《（全國通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 概率與統(tǒng)計(jì) 第1講 概率學(xué)案 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 概率與統(tǒng)計(jì) 第1講 概率學(xué)案 文（16頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1講　概　率 [考情考向分析]　1.以選擇題、填空題的形式考查古典概型、幾何概型的基本應(yīng)用.2.將古典概型與概率的性質(zhì)相結(jié)合，考查知識(shí)的綜合應(yīng)用能力． 熱點(diǎn)一　古典概型 古典概型的概率 P(A)＝＝. 例1　(2017·山東)某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國家去旅游． (1)若從這6個(gè)國家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國家都是亞洲國家的概率； (2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國家包括A1但不包括B1的概率． 解　(1)由題意知，從6個(gè)國家中任選2個(gè)國家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有{A1，A2}，{A

2、1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15個(gè)． 所選2個(gè)國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3個(gè)， 則所求事件的概率為P＝＝. (2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè)，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9個(gè)．

3、包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有 {A1，B2}，{A1，B3}，共2個(gè)， 則所求事件的概率為P＝. 思維升華　求古典概型概率的步驟 (1)反復(fù)閱讀題目，收集題目中的各種信息，理解題意． (2)判斷試驗(yàn)是否為古典概型，并用字母表示所求事件． (3)利用列舉法求出總的基本事件的個(gè)數(shù)n及事件A中包含的基本事件的個(gè)數(shù)m. (4)計(jì)算事件A的概率P(A)＝. 跟蹤演練1　(2018·北京朝陽區(qū)模擬)今年，樓市火爆，特別是一線城市，某一線城市采取“限價(jià)房”搖號(hào)制度，客戶以家庭為單位進(jìn)行抽簽，若有n套房源，則設(shè)置n個(gè)中獎(jiǎng)簽，客戶抽到中獎(jiǎng)簽視為中簽，中簽家庭可以在指定小區(qū)提供的房

4、源中隨機(jī)抽取一個(gè)房號(hào)，現(xiàn)共有20戶家庭去抽取6套房源． (1)求每個(gè)家庭中簽的概率； (2)已知甲、乙兩個(gè)友好家庭均已中簽，并共同前往某指定小區(qū)抽取房號(hào)．目前該小區(qū)剩余房源有某單元27,28兩個(gè)樓層共6套房，其中，第27層有2套房，房間號(hào)分別記為2702,2703；第28層4套房，房間號(hào)分別記為2803,2804,2806,2808. ①求該單元27,28兩個(gè)樓層所剩下6套房的房間號(hào)的平均數(shù)； ②求甲、乙兩個(gè)家庭能住在同一層樓的概率． 解　(1)因?yàn)楣灿?0戶家庭去抽取6套房源且每個(gè)家庭中簽的概率都是相同的， 所以每個(gè)家庭中簽的概率P＝＝. (2)①該單元27,28兩個(gè)樓層所剩下

5、6套房的房間號(hào)的平均數(shù) ＝＝2771. ②將這6套房編號(hào)，記第27層2套房分別為X，Y，第28層4套房分別為a，b，c，d， 則甲、乙兩個(gè)家庭選房可能的結(jié)果有 (X，Y)，(X，a)，(X，b)，(X，c)，(X，d)，(Y，a)，(Y，b)，(Y，c)，(Y，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共15種． 其中甲、乙兩個(gè)家庭能住在同一樓層的可能情況有(X，Y)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共7種， 所以甲、乙兩個(gè)家庭能住在同一樓層的概率為P＝. 熱點(diǎn)二　幾何概型 1．幾何概型的概率公式：

6、P(A)＝. 2．幾何概型應(yīng)滿足兩個(gè)條件：基本事件的無限性和每個(gè)基本事件發(fā)生的等可能性． 例2　(1)(2018·北京朝陽區(qū)模擬)若在集合{x|－21，可以求得m>2， 在集合中隨機(jī)取大于2的數(shù)， 滿足條件的取值所對應(yīng)的幾何度量就是區(qū)間的長度，為3－2＝1， 而在集合中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)所對應(yīng)的幾何度量是區(qū)間[－2,3]的長度，為3－(－2)＝5， 所以對應(yīng)事件的概率為P＝. (2)(2018·衡水調(diào)研)甲、乙兩人各自在400 m長的直線形跑道上跑

