《(江蘇專用)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第43講 不等式恒成立問題學(xué)案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第43講 不等式恒成立問題學(xué)案(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第43講 不等式恒成立問題
考試要求 1.不等式包含兩個元的情況(C級要求);2.不等式恒成立問題涉及一元二次不等式、線性規(guī)劃、基本不等式恒成立問題.解決問題的本質(zhì)是轉(zhuǎn)化成求最值問題.
診 斷 自 測
1.設(shè)y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若t在[-2,2]上變化時y恒取正值,則實數(shù)x的取值范圍為________.
解析 設(shè)f(t)=y(tǒng)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1, t∈[-2,2],
問題轉(zhuǎn)化為:f(t)>0對t∈[-2,2]恒成立
?
?
?0<x<或x>8.
故實數(shù)x的取值范圍是∪(8,+∞).
答案 ∪(
2、8,+∞)
2.不等式<1對一切實數(shù)x恒成立,則實數(shù)m的取值范圍為________.
解析 由4x2+6x+3=+>0,對一切實數(shù)x恒成立,從而原不等式等價于
2x2+2mx+m<4x2+6x+3(x∈R),
即2x2+(6-2m)x+(3-m)>0對一切實數(shù)x恒成立.
則Δ=(6-2m)2-8(3-m)<0,
解得1<m<3,
故實數(shù)m的取值范圍是(1,3).
答案 (1,3)
3.(一題多解)已知f(x)=>0在x∈上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為________.
解析 法一 ∵ f(x)=>0對 x∈恒成立
? x2+2x+a>0對 x∈恒成立.
設(shè)g(x)=
3、x2+2x+a,x∈,
問題轉(zhuǎn)化為:g(x)min>0
g(x)= x2+2x+a=(x+1)2+a-1, x∈,
∴g(x)在上是增函數(shù).
∴g(x)min=g(1)=3+a,
∴ 3+a>0? a>-3.
即所求實數(shù)a的取值范圍為(-3,+∞).
法二 ∵ f(x)=>0對 x∈恒成立
? x2+2x+a>0 對x∈恒成立
? a>-(x2+2x)對x∈恒成立
設(shè)φ(x)= -(x2+2x),x∈.
問題轉(zhuǎn)化為:a>φ(x)max.
φ(x)= -(x2+2x)=-(x+1)2+1,x∈.
∴φ(x)在上是減函數(shù).
∴ φ(x)max= φ(1)=-3,
∴
4、a>-3,
即所求實數(shù)a的取值范圍為(-3,+∞).
答案 (-3,+∞)
4.若定義在(0,+∞)的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(y)=f(xy),且x>1時不等式f(x)<0成立,若不等式f()≤f()+f(a)對于任意x,y∈(0,+∞)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析 設(shè)01,有f <0.這樣f(x2)-f(x1)=f -f(x1)=f +f(x1)-f(x1)=f <0,則f(x2)0,
5、所以a的取值范圍是(0,].
答案 (0,]
知 識 梳 理
1.恒成立問題轉(zhuǎn)化成最值處理
a>f(x)對x∈D恒成立?a>f(x)max,
a<f(x)對x∈D恒成立? a<f(x)min.
2.恒成立問題處理方法:
圖象法、最值法、參變分離法、變換主元法等.
3.不等式的恒成立、能成立、恰成立問題
(1)恒成立問題:若f(x)在區(qū)間D上存在最小值,則不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立?f(x)min>A(x∈D);
若f(x)在區(qū)間D上存在最大值,則不等式f(x)
6、在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)>A成立?f(x)max>A(x∈D);
若f(x)在區(qū)間D上存在最小值,則在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)A恰在區(qū)間D上成立?f(x)>A的解集為D;
不等式f(x)2x+a-1在a∈[-1,1]上恒成立.
設(shè)f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,則f(a)是a的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)
7、,
要使f(a)>0在a∈[-1,1]上恒成立,則須滿足
??x>2或x<0,
故實數(shù)的取值范圍是(-∞,0)∪(2,+∞).
