《2021版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第1講 函數(shù)及其表示教學案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第1講 函數(shù)及其表示教學案 理 北師大版（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講　函數(shù)及其表示 一、知識梳理 1．函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 兩集合A，B 設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集 設(shè)A，B是兩個非空的集合 對應(yīng)關(guān)系f：A→B 如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng) 如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng) 名稱 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù) 稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個映射 記法 y＝f(x)(x∈A) 對應(yīng)f：A→B是一個映射 2.函數(shù)的有關(guān)概念 (1)函數(shù)的定義

2、域、值域． 在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集． (2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系． (3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)． (4)函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法． 3．分段函數(shù) 若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)． [注意]　分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義

3、域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集． 常用結(jié)論 幾種常見函數(shù)的定義域 (1)f(x)為分式型函數(shù)時，定義域為使分母不為零的實數(shù)集合． (2)f(x)為偶次根式型函數(shù)時，定義域為使被開方式非負的實數(shù)的集合． (3)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合． (4)若f(x)＝x0，則定義域為{x|x≠0}． (5)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1. (6)正切函數(shù)y＝tan x的定義域為. 二、教材衍化 1．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x＋1是相等函數(shù)的是(　　) A．y＝()2　　　 B．y＝＋1 C．y＝＋1 D．y＝＋1 解析：選

4、B.對于A，函數(shù)y＝()2的定義域為{x|x≥－1}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于B，定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，是相等函數(shù)；對于C，函數(shù)y＝＋1的定義域為{x|x≠0}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于D，定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)，故選B. 2．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的定義域是________；值域是________；其中只有唯一的x值與之對應(yīng)的y值的范圍是________． 答案：[－3，0]∪[2，3]　[1，5]　[1，2)∪(4，5] 3．函數(shù)y＝·的定義域是________． 解析：?x≥2. 答案

5、：[2，＋∞) 一、思考辨析 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝a最多有2個交點．(　　) (2)函數(shù)f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t是相等函數(shù)．(　　) (3)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是相等函數(shù)．(　　) (4)若集合A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，則對應(yīng)關(guān)系f是從A到B的映射．(　　) (5)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的．(　　) (6)分段函數(shù)的定義域等于各段定義域的并集，值域等于各段值域的并集．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√

6、 二、易錯糾偏 (1)對函數(shù)概念理解不透徹； (2)對分段函數(shù)解不等式時忘記范圍； (3)換元法求解析式，反解忽視范圍． 1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列從P到Q的各對應(yīng)關(guān)系f中不是函數(shù)的是________．(填序號) ①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝. 解析：對于③，因為當x＝4時，y＝×4＝?Q，所以③不是函數(shù)． 答案：③ 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為________． 解析：因為f(x)是分段函數(shù)，所以f(x)≥1應(yīng)分段求解．當x<1時，f(x)≥1?(x＋1)2≥1?x

7、≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1；當x≥1時，f(x)≥1?4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10.綜上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]． 答案：(－∞，－2]∪[0，10] 3．已知f()＝x－1，則f(x)＝________． 解析：令t＝，則t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)． 答案：x2－1(x≥0) 　　　　　　函數(shù)的定義域(多維探究) 角度一　求函數(shù)的定義域 (1)(2020·安徽宣城八校聯(lián)考)函數(shù)y＝的定義域為(　　) A．(－1，3]　　　　　 B．(－1，0)∪(0，

8、3] C. [－1，3] D．[－1，0)∪(0，3] (2)(2020·華南師范大學附屬中學月考)已知函數(shù)f(x)的定義域是[－1，1]，則函數(shù)g(x)＝的定義域是　(　　) A．[0，1] B．(0，1) C．[0，1) D．(0，1] 【解析】　(1)要使函數(shù)有意義，x需滿足解得－10且1－x≠1，解得x<1且x≠0，所以函數(shù)g(x)的定義域為(0，1)，故選B. 【答案】　(1)B　

