《2022年高考總復習文數(shù)（北師大版）講義：第11章 第04節(jié) 變量間的相關關系與統(tǒng)計案例 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022年高考總復習文數(shù)（北師大版）講義：第11章 第04節(jié) 變量間的相關關系與統(tǒng)計案例 Word版含答案（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高考總復習文數(shù)（北師大版）講義：第11章 第04節(jié) 變量間的相關關系與統(tǒng)計案例 Word版含答案 考點 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 線性回歸分析 xx·全國卷Ⅰ·T19·12分 相關系數(shù)、均值、標準差 數(shù)據(jù)分析 獨立性檢驗 xx·全國卷Ⅱ·T18·12分 獨立性檢驗、相互獨立事件的概率、直方圖 數(shù)據(jù)分析 線性回歸方程 xx·全國卷Ⅲ·T18·12分 利用線性回歸方程解決實際問題 數(shù)據(jù)分析 xx·全國卷Ⅰ·T19·12分 回歸直線方程的求法和應用 數(shù)據(jù)分析 命題分析 本節(jié)是高考考查的熱點，主要考查回歸分析，回歸直線方程的求法及應用，獨立性檢驗

2、．多以解答題形式出現(xiàn). (1)最小二乘法：求回歸直線使得樣本數(shù)據(jù)中的點到它的__距離的平方和__最小，即求Q＝(yi－(a＋bxi))2的最小值，而得到回歸直線方程的方法叫最小二乘法． (2)回歸方程：兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．其回歸方程為y＝a＋bx，則 其中，a、b是線性回歸方程的__系數(shù)__． 3．相關系數(shù)r (1)r＝ ＝． (2)當r＞0時，稱兩個變量__正相關__； 當r＜0時，稱兩個變量__負相關__； 當r＝0時，稱兩個變量__不相關__． r的絕對值越接近于1，表明兩個變量之間的線性相關程度越

3、高；r的絕對值越接近于0時，表明兩個變量之間的線性相關程度越低． 4．獨立性檢驗 (1)2×2列聯(lián)表 設A，B為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值，變量A：A1，A2＝；變量B：B1，B2＝，通過觀察得到下表所示的數(shù)據(jù)： 　　B A　　 B1 B2 總計 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d (2)獨立性判斷方法 選取統(tǒng)計量?。。　ˇ?＝　###，用它的大小來檢驗變量之間是否獨立． ①當χ2__≤2.706__時，沒有充分的證據(jù)判定變量A，B有關聯(lián)，可以認為變量A，B是沒有關聯(lián)的； ②當χ2__＞2

4、.706__時，有90%的把握判定變量A，B有關聯(lián)； ③當χ2__＞3.841__時，有95%的把握判定變量A，B有關聯(lián)； ④當χ2__＞6.635__時，有99%的把握判定變量A，B有關聯(lián)． 提醒： 1．辨明三個易誤點 (1)回歸分析中易誤認為樣本數(shù)據(jù)必在回歸直線上，實質(zhì)上回歸直線必過(，)點，可能所有的樣本數(shù)據(jù)點都不在直線上． (2)利用回歸方程分析問題時，所得的數(shù)據(jù)易誤認為準確值，而實質(zhì)上是預測值(期望值)． (3)雖然任何一組不完全相同的數(shù)據(jù)都可以求出回歸直線方程，但只有具有線性相關關系的一組數(shù)據(jù)才能得到有意義的回歸直線方程，求出的方程才具有實際價值． 2．求回歸方程的

5、方法 求解回歸方程的關鍵是確定回歸系數(shù)a，b，因求解b的公式計算量太大，一般題目中給出相關的量，如，，，iyi等，便可直接代入求解．充分利用回歸直線過樣本中心點(，)，即有＝b＋a，可確定a． 1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)相關關系與函數(shù)關系都是一種確定性的關系，也是一種因果關系．(　　) (2)利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關系是否可以用線性關系去表示．(　　) (3)通過回歸方程y＝bx＋a可以估計和觀測變量的取值和變化趨勢．(　　) (4)任何一組數(shù)據(jù)都對應著一個回歸直線方程．(　　) (5)事件X，Y關系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)

6、計算得到的K2的觀測值越大．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 2．(xx·湖北卷)已知變量x和y滿足關系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關．下列結(jié)論中正確的是(　　) A．x與y負相關，x與z負相關 B．x與y正相關，x與z正相關 C．x與y正相關，x與z負相關 D．x與y負相關，x與z正相關 解析：選A　由回歸直線方程定義知，x與y負相關．由y與z正相關，可設其回歸直線為y＝kz＋b，且k＞0，所以x＝－10kz－10b＋10，則x與z負相關． 3．(教材習題改編)已知x，y的取值如下表，從散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系，且回歸方程為y＝

7、0.95x＋a，則a＝(　　) x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 A．3.25　　 B．2.6　　 C．2.2　　 D．0 解析：選B　由已知得＝2，＝4.5，因為回歸方程經(jīng)過點(，)，所以a＝4.5－0.95×2＝2.6． 4．在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是(　　) A．若χ2＞6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺病 B．從獨立性檢驗可知，有99%的把握認為吸煙與患肺病有關時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病 C．若從統(tǒng)計量中求出有95%的把握

