2022年高考數(shù)學(xué) (真題+模擬新題分類匯編) 解析幾何 理
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1、2022年高考數(shù)學(xué) (真題+模擬新題分類匯編) 解析幾何 理 20.H1,H5,H8[xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 平面直角坐標(biāo)系xOy中,過橢圓M:+=1(a>b>0)右焦點(diǎn)的直線x+y-=0交M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為. (1)求M的方程; (2)C,D為M上兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB,求四邊形ACBD面積的最大值. 20.解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則 +=1,+=1. =-1. 由此可得=-=1. 因?yàn)閤1+x2=2x0,y1+y2=2y0,=, 所以a2=2b2. 又由題意知,M的右焦點(diǎn)為(,0
2、),故a2-b2=3.
因此a2=6,b2=3.
所以M的方程為+=1.
(2)由
解得或
因此|AB|=.
由題意可設(shè)直線CD的方程為y=x+n-
3、 C.1 D.2 9.B [解析] 直線y=a(x-3)過定點(diǎn)(3,0) .畫出可行域如圖,易得A(1,-2a),B(3,0),C(1,2). 作出直線y=-2x,平移易知直線過A點(diǎn)時(shí)直線在y軸上的截距最小,即2+(-2a)=1a= .答案為B. H2 兩直線的位置關(guān)系與點(diǎn)到直線的距離 8.H2[xx·湖南卷] 在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點(diǎn)P是邊AB上異于A,B的一點(diǎn),光線從點(diǎn)P出發(fā),經(jīng)BC,CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖1-1所示),若光線QR經(jīng)過△ABC的重心,則AP等于( ) 圖1-1 A.2 B
4、.1 C. D. 8.D [解析] 不妨設(shè)AP=m(0≤m≤4),建立坐標(biāo)系,設(shè)AB為x軸,AC為y軸,則A(0,0),B(4,0),C(0,4),Q(xQ,yQ),R(0,yR),P(m,0),可知△ABC的重心為G,根據(jù)反射性質(zhì),可知P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P1(-m,0)在直線QR上,P關(guān)于x+y=4的對(duì)稱點(diǎn)P2(4,4-m)在直線RQ上,則QR的方程為=,將G代入可得3m2-4m=0,即m=或m=0(舍),選D. 12.H2,E1[xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是(
5、 ) A.(0,1) B. C. D. 12.B [解析] 方法一:易得△ABC面積為1,利用極限位置和特值法.當(dāng)a=0時(shí),易得b=1-;當(dāng)a=時(shí),易得b=;當(dāng)a=1時(shí),易得b=-1>.故選B. 方法二:(直接法) y= ,y=ax+b與x 軸交于,結(jié)合圖形與a>0 ,××=(a+b)2=a(a+1)>0a=. ∵a>0,∴>0b<,當(dāng)a=0時(shí),極限位置易得b=1-,故答案為B. 7.H2,H4[xx·重慶卷] 已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動(dòng)點(diǎn),P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則|PM|+|PN|的最
6、小值為( ) A.5 -4 B. -1 C.6-2 D. 7.A [解析] 如圖,作圓C1關(guān)于x軸的對(duì)稱圓C′1:(x-2)2+(y+3)2=1,則|PM|+|PN|=|PN|+|PM′|.由圖可知當(dāng)C2,N,P,M′,C′1在同一直線上時(shí),|PM|+|PN|=|PN|+|PM′|取得最小值,即為|C′1C2|-1-3=5 -4,故選A. 圖1-3 H3 圓的方程 20.H3,H10,H8,H5[xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] 已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓
7、心P的軌跡為曲線C. (1)求C的方程; (2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí),求|AB|. 20.解:由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3. 設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R. (1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以 |PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由橢圓的定義可知,曲線C是以M, N為左、右焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為+=1(x≠-2). (2)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),由于|PM|-|PN|
8、=2R-2≤2,所以R≤2, 當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí),R=2,所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí),其方程為(x-2)2+y2=4. 若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得|AB|=2 . 若l的傾斜角不為90°,由r1≠R知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q, 則=,可求得Q(-4,0),所以可設(shè)l:y=k(x+4).由l與圓M相切得=1,解得k=±.當(dāng)k=時(shí),將y=x+代入+=1, 并整理得7x2+8x-8=0.解得x1,2=. 所以|AB|=|x2-x1|=. 當(dāng)k=-時(shí),由圖形的對(duì)稱性可知|AB|=. 綜上,|AB|=2 或|AB|=. 21.F2、F3、H3、H5