規(guī)律方法 設(shè)f(x)=ax+b,
f(x)>0在x∈上恒成立?
f(x) <0在x∈上恒成立?
考點二 一元二次不等式恒成立問題
【例2】 已知x∈時,不等式1+2x+(a-a2)·4x>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
解 設(shè)2x=t, ∵x∈,∴t∈,
原不等式可化為:a-a2>.
要使上式對t∈恒成立,只需
a-a2>,t∈,
=-+.
由∈,∴=-,
∴a-a2>-,
即4a2-4a-3<0,
從而 -<a<.即實數(shù)a的取值范
8、圍是.
考點三 高次不等式恒成立問題
【例3】 已知f(x)=-x3+ax,其中a∈R,g(x)=-x,且f(x)<g(x)在x∈上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
解 f(x)<g(x)在x∈上恒成立
?-x3+ax+x<0 對x∈恒成立
? a<x2-x對x∈恒成立
設(shè)h(x)= x2-x,x∈,
問題轉(zhuǎn)化為:a<h(x) min
h′(x)=2x-=
由h′(x)=0,得x=,
當(dāng)x∈時,h′(x) <0,h(x)在遞減.
當(dāng)x∈時,h′(x) >0,h(x)在遞增.
∴ h(x)在x=時取最小值,h(x) min=-,
∴a<-.即a的取值范圍是.
考點四 絕對
9、值不等式恒成立問題
【例4】 已知f(x)=x-2,若當(dāng)x∈時,恒有f(x)<0,求實數(shù)a的取值范圍.
解 (ⅰ)當(dāng)x=0時,顯然f(x)<0成立,此時a∈R.
(ⅱ)當(dāng)x∈時,由f(x)<0,
可得x-<a<x+,
令 g(x)=x-,(x∈);h(x)=x+(x∈),
則g′(x)=1+>0,∴g(x)是單調(diào)遞增,可知max=g(1)=-1,
h′(x)=1-<0,∴h(x)是單調(diào)遞減,可知min=h(1)=3,
此時a的范圍是(-1,3).
綜合(ⅰ)(ⅱ)得a的范圍是(-1,3).
規(guī)律方法 (1)當(dāng)f(x)含有絕對值時,先去掉絕對值號,
(2)這種思路是:首先是
10、——分離變量,其次用——極端值原理.把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,若f(x)不存在最值,可求出f(x)的范圍,問題同樣可以解出.
考點五 線性規(guī)劃恒成立問題
【例5】 已知實數(shù)x,y滿足條件若不等式m(x2+y2)≤(x+y)2 恒成立,則實數(shù)m的最大值是________.
解析 ∵m(x2+y2)≤(x+y)2恒成立,則m≤=1+=1+,其中k=∈,當(dāng)k=時,1+取最小值為,則實數(shù)m的最大值是.
答案
考點六 基本不等式恒成立問題
【例6】 已知對滿足x+y+4=2xy的任意正實數(shù)x,y,都有x2+2xy+y2-ax-ay+1≥0,則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析 x
11、+y+4=2xy≤2×,解得x+y≥4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=2時取“=”.
∵(x+y)2-a(x+y)+1≥0,
∴(x+y)+≥a.
∵(x+y)+≥,則a≤.
答案
一、必做題
1.已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,則m的最大值等于________.
解析 原不等式恒成立等價于m≤(2a+b)的最小值,而(2a+b)=5++≥5+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號,所以m≤9,即m的最大值為9.
答案 9
2.設(shè)變量x,y滿足約束條件且不等式x+2y≤14恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,顯然a≥8,否
12、則可行域無意義.由圖可知x+2y在點(6,a-6)處取得最大值2a-6,由2a-6≤14得a≤10.故a的取值范圍是[8,10].
答案 [8,10]
3.已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2+2m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是________.
