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1、2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第7章 第05節(jié) 直接證明與間接證明 Word版含答案 考點(diǎn) 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 直接證明與間接證明 未單獨(dú)考查 命題分析 對(duì)直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數(shù)學(xué)命題的方法，常與函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何等綜合考查. 綜合法 分析法 定義 從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則，通過(guò)演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明，這樣的思維方法稱為綜合法. 從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個(gè)結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個(gè)命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等

2、，這樣的思維方法稱為分析法. 思維 過(guò)程 由因?qū)Ч? 執(zhí)果索因 證題 步驟 P(已知)?P1?P2?…?Pn?Q(結(jié)論) Q(結(jié)論)?Q1?Q2?…?Qn?P(已知) 文字 語(yǔ)言 因?yàn)椤?，所以……或由……，得…? 要證……，只需證……，即證…… 符號(hào) 語(yǔ)言 ? ? 反證法 定義 在證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個(gè)前提下，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說(shuō)明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立．這種證明方法叫作反證法． 證明 步驟 (1)作出否定結(jié)論的假設(shè)； (2)

3、進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾； (3)否定假設(shè)，肯定結(jié)論． 適用 范圍 (1)否定性命題； (2)命題的結(jié)論中出現(xiàn)“至少”、“至多”、“唯一”等詞語(yǔ)的； (3)當(dāng)命題成立非常明顯，而要直接證明所用的理論太少，且不容易說(shuō)明，而其逆否命題又是非常容易證明的； (4)要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況很少. (5)用反證法證明結(jié)論“a＞b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“a＜b”．(　　) (6)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾．(　　) 答案：(1)×　 (2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)× 2．用分析法證明：欲使①A>B，只需②C

4、必要條件 C．充要條件　　　 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　由題意可知，應(yīng)有②?①，故①是②的必要條件． 3．命題“對(duì)于任意角θ，cos4 θ－sin4θ＝cos 2θ”的證明：“cos4 θ－sin4 θ＝(cos2 θ－sin2 θ)(cos2 θ＋sin2 θ)＝cos2 θ－sin2 θ＝cos 2θ”過(guò)程應(yīng)用了(　　) A．分析法　　　 B．綜合法 C．綜合法、分析法綜合使用　　　 D．間接證明法 解析：選B　結(jié)合推理及分析法和綜合法的定義可知，B正確． 4．用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)(　　) A．三個(gè)內(nèi)角都不大于60°

5、 B．三個(gè)內(nèi)角都大于60° C．三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60° D．三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60° 解析：選B　因?yàn)椤爸辽儆幸粋€(gè)”的反面是“一個(gè)也沒有”，所以“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”的否定是“三角形三個(gè)內(nèi)角一個(gè)也沒有不大于60°”，即“三個(gè)內(nèi)角都大于60°”． 5．(教材習(xí)題改編)用分析法證明不等式－＜－(a≥3)時(shí)，最后推出的顯然成立的最簡(jiǎn)不等式為________． 解析：要證－＜－，只需證：＋＜＋，兩邊平方得：＜，兩邊由平方得：0＜2，顯然成立． 答案：0＜2 分析法的應(yīng)用 [明技法] 分析法證題的技巧 (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過(guò)

6、反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件．正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵． (2)證明較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過(guò)綜合法由條件證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證． [提能力] 【典例】 已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c. 求證：＋＝. 證明：要證＋＝， 即證＋＝3也就是＋＝1， 只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需證c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B＝60°， 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2acco

7、s 60°， 即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立． 于是原等式成立． [刷好題] 已知a>0，求證： －≥a＋－2. 證明：要證 －≥a＋－2， 只要證 ＋2≥a＋＋. ∵a>0，故只要證2≥2， 即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2， 從而只要證2≥， 只要證4≥2，即a2＋≥2， 而上述不等式顯然成立，故原不等式成立． 綜合法的應(yīng)用 [明技法] 綜合法證題的思路 [提能力] 【典例】 在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1. (1)求證：a，b，c成等差

8、數(shù)列； (2)若∠C＝，求證：5a＝3b. 證明： (1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2 B， 因?yàn)閟in B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B， 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列． (2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以5a＝3b. [刷好題] (xx·聊城模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖像在交點(diǎn)(0,0)處有公共切線． (1)求a，b的值； (2)證明：f(x)≤g(x)．

9、 (1)解：f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2， 由題意得 解得a＝0，b＝1. (2)證明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x＞－1)． 則h′(x)＝－x2＋x－1＝. 所以h(x)在(－1,0)上為增函數(shù)，在(0，＋∞)上為減函數(shù)． 故h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)． 反證法的應(yīng)用 [明技法] 用反證法證明命題的基本步驟 (1)反設(shè)，設(shè)要證明的結(jié)論的反面成立． (2)歸謬，從反設(shè)入手，通過(guò)推理得出與已知條件或公理、定理矛盾． (3)否定反設(shè)，得出原命題結(jié)論成立． [提能力]

10、【典例】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列． (1)解：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋S1＝2a1＝2，則a1＝1. 又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2， 兩式相減得an＋1＝an，所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列， 所以an＝. (2)證明：假設(shè)存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列，記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(p