9、,H8[xx·重慶卷] 如圖1-9所示,橢圓的中心為原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸在x軸上,離心率e=,過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A,A′兩點(diǎn),|AA′|=4. (1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P,P′,過P,P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外,若PQ⊥P′Q,求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程. 圖1-9 21.解:(1)由題意知點(diǎn)A(-c,2)在橢圓上,則+=1,從而e2+=1. 由e=得b2==8,從而a2==16. 故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)由橢圓的對(duì)稱性,可設(shè)Q(x0,0).又設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),則|QM|2=(x-x0
10、)2+y2=x2-2x0x+x+8 =(x-2x0)2-x+8(x∈[-4,4]). 設(shè)P(x1,y1),由題意,P是橢圓上到Q的距離最小的點(diǎn),因此,上式當(dāng)x=x1時(shí)取得最小值.又因x1∈(-4,4),所以上式當(dāng)x=2x0時(shí)取得最小值,從而x1=2x0,且|QP|2=8-x. 因?yàn)镻Q⊥P′Q,且P′(x1,-y1),所以·′=(x1-x0,y1)·(x1-x0,-y1)=0, 即(x1-x0)2-y=0.由橢圓方程及x1=2x0得x-8=0, 解得x1=±,x0==±,從而|QP|2=8-x=. 故這樣的圓有兩個(gè),其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為 +y2=,+y2=. H4 直線與圓
11、、圓與圓的位置關(guān)系
9.H4[xx·江西卷] 過點(diǎn)(,0)引直線l與曲線y=相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí),直線l的斜率等于( )
A. B.-
C.± D.-
9.B [解析] AB:y=k(x-),k<0,圓心到直線的距離d=<1,得-1 12、2x-y-3=0
C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0
9.A [解析] 方法一:設(shè)點(diǎn)P(3,1),圓心為C,設(shè)過點(diǎn)P的圓C的切線方程為y-1=k,由題意得=1,解之得k=0或,即切線方程為y=1或4x-3y-9=0.聯(lián)立 得一切點(diǎn)為,又∵kPC==,∴kAB=-=-2,即弦AB所在直線方程為y-1=-2,整理得2x+y-3=0.
方法二:設(shè)點(diǎn)P(3,1),圓心為C,以PC為直徑的圓的方程為+y=0,整理得x2-4x+y2-y+3=0,聯(lián)立①,②兩式相減得2x+y-3=0.
11.H7,H4[xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上, 13、|MF|=5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2),則C的方程為( )
A.y2=4x或y2=8x
B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x
D.y2=2x或y2=16x
11.C [解析] 拋物線焦點(diǎn)為F,0 ,由拋物線的定義,設(shè)M5-,,設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2).
因?yàn)閳A過點(diǎn)N(0,2),故NF⊥NM×=-1,①
設(shè)=t,則①式可化為t2-4 t+8=0t=2 p2-10p+16=0p=2或p=8 .
圖1-5
21.H4,H5[xx·浙江卷] 如圖1-5所示,點(diǎn)P(0,-1)是橢圓C1:+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn),C1的長(zhǎng)軸是圓C2:x2+y 14、2=4的直徑.l1,l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A,B兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)求△ABD面積取得最大值時(shí)直線l1的方程.
21.解:(1)由題意得
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由題意知直線l1的斜率存在,不妨設(shè)其為k,則直線l1的方程為y=kx-1.
又圓C2:x2+y2=4,故點(diǎn)O到直線l1的距離d=,
所以|AB|=2 =2 .
又l2⊥l1,故直線l2的方程為x+ky+k=0.
由
消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0.
故x0= 15、-,
所以|PD|=.
設(shè)△ABD的面積為S,則S=·|AB|·|PD|=,
所以S=≤=,當(dāng)且僅當(dāng)k=±時(shí)取等號(hào).
所以所求直線l1的方程為y=±x-1.
7.H2,H4[xx·重慶卷] 已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動(dòng)點(diǎn),P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值為( )
A.5 -4 B. -1
C.6-2 D.
7.A [解析] 如圖,作圓C1關(guān)于x軸的對(duì)稱圓C′1:(x-2)2+(y+3)2=1,則|PM|+|PN|=|PN|+|PM′|.由圖可知當(dāng)C2,N,P,M′,C′1 16、在同一直線上時(shí),|PM|+|PN|=|PN|+|PM′|取得最小值,即為|C′1C2|-1-3=5 -4,故選A.
圖1-3
H5 橢圓及其幾何性質(zhì)
20.H3,H10,H8,H5[xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] 已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程;
(2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí),求|AB|.
20.解:由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0) 17、,半徑r2=3.