7、步，則在任一時(shí)刻兩人在跑道上相距不超過50 m的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)甲、乙兩人跑的路程分別為x m，y m，則有表示的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的正方形OABC，面積為160 000 m2，相距不超過50 m，滿足|x－y|≤50，表示的區(qū)域如圖陰影部分所示，面積為160 000－×××2＝37 500(m2)，所以在任一時(shí)刻兩人在跑道上相距不超過50 m的概率為P＝＝. 思維升華　當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積、弧長、夾角等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解．利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變

8、量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域． 跟蹤演練2　(1)(2018·安徽省“皖南八?！甭?lián)考)2018年平昌冬季奧運(yùn)會(huì)于2月9日～2月25日舉行，為了解奧運(yùn)會(huì)五環(huán)所占面積與單獨(dú)五個(gè)環(huán)面積和的比值P，某學(xué)生設(shè)計(jì)了如下的計(jì)算機(jī)模擬，通過計(jì)算機(jī)模擬在長為8、寬為5的長方形內(nèi)隨機(jī)取了N個(gè)點(diǎn)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)落入五環(huán)及其內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為n個(gè)，圓環(huán)半徑為1，則比值P的近似值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)奧運(yùn)五環(huán)所占的面積為S1，矩形的面積為S＝8×5＝40. 由在長方形內(nèi)隨機(jī)取了N個(gè)點(diǎn)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)落入五環(huán)及其內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為n個(gè)， 根據(jù)面積比的幾何概型概率公式得＝， 則S1＝S＝，

9、單獨(dú)五個(gè)環(huán)的面積為S3＝5π×12＝5π， 所以奧運(yùn)會(huì)五環(huán)所占面積與單獨(dú)五個(gè)環(huán)面積和的比值為P＝＝. (2)(2018·延安模擬)某廣播電臺(tái)只在每小時(shí)的整點(diǎn)和半點(diǎn)開始播送新聞，時(shí)長均為5分鐘，則一個(gè)人在不知道時(shí)間的情況下打開收音機(jī)收聽該電臺(tái)，能聽到新聞的概率是________． 答案　 解析　由題意知這是一個(gè)幾何概型， ∵電臺(tái)在每小時(shí)的整點(diǎn)和半點(diǎn)開始播送新聞， ∴事件總數(shù)包含的時(shí)間長度是30， 又新聞時(shí)長均為5分鐘， ∴一個(gè)人在不知道時(shí)間的情況下打開收音機(jī)收聽該電臺(tái)，能聽到新聞的概率是P＝. 熱點(diǎn)三　互斥事件與對立事件 1．事件A，B互斥，那么事件A∪B發(fā)生(即A，

10、B中至少有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 2．在一次試驗(yàn)中，對立事件A和B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但一定有一個(gè)發(fā)生，因此有P(B)＝1－P(A)． 例3　國家射擊隊(duì)的隊(duì)員為在世界射擊錦標(biāo)賽上取得優(yōu)異成績在加緊備戰(zhàn)，經(jīng)過近期訓(xùn)練，某隊(duì)員射擊一次命中7～10環(huán)的概率如下表所示： 命中環(huán)數(shù) 10 9 8 7 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求該射擊隊(duì)員在一次射擊中： (1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率； (2)至少命中8環(huán)的概率； (3)命中不足8環(huán)的概率． 解　記事件“射擊一次，命中k環(huán)”為Ak(k∈N，

11、k≤10)，則事件Ak之間彼此互斥． (1)設(shè)“射擊一次，命中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，那么當(dāng)A9，A10之一發(fā)生時(shí)，事件A發(fā)生，由互斥事件概率的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6. (2)設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”為事件B，那么當(dāng)A8，A9，A10之一發(fā)生時(shí)，事件B發(fā)生，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78. (3)設(shè)“射擊一次命中不足8環(huán)”為事件C，由于事件C與事件B互為對立事件，故P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22. 思維升華　事件的互斥和對立是既有聯(lián)系又

