整系數(shù)λ和 k,和的形狀曲線可以很容易地控制通過(guò)改變?chǔ)说闹岛?k,所以曲線的性質(zhì)形狀可調(diào)。 3)選擇合適的控制點(diǎn)和形狀調(diào)整系數(shù) ,樣條精確地描述一些常見(jiàn)工程曲線如直線、圓弧和自由曲線 ,所以樣條曲線構(gòu)造的靈活性。 4)使用樣條多項(xiàng)式的形式表達(dá)式來(lái)避免理性形式 ,因此需要減少大量的計(jì)算和存儲(chǔ)空間。 因此 ,使用這個(gè)樣條描述復(fù)雜數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑具有明顯的優(yōu)勢(shì) ,它也可以用來(lái)處理相鄰數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑之間的角落平穩(wěn)過(guò)渡段。通過(guò)插入可調(diào)鋒利的樣條在拐角處可以很容易地實(shí)現(xiàn)高速數(shù)控路徑之間的平穩(wěn)過(guò)渡段 ,可以滿足現(xiàn)代數(shù)控需要的系統(tǒng)高速、穩(wěn)定性和靈活性。