設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.
(1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以
|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.
由橢圓的定義可知,曲線C是以M, N為左、右焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為+=1(x≠-2).
(2)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,
當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí),R=2,所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí),其方程為(x-2)2+y2=4.
若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得|AB|=2 .
若l的傾斜角不為90°,由r1≠R知 18、l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q,
則=,可求得Q(-4,0),所以可設(shè)l:y=k(x+4).由l與圓M相切得=1,解得k=±.當(dāng)k=時(shí),將y=x+代入+=1,
并整理得7x2+8x-8=0.解得x1,2=.
所以|AB|=|x2-x1|=.
當(dāng)k=-時(shí),由圖形的對(duì)稱性可知|AB|=.
綜上,|AB|=2 或|AB|=.
10.H5[xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] 已知橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
10.D [解析] 由題意 19、知kAB=,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則+=0.
由AB的中點(diǎn)是(1,-1)知
∴==,聯(lián)立a2-b2=9,解得a2=18,b2=9,故橢圓E的方程為+=1.
18.H5、H8、H9[xx·安徽卷] 設(shè)橢圓E:+=1的焦點(diǎn)在x軸上.
(1)若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程;
(2)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn),P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線F2P交y軸于點(diǎn)Q,并且F1P⊥F1Q.證明:當(dāng)a變化時(shí),點(diǎn)P在某定直線上.
18.解:(1)因?yàn)榻咕酁?,所以2a2-1=,解得a2=.
故橢圓E的方程為+=1.
(2)設(shè)P(x0,y0),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2( 20、c,0),其中c=.由題設(shè)知x0≠c,
則直線F1P的斜率kF1P=,
直線F2P的斜率kF2P=,
故直線F2P的方程為y=(x-c).
x=0時(shí),y=,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為0,.
因此,直線F1Q的斜率為kF1Q=.
由于F1P⊥F1Q,所以kF1P·kF1Q=·=-1.
化簡(jiǎn)得y=x-(2a2-1).①
將①代入橢圓E的方程,由于點(diǎn)P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即點(diǎn)P在定直線x+y=1上.
14.H5,H8[xx·福建卷] 橢圓Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c.若直線y=(x+c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F 21、2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于__________.
14.-1 [解析] 如圖,△MF1F2中,∵∠MF1F2=60°,∴∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°,又|F1F2|=2c,∴|MF1|=c,|MF2|=c,∴2a=|MF1|+|MF2|=c+c,得e===-1.
12.H5[xx·江蘇卷] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>0,b>0),右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為l,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B.設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為d1,F(xiàn)到l的距離為d2.若d2=d1,則橢圓C的離心率為________.
12. [解析] 由題意知F(c,0),l:x=,不妨 22、設(shè)B(0,b),則直線BF:+=1,即bx+cy-bc=0.
于是d1==,
d2=-c==.
由d2=d1,得=6,
化簡(jiǎn)得6c4+a2c2-a4=0,
即6e4+e2-1=0,
解得e2=或e2=-(舍去),
故e=,故橢圓C的離心率為.
20.
圖1-7
H5,H8[xx·江西卷] 如圖1-7所示,橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P,離心率e=,直線l的方程為x=4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)P),設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M,記PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3.問:是否存在常數(shù)λ,使得k1+k2=λk3 23、?若存在,求λ的值;若不存在,說明理由.
解:(1)由P在橢圓上得+=1,①
依題設(shè)知a=2c,則b2=3c2,②
②代入①解得c2=1,a2=4,b2=3.
故橢圓C的方程為+=1.
(2)方法一:由題意可設(shè)AB的斜率為k,則
直線AB的方程為y=k(x-1),③
代入橢圓方程3x2+4y2=12并整理,得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有
x1+x2=,x1x2=,④
在方程③中令x=4得,M的坐標(biāo)為(4,3k).
從而k1=,k2=,k3==k-,
注意到A,F(xiàn),B共線,則有k=kAF=kBF,即有==k 24、,所以k1+k2=+=+-
=2k-·,⑤
④代入⑤得k1+k2=2k-·=2k-1.
又k3=k-,所以k1+k2=2k3,故存在常數(shù)λ=2符合題意.
方法二:設(shè)B(x0,y0)(x0≠1),則直線FB的方程為:y=(x-1).
令x=4,求得M.
從而直線PM的斜率為k3=,
聯(lián)立得A,
則直線PA的斜率為k1=,直線PB的斜率為k2=,
所以k1+k2=+==2k3,
故存在常數(shù)λ=2符合題意.