12、有區(qū)別的兩個(gè)概念，要充分利用對立事件是必然有一個(gè)發(fā)生的互斥事件．在判斷這些問題時(shí)，先要判斷兩個(gè)事件是不是互斥事件(即是否不可能同時(shí)發(fā)生)，然后判斷這兩個(gè)事件是不是對立事件(即是否必然有一個(gè)發(fā)生)．在解答與兩個(gè)事件有關(guān)的問題時(shí)一定要仔細(xì)斟酌，全面考慮，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤． 跟蹤演練3　(1)從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，若事件A＝“所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球”，則事件A的對立事件是(　　) A．1個(gè)白球2個(gè)紅球 B．2個(gè)白球1個(gè)紅球 C．3個(gè)都是紅球 D．至少有一個(gè)紅球 答案　C 解析　事件A＝“所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球”，說明有白球，白球的個(gè)數(shù)可能是1或2，事件“1個(gè)

13、白球、2個(gè)紅球”，“2個(gè)白球、1個(gè)紅球”，“至少有一個(gè)紅球”與A都能同時(shí)發(fā)生，既不互斥，也不對立． (2)現(xiàn)有4張卡片，正面分別標(biāo)有1,2,3,4，背面完全相同．將卡片洗勻，背面向上放置，甲、乙二人輪流抽取卡片，每人每次抽取一張，抽取后不放回，甲先抽．若二人約定，先抽到標(biāo)有偶數(shù)的卡片者獲勝，則甲獲勝的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　甲抽取一張卡片獲勝的概率為；甲抽取兩張卡片獲勝的概率為××1＝， 所以甲獲勝的概率為＋＝. 真題體驗(yàn) 1．(2017·全國Ⅱ改編)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的

14、第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為______． 答案　 解析　從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖： 基本事件的總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10， ∴所求概率P＝＝. 2．(2016·全國Ⅰ改編)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是________． 答案　 解析　如圖所示，畫出時(shí)間軸： 小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不

15、超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P＝＝. 3．(2016·北京改編)袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三個(gè)空盒，每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒．重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則下列說法正確的是______． (1)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球； (2)乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多； (3)乙盒中紅球不多于丙盒中紅球； (4)乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多． 答案　(2) 解析　取兩個(gè)球往盒子中放有4種情況： ①紅＋紅，則乙盒中紅球數(shù)加1； ②黑＋黑，則丙盒中黑球數(shù)加1；

16、③紅＋黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數(shù)加1； ④黑＋紅(黑球放入甲盒中)，則丙盒中紅球數(shù)加1. 因?yàn)榧t球和黑球個(gè)數(shù)一樣，所以①和②的情況一樣多．③和④的情況完全隨機(jī)，③和④對(2)中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響．①和②出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對(2)中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣．故(2)正確． 4．(2017·江蘇)記函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是________． 答案　 解析　設(shè)事件“在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D”為事件A， 由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3， ∴D＝

17、[－2,3]． 如圖，區(qū)間[－4,5]的長度為9，定義域D的長度為5， ∴P(A)＝. 押題預(yù)測 1．將一顆骰子拋擲兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則函數(shù)y＝mx3－nx＋1在[1， ＋∞)上為增函數(shù)的概率是(　　) A. B. C. D. 押題依據(jù)　古典概型是高考考查概率問題的核心，考查頻率很高．古典概型和函數(shù)、方程、不等式、向量等知識(shí)的交匯是高考命題的熱點(diǎn)． 答案　B 解析　將一顆骰子拋擲兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)(m，n)的所有事件為(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36個(gè)．由題意可知，函數(shù)y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以y′＝2mx2－

18、n≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m≥n，則不滿足條件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6種情況，所以滿足條件的共有30種情況，則函數(shù)y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增的概率為＝. 2．已知集合M＝{x|－1