9、(2)B 角度二　已知函數(shù)的定義域求參數(shù) 若函數(shù)y＝的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B． C. D． 【解析】　由ax2－4ax＋2＞0恒成立， 得a＝0或解得0≤a＜. 【答案】　D 函數(shù)定義域的求解策略 (1)求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題．在解不等式組取交集時可借助于數(shù)軸，要特別注意端點值的取舍． (2)求抽象函數(shù)的定義域：①若y＝f(x)的定義域為(a，b)，則解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定義域；②若y＝f(g(x))的定義域為(a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得y＝f(x)的定義

10、域． (3)已知函數(shù)定義域求參數(shù)范圍，可將問題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的不等式(組)，然后求解． [提醒]　(1)求函數(shù)定義域時，對函數(shù)解析式先不要化簡． (2)求出定義域后，一定要將其寫成集合或區(qū)間的形式．　 1．y＝ －log2(4－x2)的定義域是(　　) A．(－2，0)∪(1，2)　　　 B．(－2，0]∪(1，2) C．(－2，0)∪[1，2) D．[－2，0]∪[1，2] 解析：選C.要使函數(shù)有意義，則解得x∈(－2，0)∪[1，2)， 即函數(shù)的定義域是(－2，0)∪[1，2)． 2．已知函數(shù)y＝f(x2－1)的定義域為[－，]，則函數(shù)y＝f(x)的定義域為____

11、____． 解析：因為y＝f(x2－1)的定義域為[－，]，所以x∈[－，]，x2－1∈[－1，2]，所以y＝f(x)的定義域為[－1，2]． 答案：[－1，2] 3．若函數(shù)y＝的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：因為函數(shù)y＝的定義域為R， 所以mx2＋4mx＋3≠0， 所以m＝0或即m＝0或0＜m＜，所以實數(shù)m的取值范圍是. 答案： 　　　　　　求函數(shù)的解析式(師生共研) (1)已知二次函數(shù)f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)；　 (2)已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)． 【解】　(1)法一：待定系數(shù)

12、法 因為f(x)是二次函數(shù)，所以設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c. 因為f(2x＋1)＝4x2－6x＋5， 所以解得 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． 法二：換元法 令2x＋1＝t(t∈R)，則x＝， 所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)， 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． 法三：配湊法 因為f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． (2)解方

13、程組法 由f(－x)＋2f(x)＝2x，① 得f(x)＋2f(－x)＝2－x，② ①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x. 即f(x)＝. 故f(x)的解析式是f(x)＝(x∈R)． 求函數(shù)解析式的4種方法 (1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，得f(x)的表達式． (2)換元法：已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍． (3)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法． (4)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達式，可根

14、據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)． [提醒]　求解析式時要注意新元的取值范圍．　 1．已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，則f(x)＝________． 解析：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx. 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1， 所以解得a＝b＝. 所以f(x)＝x2＋x(x∈R)． 答案：x2＋x(x∈R) 2．已知函

15、數(shù)f＝lg x，則f(x)＝________． 解析：令＋1＝t，得x＝，則f(t)＝lg ，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg (x>1)． 答案：lg (x>1) 3．已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)＋f＝3x，則f(x)＝________． 解析：因為2f(x)＋f＝3x，① 把①中的x換成，得2f＋f(x)＝.② 聯(lián)立①②可得 解此方程組可得f(x)＝2x－(x≠0)． 答案：2x－(x≠0) 4．已知函數(shù)f(＋1)＝x＋2，則f(x)的解析式為________． 解析：法一(換元法)：設(shè)t＝＋1，則x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有 f(t

16、)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故f(x)＝x2－1，x≥1. 法二(配湊法)：因為x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1， 所以f(＋1)＝(＋1)2－1，＋1≥1， 即f(x)＝x2－1，x≥1. 答案：f(x)＝x2－1(x≥1) 　　　　　　分段函數(shù)(多維探究) 角度一　分段函數(shù)求值 (1)(2020·江西南昌一模)設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(5)的值為(　　) A．－7　　　　　　　　　 B．－1 C．0 D． (2)若函數(shù)f(x)＝則f(f(－9))＝________． 【解析】　(1)f(5)＝f(5－3)＝f(