8、認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤 D．以上三種說法都不正確 解析：選C　根據(jù)獨立性檢驗的思想知C項正確． 相關關系的判斷 [明技法] 判定兩個變量正、負相關性的方法 (1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關． (2)相關系數(shù)：r＞0時，正相關；r＜0時，負相關． (3)線性回歸方程中：b＞0時，正相關；b＜0時，負相關． [提能力] 【典例】 (1)四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關關系，并求得線性回歸方程，分別得到以下四個結(jié)論： ①y與x負相關且y＝2.347x－

9、6.423； ②y與x負相關且y＝－3.476x＋5.648； ③y與x正相關且y＝5.437x＋8.493； ④y與x正相關且y＝－4.326x－4.578． 其中一定不正確的結(jié)論的序號是(　　) A．①②　　　　　　　 B．②③ C．③④ D．①④ (2)x和y的散點圖如圖所示，則下列說法中所有正確命題的序號為________． ①x，y是負相關關系； ②在該相關關系中，若用y＝c1ec2x擬合時的相關系數(shù)的平方為r，用y＝bx＋a擬合時的相關系數(shù)的平方為r，則r＞r； ③x、y之間不能建立線性回歸方程． 解析：(1)b＞0，正相關；b＜0，負相關． (2)由

10、相關關系定義知①②正確． 答案：(1)D　(2)①② [刷好題] 1．(xx·資陽模擬)在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，并制作成如圖所示的人體脂肪含量與年齡關系的散點圖．根據(jù)該圖，下列結(jié)論中正確的是(　　) A．人體脂肪含量與年齡正相關，且脂肪含量的中位數(shù)等于20% B．人體脂肪含量與年齡正相關，且脂肪含量的中位數(shù)小于20% C．人體脂肪含量與年齡負相關，且脂肪含量的中位數(shù)等于20% D．人體脂肪含量與年齡負相關，且脂肪含量的中位數(shù)小于20% 解析：選B　觀察圖形，可知人體脂肪含量與年齡正相關，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%，故選B． 2

11、．變量X與Y相對應的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對應的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關系數(shù)，則(　　) A．r2＜r1＜0　　　　　　 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1 解析：選C　變量Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關，所以r1＞0；變量V隨U的增大而減小，故V與U負相關，即r2＜0，所以r2＜0＜r1． 線性回歸分析 [析考情] 回歸方程的求解與運

12、用計算量大，主要是通過最小二乘法求解回歸直線方程，并進行相應的估計預測，題型既有小題也有解答題，難度不大，另外非線性回歸分析問題也應引起足夠重視． [提能力] 【典例】 (1)(xx·山東卷)為了研究某班學生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關系，從該班隨機抽取10名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系．設其回歸直線方程為y＝bx＋a.已知i＝225，i＝1 600，b＝4.該班某學生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為(　　) A．160　　 B．163　　 C．166　　 D．170 解析：選C　∵i＝225，∴＝i＝22.5． ∵i＝1 600，∴

13、＝i＝160． 又b＝4，∴a＝－b＝160－4×22.5＝70． ∴回歸直線方程為y＝4x＋70． 將x＝24代入上式得y＝4×24＋70＝166.故選C． (2)(xx·重慶卷)隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長．設某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表： 年份 xx xx xx xx xx 時間代號t 1 2 3 4 5 儲蓄存款y(千億元) 5 6 7 8 10 ①求y關于t的回歸方程y＝bt＋a； ②用所求回歸方程預測該地區(qū)xx年(t＝6)的人民幣儲蓄存款． 解：①列表計算如下： i ti yi t ti

14、yi 1 1 5 1 5 2 2 6 4 12 3 3 7 9 21 4 4 8 16 32 5 5 10 25 50 ∑ 15 36 55 120 這里n＝5，＝i＝＝3，＝i＝＝7.2． 又ltt＝－n2＝55－5×32＝10， lty＝iyi－n＝120－5×3×7.2＝12， 從而b＝＝＝1.2，a＝－b＝7.2－1.2×3＝3.6， 故所求回歸方程為y＝1.2t＋3.6． ②將t＝6代入回歸方程可預測該地區(qū)xx年的人民幣儲蓄存款為y＝1.2×6＋3.6＝10.8(千億元)． [悟技法] 1．回歸直線方程中

15、系數(shù)的2種求法 (1)利用公式，求出回歸系數(shù)b，a． (2)待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點中心求系數(shù)． 2．回歸分析的2種策略 (1)利用回歸方程進行預測：把回歸直線方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值． (2)利用回歸直線判斷正、負相關：決定正相關還是負相關的是回歸系數(shù)r． [刷好題] (xx·全國卷Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值． (xi－)2 (wi－)2

16、 (xi－) (yi－) (wi－) (yi－) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝，＝i． (1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程； (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題： (ⅰ)年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？ (ⅱ)年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？ 附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v