19、x<4，x∈R}＝(－1,4)，N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝[1,2]，所以M∩N＝[1,2]，所以“x∈(M∩N)”的概率是＝. 3．在一種游戲規(guī)則中規(guī)定，要將一枚質(zhì)地均勻的銅板扔到一個(gè)邊長為8的小方塊上(銅板的直徑是4)，若銅板完整地扔到小方塊上即可晉級．現(xiàn)有一人把銅板扔在小方塊上，則晉級的概率P為(　　) A. B. C. D. 押題依據(jù)　與面積有關(guān)的幾何概型問題是高考考查的重點(diǎn)，常以圓、三角形、四邊形等幾何圖形為載體，在高考中多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等偏下． 答案　D 解析　由題意分析知，銅板要完整地落在小方塊上，則銅板圓心到小方塊各邊的最短距離不小于銅

20、板半徑， 所以晉級的概率P＝＝. A組　專題通關(guān) 1．(2018·全國Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 答案　B 解析　由題意可知不用現(xiàn)金支付的概率為1－0.45－0.15＝0.4. 2．(2018·安慶模擬)中國人民銀行發(fā)行了2018中國戊戌(狗)年金銀紀(jì)念幣一套，如圖所示是一枚3克圓形金質(zhì)紀(jì)念幣，直徑18 mm，小米同學(xué)為了計(jì)算圖中裝飾狗的面積，他用1枚針向紀(jì)念幣上投擲500次，其中針尖恰有150次落在裝飾狗的身體上，據(jù)此可

21、估計(jì)裝飾狗的面積大約是 A. mm2 B. mm2 C. mm2 D. mm2 答案　B 解析　由古典概型概率公式， 得落在裝飾狗的身體上的概率為， 由幾何概型概率公式， 得落在裝飾狗的身體上的概率為， 所以＝， 所以S＝ mm2. 3．(2018·全國Ⅲ)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為(　　) A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 答案　D 解析　設(shè)2名男同學(xué)為a，b,3名女同學(xué)為A，B，C，從中選出兩人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b

22、，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10種，而都是女同學(xué)的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3種，故所求概率為＝0.3. 4．(2018·大慶質(zhì)檢)在古代，直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．三國時(shí)期吳國數(shù)學(xué)家趙爽用“弦圖”(如圖)證明了勾股定理，證明方法敘述為：“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以勾股之差自相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)，亦成弦實(shí)．”這里的“實(shí)”可以理解為面積．這個(gè)證明過程體現(xiàn)的是這樣一個(gè)等量關(guān)系：“兩條直角邊的乘積是兩個(gè)全等直角三角形的面積的和(朱實(shí)二)，四個(gè)全等的直角三角形的面積的和(朱實(shí)四)加上中間小正方

23、形的面積(黃實(shí))等于大正方形的面積(弦實(shí))”．若弦圖中“弦實(shí)”為16，“朱實(shí)一”為2，現(xiàn)隨機(jī)向弦圖內(nèi)投入一粒黃豆(大小忽略不計(jì))，則其落入小正方形內(nèi)的概率為(　　) A．1－ B. C. D．1－ 答案　D 解析　∵弦圖中“弦實(shí)”為16，“朱實(shí)一”為2， ∴大正方形的面積為16，一個(gè)直角三角形的面積為2. 設(shè)“勾”為x，“股”為y，則 解得x2＝4或x2＝12. ∵x

24、樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過2秒的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時(shí)刻為X，Y，X，Y相互獨(dú)立，由題意可知如圖所示．兩串彩燈第一次亮的時(shí)間相差不超過2秒，即|X－Y|≤2，表示的區(qū)域如圖陰影部分所示， 所以所求的概率為 P(|X－Y|≤2)＝ ＝ ＝＝. 6．(2018·湖南省長沙市雅禮中學(xué)、河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)聯(lián)考)某景區(qū)在開放時(shí)間內(nèi)，每個(gè)整點(diǎn)時(shí)會(huì)有

25、一趟觀光車從景區(qū)入口發(fā)車，某人上午到達(dá)景區(qū)入口，準(zhǔn)備乘坐觀光車，則他等待時(shí)間不多于10分鐘的概率為________． 答案　 解析　由題意可知，此人在50分到整點(diǎn)之間的10分鐘內(nèi)到達(dá)，等待時(shí)間不多于10分鐘，所以概率P＝＝. 7．(2016·江蘇)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是________． 答案　 解析　由題意可知，基本事件共有36個(gè)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，