17、2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝.故選D. (2)因為函數(shù)f(x)＝ 所以f(－9)＝lg 10＝1，所以f(f(－9))＝f(1)＝－2. 【答案】　(1)D　(2)－2 角度二　已知函數(shù)值求參數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(m)＝3，則實數(shù)m的值為________． 【解析】　當m≥2時，由m2－1＝3，得m2＝4，解得m＝2；當0

18、＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)(一題多解)(2020·安徽皖南八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝則滿足f(2x＋1)0. 當0

19、 要使得f(2x＋1)3， 即不等式f(2x＋1)3.故選B. 【答案】　(1)D　(2)B 分段函數(shù)問題的求解思路 (1)根據(jù)分段函數(shù)的解析式，求函數(shù)值的解題思路 先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值． (2)已知分段函數(shù)的函數(shù)值，求參數(shù)值的解題思路 先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，

20、構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程．然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗． (3)已知分段函數(shù)的函數(shù)值滿足的不等式，求自變量取值范圍的解題思路 依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結(jié)果并起來．　 1．(2020·河南鄭州質(zhì)量測評)已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)≤1的解集為(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，0]∪(1，2] C．[0，2] D．(－∞，0]∪[1，2] 解析：選D.當x≥1時，不等式f(x)≤1為log2x≤1，即log2x≤log22， 因為函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是增加的， 所以1≤x≤2； 當x<1時，不等式f(x)≤1為≤1，

21、所以－1≤0，所以≤0，所以≥0， 所以x≤0或x>1(舍去)． 所以f(x)≤1的解集是(－∞，0]∪[1，2]．故選D. 2．已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＝3，則f(a－2)＝________． 解析：當a＞0時，若f(a)＝3，則log2a＋a＝3，解得a＝2(滿足a＞0)；當a≤0時，若f(a)＝3，則4a－2－1＝3，解得a＝3，不滿足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－. 答案：－ 3．(2020·閩粵贛三省十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x－2)＝則f(2)＝________． 解析：f(2)＝f(4－2)＝6－4＝2. 答案：2

22、　分類討論思想在分段函數(shù)中的應(yīng)用 設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f>1的x的取值范圍是________． 【解析】　當x>0時，f(x)＝2x>1恒成立，當x－>0，即x>時，f＝2x－>1，當x－≤0，即0，則不等式f(x)＋f>1恒成立．當x≤0時，f(x)＋f＝x＋1＋x＋＝2x＋>1，所以－

23、分段函數(shù)，分段解決”，即應(yīng)用分類討論思想解決．　 　設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)<1，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：若a<0，則f(a)<1?－7<1?<8，解得a>－3，故－30時，每一個x的值對應(yīng)兩個不同的y值，因此不是函數(shù)圖象；②中當x＝x0時，y的值有兩個，因此不是函數(shù)圖象；③④中每一個x的值對應(yīng)唯一

24、的y值，因此是函數(shù)圖象．故選B. 2．函數(shù)f(x)＝＋的定義域為(　　) A．[0，2) B．(2，＋∞) C．[0，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 解析：選C.由題意得解得x≥0，且x≠2. 3．(2020·延安模擬)已知f＝2x－5，且f(a)＝6，則a等于(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選A.令t＝x－1，則x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，則4a－1＝6，解得a＝. 4．下列函數(shù)中，同一個函數(shù)的定義域與值域相同的是(　　) A．y＝ B．y＝ln x C．y＝ D．y＝ 解析：選D.對于A，定義域為

