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2022年高考數(shù)學(xué) 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預(yù)測卷 11

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預(yù)測卷 11 一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上. 1.已知集合,集合,若命題“”是命題“”的充分 不必要條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ▲ . 答案: 2.復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則= ▲ . 答案: 3.為了解某校教師使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的情況,采用簡單隨機(jī)抽樣的方法,從該校200名授課教師中抽取20名教師,調(diào)查了他們上學(xué)期使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的次數(shù),結(jié)果用莖葉圖表示如下: 據(jù)此可估計(jì)該校上學(xué)期200名教師中,使用多媒體

2、 進(jìn)行教學(xué)次數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為 ▲ . 答案:100 解析:所抽取的20人中在內(nèi)的人數(shù)10人, 故可得200名教師中使用多媒體進(jìn)行教學(xué)次數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為=100人。 4.如圖是一個(gè)算法的流程圖,則最后輸出的的值為 ▲ . 答案:14 解析:本題考查算法流程圖。 所以輸出。 5.已知是等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和,若≥4,≤16,則的最大值是 ▲ . 答案:9 6.用半徑為cm,面積為cm2的扇形鐵皮制作一個(gè)無蓋的圓錐形容器(銜接部分忽略不計(jì)), 則該容器盛滿水時(shí)的體積是 ▲ . 答案: 7.若在區(qū)間和上分別各

3、取一個(gè)數(shù),記為和,則方程表示焦點(diǎn)在 軸上的橢圓的概率為 ▲ . 答案:2 解析:本題考查線性規(guī)劃和幾何概型。 由題意知畫可行域如圖陰影部分。 直線與,的交點(diǎn)分別為(2,2),(4,4) ∴陰影梯形的面積為, 而區(qū)間和構(gòu)成的區(qū)域面積為8,故所求的概率為。 8.設(shè)是實(shí)數(shù).若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),但不是偶函數(shù),則函數(shù)的遞增區(qū)間為 ▲ . 答案: 9.已知三次函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則的最小 值為 ▲ . 答案:3 解析:由題意≥0在R上恒成立,則,△≤0

4、. ∴≥ 令 ≥≥3. (當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=” 10.若函數(shù),對任意實(shí)數(shù),都有,且, 則實(shí)數(shù)的值等于 ▲ . 答案:或。 解析:本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)。 由可知是該函數(shù)的一條對稱軸, 故當(dāng)時(shí),或。又由可得或。 ▲ . 11.已知A,B,P是雙曲線上不同的三點(diǎn),且A,B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),若直線 PA,PB的斜率乘積,則該雙曲線的離心率為 ▲ . 答案: 解析:一定關(guān)于原點(diǎn)對稱,設(shè),, 則,,. 12.已知等差數(shù)列的公差d不為0,等比數(shù)列的公比q為小于1的正有理數(shù)。若,且是正整數(shù)

5、,則q等于 ▲ . 答案: 13.已知a > 0,b > 0,且,其中{a,b}表示數(shù)a,b中較小的數(shù),則h的最大值為 ▲ . 答案: 14.已知定義在上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=2,,則不等式解集 ▲ . 答案:二、解答題:本大題共6小題,共計(jì)90分.請把答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 15.(本題滿分14分) 如圖所示,已知的終邊所在直線上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,的終邊在第一象限且與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為. ⑴求的值; ⑵若,,求. 解:⑴由三角函數(shù)的定義知 ∴.

6、 又由三角函數(shù)線知, ∵為第一象限角,∴,∴. ……7分 ⑵∵,,∴. 又,,∴. …8分 ∴. 由,,得,∴. ……14分 16.(本題滿分14分) 在三棱錐中,是邊長為的正三角形,平面平面, ,、分別為、的中點(diǎn). ⑴證明:; ⑵(理)求二面角的正切值; ⑶求點(diǎn)到平面的距離. 解: 解法:⑴取中點(diǎn),連結(jié)、. ∵,∴,, ∴平面,又平面,∴. ……4分 ⑵∵平面,平面,∴平面平面. 過作于,則平面, 過作于,連結(jié),則,為二面角的平面角. ∵平面平面,,∴平面.