26、(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中滿足點(diǎn)數(shù)之和小于10的有30個(gè)． 故所求概率為P＝＝. 8．(2018·咸陽模擬)一只蚊子在一個(gè)正方體容器中隨機(jī)飛行，當(dāng)蚊子在該正方體的內(nèi)切球中飛行時(shí)屬于安全飛行，則這只蚊子安全飛行的概率是________． 答案　 解析　設(shè)正方體的棱長為2a，其體積V1＝3＝8a3， 內(nèi)切球直徑為2a，故半徑R

27、＝a， 其體積V2＝πR3＝πa3， 利用幾何概型概率公式并結(jié)合題意可知，這只蚊子安全飛行的概率是P＝＝＝. 9．(2018·天津)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng)． (1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？ (2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作． ①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果； ②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率． 解　(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級的學(xué)生

28、志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人． (2)①從抽取的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種． ②由①，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同

29、學(xué)來自同一年級的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種． 所以事件M發(fā)生的概率P(M)＝. 10．(2018·北京海淀區(qū)模擬)某中學(xué)為了解高二年級中華傳統(tǒng)文化經(jīng)典閱讀的整體情況，從高二年級隨機(jī)抽取10名學(xué)生進(jìn)行了兩輪測試，并把兩輪測試成績的平均分作為該名學(xué)生的考核成績(單位：分)．記錄的數(shù)據(jù)如下： 1號(hào) 2號(hào) 3號(hào) 4號(hào) 5號(hào) 6號(hào) 7號(hào) 8號(hào) 9號(hào) 10號(hào) 第一輪測試成績 96 89 88 88 92 90 87 90 92 90 第二輪測試成績 90 90 90 88 88 87 9

30、6 92 89 92 (1)從該校高二年級隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生考核成績大于等于90分的概率； (2)從考核成績大于等于90分的學(xué)生中再隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，求這兩名同學(xué)兩輪測試成績均大于等于90分的概率； (3)記抽取的10名學(xué)生第一輪測試的平均數(shù)和方差分別為1，s，考核成績的平均數(shù)和方差分別為2，s，試比較1與2，s與s的大?。?只需寫出結(jié)論) 解　(1)這10名學(xué)生的考核成績(單位：分)分別為 93,89.5,89,88,90,88.5,91.5,91,90.5,91. 其中大于等于90分的有1號(hào)、5號(hào)、7號(hào)、8號(hào)、9號(hào)、10號(hào)，共6人． 所以樣本中學(xué)生考核

31、成績大于等于90分的頻率是＝. 所以從該校高二年級隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生考核成績大于等于90分的概率為0.6. (2)設(shè)事件A為“從考核成績大于等于90分的學(xué)生中任取2名同學(xué)，這2名同學(xué)兩輪測試成績均大于等于90分”， 由(1)知，考核成績大于等于90分的學(xué)生共6人，其中兩輪測試成績均大于等于90分的學(xué)生有1號(hào)，8號(hào)，10號(hào)，共3人． 因此，從考核成績大于等于90分的學(xué)生中任取2名同學(xué)， 包含(1號(hào)，5號(hào))、(1號(hào)，7號(hào))、(1號(hào)，8號(hào))、(1號(hào)，9號(hào))、(1號(hào)，10號(hào))、(5號(hào)，7號(hào))、(5號(hào)，8號(hào))、(5號(hào)，9號(hào))、(5號(hào)，10號(hào))、(7號(hào)，8號(hào))、(7號(hào)，9號(hào))、(7號(hào)

32、，10號(hào))、(8號(hào)，9號(hào))、(8號(hào)，10號(hào))、(9號(hào)，10號(hào))，共15個(gè)基本事件， 而事件A包含(1號(hào)，8號(hào))、(1號(hào)，10號(hào))、(8號(hào)，10號(hào))，共3個(gè)基本事件， 所以P(A)＝＝. (3)1＝2，s>s. B組　能力提高 11．在擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)中，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事件A∪發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)有6種可能結(jié)果，依題意有P(A)＝＝，P(B)＝＝， ∴P()＝1－P(B)＝1－＝. ∵表示“出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件，因此事件A與互斥，從而P(A∪)＝