19.H5,H10[xx·北京卷] 已知A,B,C是橢圓W:+y2=1上的三個(gè)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積;
25、(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由.
19.解:(1)橢圓W:+y2=1的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0).
因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分.
所以可設(shè)A(1,m),代入橢圓方程得+m2=1,即m=±.
所以菱形OABC的面積是
|OB|·|AC|=×2×2|m|=.
(2)假設(shè)四邊形OABC為菱形.
因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn),且直線AC不過原點(diǎn),所以可設(shè)AC的方程為y=kx+m(k≠0,m≠0).
由消y并整理得
(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.
設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),則
=-,=k·+m= 26、.
所以AC的中點(diǎn)為M.
因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn),所以直線OB的斜率為-.
因?yàn)閗·≠-1,所以AC與OB不垂直.
所以四邊形OABC不是菱形,與假設(shè)矛盾.
所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),四邊形OABC不可能是菱形.
15.H5[xx·遼寧卷] 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),聯(lián)結(jié)AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,則C的離心率e=________.
15. [解析] 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為Q,在三角形ABF中利用余弦定理可以得到|BF|=8,利用橢圓的對(duì)稱性可以得到|AQ|=8,則△FAQ為直角三角形,然后利用橢 27、圓的定義可以得到2a=14,2c=10,得e=.
15.H5[xx·全國(guó)卷] 記不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈.若直線y=a(x+1)與D有公共點(diǎn),則a的取值范圍是________.
15. [解析] 已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖1-2中的三角形ABC及其內(nèi)部,直線y=a(x+1)是過點(diǎn)(-1,0)斜率為a的直線,該直線與區(qū)域D有公共點(diǎn)時(shí),a的最小值為MA的斜率,最大值為MB的斜率,其中點(diǎn)A(1,1),B(0,4),故MA的斜率等于=,MB的斜率等于=4,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
8.H5、H8[xx·全國(guó)卷] 橢圓C:+=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取 28、值范圍是[-2,-1],那么直線PA1斜率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
8.B [解析] 橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為(-2,0),(2,0),設(shè)P(x0,y0),則kPA1kPA2=·=,而+=1,即y=(4-x),所以kPA1kPA2=-,所以kPA1=-∈.
22.H5[xx·山東卷] 橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,離心率為,過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),聯(lián)結(jié)PF1,PF2,設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m,0),求m的取值范圍 29、;
(3)在(2)的條件下,過點(diǎn)P作斜率為k的直線l,使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2,若k≠0,試證明+為定值,并求出這個(gè)定值.
22.解:(1)由于c2=a2-b2,將x=-c代入橢圓方程+=1,得y=±.由題意知 =1,即a=2b2.
又e==,
所以a=2,b=1.
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)方法一:設(shè)P(x0,y0)(y0≠0).
又F1(-,0),F(xiàn)2(,0),
所以直線PF1,PF2的方程分別為
lPF1:y0x-(x0+)y+y0=0,
lPF2:y0x-(x0-)y-y0=0.
由題意知=.
由于 30、點(diǎn)P在橢圓上,所以+y=1,
所以= .
因?yàn)椋?m<,-2 31、=.
整理得m=,
故0≤m<且m≠.
綜合①②可得0≤m<.
當(dāng)-2 32、:+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設(shè)過點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn),且=+,求點(diǎn)Q的軌跡方程.
20.解:(1)由橢圓定義知,|PF1|+|PF2|=+=2 .
所以a=,
又由已知,c=1,
所以橢圓C的離心率e===.
(2)由(1)知,橢圓C的方程為+y2=1.
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y).
①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),直線l與橢圓C交于(0,1),(0,-1)兩點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+2.
因 33、為M,N在直線l上,可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),則|AM|2=(1+k2)x,|AN|2=(1+k2)x.
又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.
由=+,得
=+,
即=+=.①
將y=kx+2代入+y2=1中,得
(2k2+1)x2+8kx+6=0.②
由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>.
由②可知,x1+x2=,x1x2=,
代入①中并化簡(jiǎn),得
x2=.③
因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx+2上,所以k=,代入③中并化簡(jiǎn),得10(y-2)2-3x2=18.
由③及k2>,可知0 34、
又滿足10(y-2)2-3x2=18,
故點(diǎn)Q的軌跡方程為10(y-2)2-3x2=18,
x∈.
18.H5,H8[xx·天津卷] 設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為,過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn),若·+·=8,求k的值.
18.解:(1)設(shè)F(-c,0),由=,知a=c.過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為x=-c,
代入橢圓的方程有+=1,解得y=±.于是=,解得b=.