25、[1，＋∞)，值域為[0，＋∞)，不滿足題意；對于B，定義域為(0，＋∞)，值域為R，不滿足題意；對于C，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域為(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不滿足題意；對于D，y＝＝1＋，定義域為(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)． 5．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(1))＝(　　) A．－ B．2 C．4 D．11 解析：選C.因為f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.故選C. 6．已知函數(shù)y＝f(2x－1)的定義域是[0，1]，則函數(shù)的定義域是(　　) A．[1，2] B．(－1，1] C. D

26、．(－1，0) 解析：選D.由f(2x－1)的定義域是[0，1]，得0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1，所以函數(shù)f(x)的定義域是[－1，1]，所以要使函數(shù)有意義，需滿足解得－1

27、；若f(x)＝x＋2，則f(2 018x)＝2 018x＋2，而2 018f(x)＝2 018x＋2 018×2，故f(x)＝x＋2不滿足f(2 018x)＝2 018f(x)；若f(x)＝－2x，則f(2 018x)＝－2×2 018x＝2 018×(－2x)＝2 018f(x)．故選C. 8．設(shè)x∈R，定義符號函數(shù)sgn x＝則(　　) A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x| C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x 解析：選D.當x＜0時，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，

28、B，C，故選D. 9．若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，則g(x)＝________． 解析：設(shè)g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因為g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點， 所以解得所以g(x)＝3x2－2x. 答案：3x2－2x 10．已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值等于________． 解析：因為f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，所以f(a)＝－2<0，故a≤0.依題知a＋1＝－2，解得a＝－3. 答案：－3 11．已知f(x)的定義域為{x|x≠0}，且3f(x)＋5f＝＋1，則函數(shù)f(x)的解

29、析式為________． 解析：用代替3f(x)＋5f＝＋1中的x，得3f＋5f(x)＝3x＋1， 所以①×3－②×5得f(x)＝x－＋(x≠0)． 答案：f(x)＝x－＋(x≠0) 12．設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(f(0))＝________，若f(m)>1，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0；如圖所示，可得f(x)＝的圖象與直線y＝1的交點分別為(0，1)，(e，1)．若f(m)>1，則實數(shù)m的取值范圍是(－∞，0)∪(e，＋∞)． 答案：0　(－∞，0)∪(e，＋∞) [綜合題組練] 1．設(shè)f(x)，g(x)都是定義在實數(shù)

30、集上的函數(shù)，定義函數(shù)(f·g)(x)：對任意的x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝g(x)＝則(　　) A．(f·f)(x)＝f(x) B．(f·g)(x)＝f(x) C．(g·f)(x)＝g(x) D．(g·g)(x)＝g(x) 解析：選A.對于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝當x>0時，f(x)＝x>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；當x<0時，f(x)＝x2>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；當x＝0時，(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02，因此對任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正確，選A. 2．(2020·河南鄭州第二次質(zhì)量

31、檢測)高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函數(shù)f(x)＝，則函數(shù)y＝[f(x)]的值域為(　　) A．{0，1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2} 解析：選D.f(x)＝＝＝1＋， 因為2x>0，所以1＋2x>1，所以0<<1， 則0<<2，所以1<1＋<3， 即1

32、y＝[f(x)]的值域為{1，2}，故選D. 3．具有性質(zhì)f＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù)，給出下列函數(shù)：①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝其中滿足“倒負”變換的函數(shù)是(　　) A．①③ B．②③ C．①②③ D．①② 解析：選A.對于①，f＝－x＝－f(x)，滿足題意； 對于②，f＝＋x＝f(x)，不滿足題意； 對于③，f＝ 即f＝ 故f＝－f(x)，滿足題意． 綜上可知，滿足“倒負”變換的函數(shù)是①③.故選A. 4．已知函數(shù)f(x)＝的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由題意知y＝ln x(x≥1)的值域為[0，＋∞)，故要使f(x)的值域為R，則必有y＝(1－2a)x＋3a為增函數(shù)，且1－2a＋3a≥0，所以1－2a＞0，且a≥－1，解得－1≤a＜. 答案： 16