33、P(A)＋P()＝＋＝. 12．某同學(xué)用“隨機(jī)模擬方法”計(jì)算曲線y＝ln x與直線x＝e，y＝0所圍成的曲邊三角形的面積時(shí)，用計(jì)算機(jī)分別產(chǎn)生了10個(gè)在區(qū)間[1，e]上的均勻隨機(jī)數(shù)xi和10個(gè)在區(qū)間[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)yi(i∈N*,1≤i≤10)，其數(shù)據(jù)如下表的前兩行. x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y 0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10 ln x 0.92 0.01 0.64 0.20 0.92

34、 0.77 0.64 0.67 0.31 0.80 由此可得這個(gè)曲邊三角形面積的一個(gè)近似值是(　　) A.(e－1) B.(e－1) C.(e＋1) D.(e＋1) 答案　A 解析　由表可知，向矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)拋擲10個(gè)點(diǎn)，其中有6個(gè)點(diǎn)在曲邊三角形內(nèi)，其頻率為＝. ∵矩形區(qū)域的面積為e－1， ∴曲邊三角形面積的近似值為(e－1)． 13．連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ為銳角的概率是________． 答案　 解析　由題意得，連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m，n， 所組成的向量(m，n)的個(gè)數(shù)為3

35、6， 由于向量(m，n)與向量(1，－1)的夾角θ為銳角， 所以(m，n)·(1，－1)>0， 即m>n，滿足題意的情況如下： 當(dāng)m＝2時(shí)，n＝1； 當(dāng)m＝3時(shí)，n＝1,2； 當(dāng)m＝4時(shí)，n＝1,2,3； 當(dāng)m＝5時(shí)，n＝1,2,3,4； 當(dāng)m＝6時(shí)，n＝1,2,3,4,5，共15種， 故所求事件的概率為＝. 14．(2018·山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)模擬)為了解中學(xué)生課余觀看熱門綜藝節(jié)目“爸爸去哪兒”是否與性別有關(guān)，某中學(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取了n人進(jìn)行問卷調(diào)查．調(diào)查結(jié)果表明：女生中喜歡觀看該節(jié)目的占女生總?cè)藬?shù)的，男生喜歡看該節(jié)目的占男生總?cè)藬?shù)的.隨后，該小組

36、采用分層抽樣的方法從這n份問卷中繼續(xù)抽取了5份進(jìn)行重點(diǎn)分析，知道其中喜歡看該節(jié)目的有3人． (1)現(xiàn)從重點(diǎn)分析的5人中隨機(jī)抽取了2人進(jìn)行現(xiàn)場調(diào)查，求這兩人都喜歡看該節(jié)目的概率； (2)若有99%的把握認(rèn)為“喜歡看該節(jié)目與性別有關(guān)”，則參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)n至少為多少． 參考數(shù)據(jù)： P(K2≥k0) 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 解　(1)記重點(diǎn)分析的5人中喜歡看該節(jié)目的為a，b，c，不喜歡看該節(jié)目的為d，e，從5人中隨機(jī)抽取2人，

37、所有可能的結(jié)果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10種，則這兩人都喜歡看該節(jié)目的有3種， ∴P＝，即這兩人都喜歡看該節(jié)目的概率為. (2)∵進(jìn)行重點(diǎn)分析的5人中，喜歡看該節(jié)目的有3人，故喜歡看該節(jié)目的總?cè)藬?shù)為n，不喜歡看該節(jié)目的總?cè)藬?shù)為n.設(shè)這次調(diào)查問卷中女生總?cè)藬?shù)為a，男生總?cè)藬?shù)為b，a，b∈N*，則由題意可得2×2列聯(lián)表如下： 喜歡看該節(jié)目的人數(shù) 不喜歡看該節(jié)目的人數(shù) 總計(jì) 女生 a a a 男生 b b b 總計(jì) n n n 解得a＝n，b＝n， ∴正整數(shù)n是25的倍數(shù)，設(shè)n＝25k，k∈N*， 則a＝12k，a＝4k，b＝3k，b＝6k，則K2＝＝k. 由題意得k≥6.635，解得k≥1.59， ∵k∈N*，∴kmin＝2，故nmin＝50. 16