又a2-c2=b2,從而a=,c=1,
所以所求橢圓的方程為+=1.
35、(2)設(shè)點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1).
由方程組消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,
可得x1+x2=-,x1x2=.
因?yàn)锳(-,0),B(,0),
所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)
=6-2x1x2-2y1y2
=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)
=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2
=6+.
由已知得6+=8,解得k=±.
20.H1,H5,H8[xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 平面直角坐標(biāo)系xOy中,過 36、橢圓M:+=1(a>b>0)右焦點(diǎn)的直線x+y-=0交M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為.
(1)求M的方程;
(2)C,D為M上兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB,求四邊形ACBD面積的最大值.
20.解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則
+=1,+=1.
=-1.
由此可得=-=1.
因?yàn)閤1+x2=2x0,y1+y2=2y0,=,
所以a2=2b2.
又由題意知,M的右焦點(diǎn)為(,0),故a2-b2=3.
因此a2=6,b2=3.
所以M的方程為+=1.
(2)由
解得或
因此|AB|=.
由題意可設(shè)直線CD的 37、方程為y=x+n- 38、)求橢圓C1的方程;
(2)求△ABD面積取得最大值時(shí)直線l1的方程.
21.解:(1)由題意得
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由題意知直線l1的斜率存在,不妨設(shè)其為k,則直線l1的方程為y=kx-1.
又圓C2:x2+y2=4,故點(diǎn)O到直線l1的距離d=,
所以|AB|=2 =2 .
又l2⊥l1,故直線l2的方程為x+ky+k=0.
由
消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0.
故x0=-,
所以|PD|=.
設(shè)△ABD的面積為S,則S=·|AB|·|PD|=,
所以S=≤=,當(dāng)且僅當(dāng)k=±時(shí)取等 39、號(hào).
所以所求直線l1的方程為y=±x-1.
圖1-2
9.H5,H6[xx·浙江卷] 如圖1-2,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓C1:+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是( )
A. B. C. D.
9.D [解析] 設(shè)雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為a,焦半距為c,|AF1|=m,|AF2|=n,由題意知c=,2mn=(m+n)2-(m2+n2)=4,(m-n)2=m2+n2-2mn=8,2a=m-n=2 ,a=,則雙曲線的離心率e===,選擇D.
21.F2、F3、H3、H5,H8[xx·重慶卷] 如圖1 40、-9所示,橢圓的中心為原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸在x軸上,離心率e=,過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A,A′兩點(diǎn),|AA′|=4.
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P,P′,過P,P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外,若PQ⊥P′Q,求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程.
圖1-9
21.解:(1)由題意知點(diǎn)A(-c,2)在橢圓上,則+=1,從而e2+=1.
由e=得b2==8,從而a2==16.
故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)由橢圓的對(duì)稱性,可設(shè)Q(x0,0).又設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),則|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x 41、+8
=(x-2x0)2-x+8(x∈[-4,4]).
設(shè)P(x1,y1),由題意,P是橢圓上到Q的距離最小的點(diǎn),因此,上式當(dāng)x=x1時(shí)取得最小值.又因x1∈(-4,4),所以上式當(dāng)x=2x0時(shí)取得最小值,從而x1=2x0,且|QP|2=8-x.
因?yàn)镻Q⊥P′Q,且P′(x1,-y1),所以·′=(x1-x0,y1)·(x1-x0,-y1)=0,
即(x1-x0)2-y=0.由橢圓方程及x1=2x0得x-8=0,
解得x1=±,x0==±,從而|QP|2=8-x=.
故這樣的圓有兩個(gè),其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為
+y2=,+y2=.
H6 雙曲線及其幾何性質(zhì) 42、
4.H6[xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] 已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則C的漸近線方程為( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
4.C [解析] 離心率=,所以===.由雙曲線方程知焦點(diǎn)在x軸上,故漸近線方程為y=±x.
6.H6[xx·北京卷] 若雙曲線-=1的離心率為,則其漸近線方程為( )
A.y=±2x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
6.B [解析] 由離心率為,可知c=a,∴c2=3a2,∴b2=2a2,∴b=a,∴雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x.
3.H6[xx·福建卷] 43、 雙曲線-y2=1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于( )
A. B. C. D.
3.C [解析] 取一頂點(diǎn)(2,0),一條漸近線x+2y=0,d== ,故選C.
7.H6[xx·廣東卷] 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3,0),離心率等于,則C的方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
7.B [解析] 設(shè)雙曲線方程為-=1,由題知:c=3,e==,解得a=2,b2=c2-a2=9-4=5,故C的方程是-=1.