7、 又平面,∴.∵, ∴,且. 在正中,由平幾知識(shí)可求得, 在中, ∴二面角的正切值為. ……8分 ⑶在中,,∴,. 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為, ∵,平面,∴, ∴.即點(diǎn)到平面的距離為. ……14分 解法:⑴取中點(diǎn),連結(jié)、.∵,, ∴,.∵平面平面, 平面平面,∴平面,∴. 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,則,, ,,∴,, ∵,∴. ……6分 ⑵∵,,又,∴,. 設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則, 取,,,∴.又為平面的一個(gè)法向量, ∴,得 ∴.即二面角的正切值為. ……10分 ⑶由⑴⑵得,又為平面的一個(gè)法向量,, ∴點(diǎn)到平面的距離

8、.……14分 17.(本題滿分14分) 某公司為了加大產(chǎn)品的宣傳力度,準(zhǔn)備立一塊廣告牌,在其背面制作一個(gè)形如△ABC的支架,要求∠ACB=60°,BC的長度大于1米,且AC比AB長0.5米.為節(jié)省材料,要求AC的長度越短越好,求AC的最短長度,且當(dāng)AC最短時(shí),BC的長度為多少米? 解:設(shè)BC=x米(x>1),AC=y(tǒng)米,則AB=y(tǒng)-. 在△ABC中,由余弦定理,得(y-)2=y(tǒng)2+x2-2xycos60°. 所以y=(x>1). 法一:y==(x-1)++2≥2+. 當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=1+時(shí),y有最小值2+. 法二: y′==. 由y′=0得x=1+.因?yàn)楫?dāng)1<x<1+

9、時(shí),y′<0;當(dāng)x>1+時(shí),y′>0, 所以當(dāng)x=1+時(shí),y有最小值2+. 答:AC的最短長度為2+米,此時(shí)BC的長度為(1+)米.……………14分 18.(本題滿分16分) 已知曲線E:ax2+by2=1(a>0,b>0),經(jīng)過點(diǎn)M(,0)的直線l與曲線E交 于點(diǎn)A、B,且=-2. (1)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2),求曲線E的方程; (2)若a=b=1,求直線AB的方程. 解: (1) 設(shè)A(x0,y0),因?yàn)锽(0,2),M(,0) 故=(-,2),=(x0-,y0). ……………………………………2分 因?yàn)椋剑?,所以(-,2)=-2(x0-,y0).

10、所以x0=,y0=-1.即A(,-1). ……………………………………4分 因?yàn)锳,B都在曲線E上,所以解得a=1,b=. 所以曲線E的方程為x2+=1. ……………………………………6分 (2)(法一)當(dāng)a=b=1時(shí),曲線E為圓:x2+y2=1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 因?yàn)椋剑?,所以(x2-,y2) =-2(x1-,y1),即 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為T,則點(diǎn)T的坐標(biāo)為(,),即(,-). 所以=(,-),=(x2-x1,y2-y1)=(-3x1,-3y1). 因?yàn)镺T⊥AB,所以×=0,即3-4x1+3x+3y=0. 因?yàn)閤+y=1,所

11、以x1=,y1=±. 當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,-)時(shí),對應(yīng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1),此時(shí)直線AB的斜率 k=-,所求直線AB的方程為y=-x+1; 當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,)時(shí),對應(yīng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,-1),此時(shí)直線AB的斜率k=, 所求直線AB的方程為y=x-1. ……………………………………16分 (法二)當(dāng)a=b=1時(shí),曲線E為圓:x2+y2=1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). 因?yàn)椋剑?,所以(x2-,y2) =-2(x1-,y1),即 因?yàn)辄c(diǎn)A,B在圓上,所以 由①×4-②,得(2x1+x2)(2x1-x2)=3.所以2x1-x2=,解得x1=,x

12、2=0. 由x1=,得y1=±.(以下同方法一) (法三)如圖,設(shè)AB中點(diǎn)為T. 則TM=TA-MA=AB,OM=. 根據(jù)Rt△OTA和Rt△OTM,得 即解得AB=,OT=.所以在Rt△OTM中,tanDOMT==. 所以kAB=-或.所以直線AB的方程為y=-x+1或y=x-1. 19.(本題滿分16分) 設(shè)f(x)=x3,等差數(shù)列{an}中a3=7,,記Sn=,令bn=anSn,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn. (1)求{an}的通項(xiàng)公式和Sn; (2)求證:Tn<; (3)是否存在正整數(shù)m,n,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn

13、成等比數(shù)列?若存在,求出m,n的值,若不存在,說明理由. 解:(1)設(shè)數(shù)列的公差為,由,. 解得,=3,∴∵ ∴Sn==.…4分 (2) ,∴ ∴。 ………………………8分 (3)由(2)知, ∴, ∵成等比數(shù)列. ∴ ,即………………………9分 當(dāng)時(shí),7,=1,不合題意; 當(dāng)時(shí),,=16,符合題意;………………………10分 當(dāng)時(shí),,無正整數(shù)解;當(dāng)時(shí),,無正整數(shù)解; 當(dāng)時(shí),,無正整數(shù)解; 當(dāng)時(shí),,無正整數(shù)解; ………………………12分 當(dāng)時(shí), ,則,而, 所以,此時(shí)不存在正整數(shù)m,n,且1

14、比數(shù)列. ………15分 綜上,存在正整數(shù)m=2,n=16,且1

15、含x3的項(xiàng)的系數(shù),得,, 解得,. 所以. 分別比較①式中含x和x2的項(xiàng)的系數(shù),得 ,………②,,③ ②× + ③×n得,即.…………10分 (2)方程化為:, 令,方程為,,即有絕對值不小于2的實(shí)根. 設(shè), 當(dāng),即時(shí),只需,此時(shí),; 當(dāng),即時(shí),只需,此時(shí),; 當(dāng),即時(shí),只需或,即或,此時(shí). 的最小值為.…………………………………………………16分 (附加題) 21.【選做題】本題包括A,B,C,D共4小題,請從這4題中選做2小題,每小題10分,共20分.請?jiān)诖痤}卡上準(zhǔn)確填涂題目標(biāo)記,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. A.選修4-1:幾何證明選

16、講 如圖,⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點(diǎn)P,E為⊙O上一點(diǎn),AE=AC,求證:∠PDE=∠POC. 證明:因AE=AC,AB為直徑, 故∠OAC=∠OAE. ……………………………………………………………3分 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC. 又∠EAC=∠PDE, 所以,∠PDE=∠POC.…………………………………………………………10分 B.選修4-2:矩陣與變換 試求曲線在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式,其中M =,N = 解:MN = =…………………………………………………4分 即在矩陣MN變換下

17、…………………………………………6分 即曲線在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為……………10分 C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知直線的參數(shù)方程:(為參數(shù))和圓的極坐標(biāo)方程:. (1)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (2)判斷直線和圓的位置關(guān)系. 解:消去參數(shù),得直線的普通方程為…………………………………2分 即, 兩邊同乘以得, …………………………………6分 (2)圓心到直線的距離, 所以直線和⊙相交.

18、 …………………………………10分 D.選修4-5:不等式選講 已知x,y,z均為正數(shù).求證:. 證明:因?yàn)閤,y,z都是為正數(shù),所以. …………………3分 同理可得. 將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加,并除以2,得.………10分 22.【必做題】本題滿分10分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)一起參加某高校組織的自主招生考試,考試分筆試和面試兩部分,筆試和面試均合格者將成為該高校的預(yù)錄取生(可在高考中加分錄?。?,兩次考試過程相互獨(dú)立.根據(jù)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)的平時(shí)成績分析,甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)能通過筆試的概率分別是0.6,0.5,0.4,能通過

19、面試的概率分別是0.5,0.6,0.75. (1)求甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)中恰有一人通過筆試的概率; (2)設(shè)經(jīng)過兩次考試后,能被該高校預(yù)錄取的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的期望. 解:(1)分別記甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)筆試合格為事件、、; 表示事件“恰有一人通過筆試” 則 ---------------------------------------------------------------------5分 (2)解法一:因?yàn)榧?、乙、丙三個(gè)同學(xué)經(jīng)過兩次考試后合格的概率均為, -----------------------------------------

20、----------------------------8分 所以,故.-------------10分 解法二:分別記甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)經(jīng)過兩次考試后合格為事件, 則 所以, ,. 于是,. 23.【必做題】本題滿分10分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 已知直線被拋物線截得的弦長為20,為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求實(shí)數(shù)的值; (2)問點(diǎn)位于拋物線弧上何處時(shí),△面積最大? 解:(1)將代入得,----------------------2分 由△可知, 另一方面,弦長AB,解得;-------------6分 (2)當(dāng)時(shí),直線為,要使得內(nèi)接△ABC面積最大, 則只須使得,-----------------------------------------------8分 即,即位于(4,4)點(diǎn)處.----------------------------------------10分

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