解析 由x>0,y>0,且+=1,得x+2y=(x+2y)·=4++≥4+2=8.當(dāng)且僅當(dāng)=時,即x=2y時取等號.又+=1,此時x=4,y=2,所以(x+2y)min=8.要使x+2y>m2+2m恒成立,只需(x+2y)min>m2+2m恒成立,即8>m2+2m,解得-40,y>0,
13、若不等式x3+y3≥kxy(x+y)恒成立,則實數(shù)k的最大值為________.
解析 由題設(shè)知k≤,
∴k≤=+-1恒成立.
∵+-1≥2-1=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時“=”成立,從而k≤1,即k的最大值為1.
答案 1
5.設(shè)k>0,若關(guān)于x的不等式kx+≥5在(1,+∞)上恒成立,則k的最小值為________.
解析 原不等式變?yōu)閗(x-1)+≥5-k.
∵k(x-1)+≥4,∴4≥5-k,
∴()2+4-5≥0,∴(+5)(-1)≥0,
∴k≥1,∴kmin=1.
答案 1
6.已知xln x-(a+1)x+1≥0對任意的x∈恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為______
14、__.
解析 ∵xln x-(a+1)x+1≥0對x∈恒成立,
即a≤ln x-1+在x∈上恒成立,
令F(x)=ln x-1+,F(xiàn)′(x)=,
在x∈上F′(x)<0,在x∈[1,2]上F′(x)>0,
∴F(x)在x=1處取極小值,也是最小值,
即Fmin(x)=F(1)=0,∴a≤0.
答案 (-∞,0]
7.設(shè)存在實數(shù)x∈,使不等式t+>e|ln x|成立,則實數(shù)t的取值范圍是________.
解析 由t+>e|ln x|,得t>e|ln x|-,
設(shè)h(x)=e|ln x|-=
則h(x)∈.
∴當(dāng)t>時,存在實數(shù)x∈使原不等式成立.
答案
8.若不等
15、式x2-2y2≤cx(y-x)對任意滿足x>y>0的實數(shù)x,y恒成立,則實數(shù)c的最大值為________.
解析 由題意可得c≤==,令=t,則0
16、f(2)=4a+2b+c≤
(2+2)2=2恒成立,
∴f(2)=2.
(2)解 ∴4a+c=2b=1,
∴b=,c=1-4a.又f(x)≥x恒成立,即ax2+(b-1)x+c≥0恒成立.∴ a>0,Δ=-4a(1-4a)≤0,解得a=,b=,c=,∴f(x)=x2+x+.
10.已知函數(shù)f(x)=ln x-x+-1,g(x)=-x2+2bx-4.若對任意的x1∈(0,2),x2∈[1,2],不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,求實數(shù)b的取值范圍.
解 問題等價于f(x)在(0,2)上的最小值恒大于或等于g(x)在[1,2]上的最大值.
因為f(x)=ln x-x+-1,
所以
17、f(x)的定義域為(0,+∞),
所以f′(x)=--=.
若f′(x)>0,則x2-4x+3<0,解得12時,g(x)max=g(2)=4b-8.
故問題等價于或
18、
或解第一個不等式組得b<1,解第二個不等式組得1≤b≤,第三個不等式組無解.
綜上所述,b的取值范圍是.
二、選做題
11.已知不等式(ax+3)(x2-b)≤0對任意x∈(0,+∞)恒成立,其中a,b是整數(shù),則a+b的取值的集合為________.
解析 當(dāng)b≤0時,由(ax+3)(x2-b)≤0得到ax+3≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,則a<0,且a·0+3≤0,該式顯然不成立,故b>0. 當(dāng)b>0時,由(ax+3)(x2-b)≤0可設(shè)f(x)=ax+3,g(x)=x2-b,又g(x)的大致圖象如下.
由題意可知再由a,b是整數(shù)得或因此a+b=8或-2,即取值集合為
19、{8,-2}.
答案 {8,-2}
12.已知函數(shù)f(x)=x3-x2+x,y=f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),設(shè)h(x)=ln f′(x),若對于任意的x∈[0,1],不等式h(x+1-t)