5.H6[xx·湖北卷] 已知0<θ<,則雙曲線C1:-=1與C2:-=1的( )
A.實(shí)軸長(zhǎng)相等 B.虛軸長(zhǎng)相等
C.焦距 44、相等 D.離心率相等
5.D [解析] e==,C1與C2的=tan2 θ,故e1=e2,選D.
14.H6[xx·湖南卷] 設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°,則C的離心率為________.
14. [解析] 若最小角為∠F1PF2,由對(duì)稱性設(shè)|PF1|>|PF2|,由|PF1|+|PF2|=6a,|PF1|-|PF2|=2a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a,此時(shí)|PF2|<|F1F2|,故∠F1PF2不可能為最小角.
由雙曲線對(duì)稱性,不妨記最小角為∠PF1F2=30°, 45、則|PF1|>|PF2|,由|PF1|+|PF2|=6a,|PF1|-|PF2|=2a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a,由余弦定理可得4a2=16a2+4c2-2×4a×2c×cos 30°,即3a2-2 ac+c2=0,解得c=a,即e==.
3.H6[xx·江蘇卷] 雙曲線-=1的兩條漸近線的方程為________.
3.y=±x [解析] 令-=0,得漸近線方程為y=±x.
14.H6[xx·江西卷] 拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線-=1相交于A,B兩點(diǎn),若△ABF為等邊三角形,則p=________.
14.6 [解析] 由題知三角形邊長(zhǎng)為p,得點(diǎn) 46、B,代入雙曲線方程得p=6.
21.H6、H8、D3[xx·全國(guó)卷] 已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為3,直線y=2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為.
(1)求a,b;
(2)設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),且|AF1|=|BF1|,證明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列.
21.解:(1)由題設(shè)知=3,即=9,故b2=8a2.
所以C的方程為8x2-y2=8a2.
將y=2代入上式,求得x=±.
由題設(shè)知,2 =,解得a2=1.
所以a=1,b=2 .
(2)證明:由(1)知,F(xiàn)1(-3,0),F(xiàn)2(3,0) 47、,C的方程為8x2-y2=8.①
由題意可設(shè)l的方程為y=k(x-3),|k|<2 ,代入①并化簡(jiǎn)得
(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
x1≤-1,x2≥1,
x1+x2=,x1x2=.
于是|AF1|===-(3x1+1),
|BF1|===3x2+1.
由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2=-.
故=-,解得k2=,從而x1x2=-.
由于|AF2|===1-3x1,
|BF2|===3x2-1,
故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,
|AF2|·|BF 48、2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.
因而|AF2|·|BF2|=|AB|2,
所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列.
11.H6、H7[xx·山東卷] 拋物線C1:y=x2(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2:-y2=1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p=( )
A. B. C. D.
11.D [解析] 拋物線C1:y=x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,雙曲線-y2=1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為,連線的方程為y=-,聯(lián)立 得2x2+p2x-2p2=0.設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a,則在點(diǎn)M處切線的斜率為y′|x=a=′=.又∵雙曲線-y2=1的漸 49、近線方程為±y=0,其與切線平行,∴=,即a=p,代入2x2+p2x-2p2=0得,p=或p=0(舍去).
11.H6[xx·陜西卷] 雙曲線-=1的離心率為,則m等于________.
11.9 [解析] 由a2=16,b2=m,則c2=16+m,則e==,則m=9.
6.H6,H7[xx·四川卷] 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2-=1的漸近線的距離是( )
A. B. C.1 D.
6.B [解析] 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),雙曲線x2-=1的漸近線為x±y=0,故點(diǎn)F到x±y=0的距離d==.
5.H6,H7[xx·天津卷] 已知雙曲線- 50、=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為,則p=( )
A.1 B. C.2 D.3
5.C [解析] 雙曲線的離心率e===2,解得=,聯(lián)立得y=.又因?yàn)镾△OAB=×=,將=代入解得p=2.
圖1-2
9.H5,H6[xx·浙江卷] 如圖1-2,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓C1:+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是( )
A. B. C. D.
9.D [解析] 設(shè)雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為a 51、,焦半距為c,|AF1|=m,|AF2|=n,由題意知c=,2mn=(m+n)2-(m2+n2)=4,(m-n)2=m2+n2-2mn=8,2a=m-n=2 ,a=,則雙曲線的離心率e===,選擇D.
H7 拋物線及其幾何性質(zhì)
13.H7[xx·安徽卷] 已知直線y=a交拋物線y=x2于A,B兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得∠ACB為直角,則a的取值范圍為________.