17、1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為β＝，α＝－β． 解：(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型． (2)令w＝，先建立y關于w的線性回歸方程． 由于d＝＝＝68， c＝－d ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y關于w的線性回歸方程為y＝100.6＋68w， 因此y關于x的回歸方程為y＝100.6＋68． (3)(ⅰ)由(2)知，當x＝49時， 年銷售量y的預報值y＝100.6＋68＝576.6， 年利潤z的預報值z＝576.6×0.2－49＝66.32． (ⅱ)根

18、據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預報值 z＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12． 所以當＝＝6.8，即x＝46.24時，z取得最大值． 故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大． 獨立性檢驗 [析考情] 近幾年高考中對獨立性檢驗的考查頻率明顯下降，題目多以解答題的形式出現(xiàn)，一般為容易題，多與概率、統(tǒng)計等內(nèi)容綜合考查． [提能力] 【典例】 (xx·全國卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立

19、，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”，估計A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關； 箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01)． 附： P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ， χ2＝． 解：(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于5

20、0 kg”． 由題意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)． 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P(B)的估計值為0.62． 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P(C)的估計值為0.66． 因此，事件A的概率估計值為0.62×0.66＝0.409 2． (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 χ2＝≈

21、15.705． 由于15.705>6.635，故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關． (3)因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為 (0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5， 箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為 (0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為 50＋≈52.35(kg)． [悟技法] 1．比較幾個分類變量有關聯(lián)的可能性大小的方法 (1)通過計算χ2的大小判斷：χ2越大，兩變量有關聯(lián)的可能性越大． (2)通過計算|ad－bc|的大小判斷：|

22、ad－bc|越大，兩變量有關聯(lián)的可能性越大． 2．獨立性檢驗的一般步驟 (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表． (2)根據(jù)公式χ2＝計算χ2的觀測值k． (3)比較k與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計推斷． [刷好題] 1．(xx·衡陽聯(lián)考)2016年9月20日是第28個全國愛牙日，為了迎接此節(jié)日，某地區(qū)衛(wèi)生部門成立了調(diào)查小組，調(diào)查“常吃零食與患齲齒的關系”，對該地區(qū)小學六年級800名學生進行檢查，按患齲齒和不患齲齒分類，并匯總數(shù)據(jù)：不常吃零食且不患齲齒的學生有60名，常吃零食但不患齲齒的學生有100名，不常吃零食但患齲齒的學生有140名． (1)能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下

23、，認為該地區(qū)學生常吃零食與患齲齒有關系？ (2)4名衛(wèi)生部門的工作人員隨機分成兩組，每組2人，一組負責數(shù)據(jù)收集，另一組負責數(shù)據(jù)處理，求工作人員甲分到收集數(shù)據(jù)組，工作人員乙分到處理數(shù)據(jù)組的概率． 附：χ2＝ P(K2≥k0) 0.010 0.005 0.001 k0 6.635 7.879 10.828 解：(1)由題意可得2×2列聯(lián)表如下： 不常吃零食 常吃零食 總計 不患齲齒 60 100 160 患齲齒 140 500 640 總計 200 600 800 根據(jù)2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得χ2的觀測值為k＝≈16.667＞10.828．

24、 ∴能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為該地區(qū)學生常吃零食與患齲齒有關系． (2)設其他工作人員為丙和丁，4人分組的所有情況如下表. 小組 1 2 3 4 5 6 收集數(shù)據(jù) 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 處理數(shù)據(jù) 丙丁 乙丁 乙丙 甲丁 甲丙 甲乙 由表可知，分組的情況共有6種，工作人員甲負責收集數(shù)據(jù)且工作人員乙負責處理數(shù)據(jù)的有2種，故工作人員甲分到收集數(shù)據(jù)組，工作人員乙分到處理數(shù)據(jù)組的概率為P＝＝． 2．某校數(shù)學課外興趣小組為研究數(shù)學成績是否與性別有關，先統(tǒng)計本校高三年級每個學生一學期數(shù)學成績平均分(采用百分制)，剔除平均分在4

25、0分以下的學生后，共有男生300名，女生200名．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學生，按性別分為兩組，并將兩組學生成績分為6組，得到如下所示頻數(shù)分布表. 分數(shù)段 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 男 3 9 18 15 6 9 女 6 4 5 10 13 2 (1)估計男、女生各自的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表)，從計算結(jié)果看，數(shù)學成績與性別是否有關； (2)規(guī)定80分以上為優(yōu)分(含80分)，請你根據(jù)已知條件作出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%以上的把握認為“數(shù)學

26、成績與性別有關”. 優(yōu)分 非優(yōu)分 總計 男生 女生 總計 100 附表及公式 P(χ2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 χ2＝ 解：(1)男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5， 女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5， 從男、女生各自的平均分來看，并不能判斷數(shù)學成績與性別有關． (2)由頻數(shù)分布表可知：在抽取的100名學生中，“男生組”中的優(yōu)分有15人，“女生組”中的優(yōu)分有15人，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下： 優(yōu)分 非優(yōu)分 總計 男生 15 45 60 女生 15 25 40 總計 30 70 100 可得χ2＝≈1.79， 因為1.79<2.706，所以沒有90%以上的把握認為“數(shù)學成績與性別有關”．