13.[1,+∞) [解析] 方法一:設(shè)直線y=a與y軸交于M點(diǎn),若拋物線y=x2上存在C點(diǎn)使得∠ACB=90°,只要以|AB|為直徑的圓與拋物線y=x2有除A、 52、B外的交點(diǎn)即可,即使|AM|≤|MO|,所以≤a,所以a≥1或a≤0,因?yàn)橛深}意知a>0,所以a≥1.
方法二:設(shè)C(m,m2),由已知可令A(yù)(,a),B(-,a),則=(m-,m2-a),=(m+,m2-a),因?yàn)椤?,所以m2-a+m4-2am2+a2=0,可得(m2-a)(m2+1-a)=0,解得m2=a>0且m2=a-1≥0,故a∈[1,+∞).
18.H7,H8[xx·福建卷] 如圖1-5所示,在正方形OABC中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,10).分別將線段OA和AB十等分,分點(diǎn)分別記為A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9,聯(lián)結(jié)OBi,過Ai作 53、x軸的垂線與OBi交于點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9).
(1)求證:點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,并求該拋物線E的方程;
(2)過點(diǎn)C作直線l與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M,N,若△OCM與△OCN的面積比為4∶1,求直線l的方程.
圖1-5
18.解:(1)方法一:依題意,過Ai(i∈N*,1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x=i,Bi的坐標(biāo)為(10,i),所以直線OBi的方程為y=x.
設(shè)Pi的坐標(biāo)為(x,y),由
得y=x2,即x2=10y.
所以點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,且拋物線E的方程為x2=10y.
方法二:點(diǎn)Pi(i∈ 54、N*,1≤i≤9)都在拋物線E:x2=10y上.
證明如下:過Ai(i∈N*,1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x=i,
Bi的坐標(biāo)為(10,i),所以直線OBi的方程為y=x.由解得Pi的坐標(biāo)為,
因?yàn)辄c(diǎn)Pi的坐標(biāo)都滿足方程x2=10y,
所以點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,且拋物線E的方程為x2=10y.
(2)依題意,直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+10.
由
得x2-10kx-100=0.
此時(shí)Δ=100k2+400>0,直線l與拋物線E恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M,N.
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則
因?yàn)镾△OCM=4S△OCN 55、,所以|x1|=4|x2|.
又x1·x2<0,所以x1=-4x2,
分別代入①和②,得解得k=±.
所以直線l的方程為y=±x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.
11.H6、H7[xx·山東卷] 拋物線C1:y=x2(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2:-y2=1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p=( )
A. B. C. D.
11.D [解析] 拋物線C1:y=x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,雙曲線-y2=1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為,連線的方程為y=-,聯(lián)立 得2x2+p2x-2p2=0.設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a,則在點(diǎn)M處切線的斜率 56、為y′|x=a=′)=.又∵雙曲線-y2=1的漸近線方程為±y=0,其與切線平行,∴=,即a=p,代入2x2+p2x-2p2=0得,p=或p=0(舍去).
20.H7,H8[xx·陜西卷] 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長(zhǎng)為8.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;
(2)已知點(diǎn)B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過定點(diǎn).
20.解:(1)如圖所示,設(shè)動(dòng)圓圓心O1(x,y),由題意,
|O1A|=|O1M|,
當(dāng)O1不在y軸上時(shí),
過O1作O1H⊥MN交MN于H,則H是MN的中點(diǎn),
∴ 57、|O1M|=,又|O1A|=,
∴=.
化簡(jiǎn)得y2=8x(x≠0).
又當(dāng)O1在y軸上時(shí),O1與O重合,點(diǎn)O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程y2=8x,
∴動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x.
(2)由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k≠0),
P(x1,y1),Q(x2,y2),
將y=kx+b代入y2=8x中,
得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,
其中Δ=-32kb+64>0.
由求根公式得,x1+x2=,①
x1x2=.②
因?yàn)閤軸是∠PBQ的角平分線,
所以=-.
即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,
(kx1+b)(x2+1)+(kx2+ 58、b)(x1+1)=0,
2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③
將①,②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,
∴k=-b,此時(shí)Δ>0,
∴直線l的方程為y=k(x-1),
即直線l過定點(diǎn)(1,0).
6.H6,H7[xx·四川卷] 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2-=1的漸近線的距離是( )
A. B. C.1 D.
6.B [解析] 拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),雙曲線x2-=1的漸近線為x±y=0,故點(diǎn)F到x±y=0的距離d==.
5.H6,H7[xx·天津卷] 已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線 59、與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為,則p=( )
A.1 B. C.2 D.3
5.C [解析] 雙曲線的離心率e===2,解得=,聯(lián)立得y=.又因?yàn)镾△OAB=×=,將=代入解得p=2.
11.H7,H4[xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2),則C的方程為( )
A.y2=4x或y2=8x
B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x
D.y2=2x或y2=16x
11.C [解析] 拋物線 60、焦點(diǎn)為F,0 ,由拋物線的定義,設(shè)M5-,,設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2).
因?yàn)閳A過點(diǎn)N(0,2),故NF⊥NM×=-1,①
設(shè)=t,則①式可化為t2-4 t+8=0t=2 p2-10p+16=0p=2或p=8 .
H8 直線與圓錐曲線(AB課時(shí)作業(yè))
20.H3,H10,H8,H5[xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] 已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程;
(2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng) 61、時(shí),求|AB|.
20.解:由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3.
設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.
(1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以
|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.
由橢圓的定義可知,曲線C是以M, N為左、右焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為+=1(x≠-2).
(2)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,
當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí),R=2,所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí),其方程為(x-2)2+y2=4 62、.
若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得|AB|=2 .
若l的傾斜角不為90°,由r1≠R知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q,
則=,可求得Q(-4,0),所以可設(shè)l:y=k(x+4).由l與圓M相切得=1,解得k=±.當(dāng)k=時(shí),將y=x+代入+=1,
并整理得7x2+8x-8=0.解得x1,2=.
所以|AB|=|x2-x1|=.
當(dāng)k=-時(shí),由圖形的對(duì)稱性可知|AB|=.
綜上,|AB|=2 或|AB|=.
18.H5、H8、H9[xx·安徽卷] 設(shè)橢圓E:+=1的焦點(diǎn)在x軸上.
(1)若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程;
(2)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E的左 63、、右焦點(diǎn),P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線F2P交y軸于點(diǎn)Q,并且F1P⊥F1Q.證明:當(dāng)a變化時(shí),點(diǎn)P在某定直線上.
18.解:(1)因?yàn)榻咕酁?,所以2a2-1=,解得a2=.
故橢圓E的方程為+=1.
(2)設(shè)P(x0,y0),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c=.由題設(shè)知x0≠c,
則直線F1P的斜率kF1P=,
直線F2P的斜率kF2P=,
故直線F2P的方程為y=(x-c).
x=0時(shí),y=,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為0,.
因此,直線F1Q的斜率為kF1Q=.
由于F1P⊥F1Q,所以kF1P·kF1Q=·=-1.
化簡(jiǎn)得y=x-(2a2-1).①
將①代入橢圓E 64、的方程,由于點(diǎn)P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即點(diǎn)P在定直線x+y=1上.
18.H7,H8[xx·福建卷] 如圖1-5所示,在正方形OABC中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,10).分別將線段OA和AB十等分,分點(diǎn)分別記為A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9,聯(lián)結(jié)OBi,過Ai作x軸的垂線與OBi交于點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9).
(1)求證:點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,并求該拋物線E的方程;
(2)過點(diǎn)C作直線l與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M,N,若△OCM與△OCN的面積比為4∶1,求直線l的方程.
65、
圖1-5
18.解:(1)方法一:依題意,過Ai(i∈N*,1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x=i,Bi的坐標(biāo)為(10,i),所以直線OBi的方程為y=x.
設(shè)Pi的坐標(biāo)為(x,y),由
得y=x2,即x2=10y.
所以點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,且拋物線E的方程為x2=10y.
方法二:點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在拋物線E:x2=10y上.
證明如下:過Ai(i∈N*,1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x=i,
Bi的坐標(biāo)為(10,i),所以直線OBi的方程為y=x.由解得Pi的坐標(biāo)為,
因?yàn)辄c(diǎn)Pi的坐標(biāo)都滿足方程x2=10y,
所 66、以點(diǎn)Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,且拋物線E的方程為x2=10y.
(2)依題意,直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+10.
由
得x2-10kx-100=0.
此時(shí)Δ=100k2+400>0,直線l與拋物線E恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M,N.
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則
因?yàn)镾△OCM=4S△OCN,所以|x1|=4|x2|.
又x1·x2<0,所以x1=-4x2,
分別代入①和②,得解得k=±.
所以直線l的方程為y=±x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.
14.H5,H8[xx·福建卷] 橢圓Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c.若直線y=(x+c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于__________.
14.-1 [解析] 如圖,△MF1F2中,∵∠MF1F2=60°,∴∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°,又|F1F2|=2c,∴|MF1|=c,|MF2|=c,∴2a=|MF1|+|MF2|=c+c,得e===-1.
21
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