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1、2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第9章 第03節(jié) 圓的方程 Word版含答案 考點 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 圓的方程 xx·全國卷Ⅱ·T7·5分 求過三點的圓的方程 數(shù)學(xué)運算 xx·全國卷Ⅰ·T20·12分 直線與圓的位置關(guān)系 數(shù)學(xué)運算 xx·全國卷Ⅲ·T15·5分 直線與圓的位置關(guān)系 數(shù)學(xué)運算 命題分析 圓的方程是高考熱點，每年必考，選擇填空解答都有可能，客觀題突出小而巧，主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主觀題與圓錐曲線結(jié)合命題. 定義 平面內(nèi)與__定點__的距離等于__定長__的點的集合(軌跡) 標(biāo)準(zhǔn) 方程 __(x－a)2＋(y－b)2＝r

2、2(r＞0)__ 圓心：__(a，b)__,_半徑：__r__ 一般 方程 __x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0__， (D2＋E2－4F＞0) 圓心：， 半徑： 提醒： 1．辨明兩個易誤點 (1)求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個獨立方程． (2)對于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓時易忽視D2＋E2－4F＞0這一條件． 2．求解有關(guān)圓的問題的轉(zhuǎn)化路徑 (1)注意二元二次方程表示圓的充要條件，善于利用切割線定理，垂徑定理等平面中圓的有關(guān)定理解題；注意將圓上動點到定點、定直線的距離轉(zhuǎn)化為圓心到它們的距離． (2)在圓中，

3、注意利用半徑、半弦長及弦心距組成的直角三角形． 1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(　　) (2)方程(x＋a) 2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個圓．(　　) (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0表示圓．(　　) (4)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材習(xí)題改編)圓3x2＋3y2＋6x－12y＋7＝0的圓心坐標(biāo)為(　　) A．(－3,6)　　　　　　 B．

4、(3，－6) C．(1,2) D．(－1,2) 解析：選D　圓的方程可化為x2＋y2＋2x－4y＋＝0.所以圓的圓心為，即(－1,2)． 3．(教材改編)圓C的圓心在x軸上，并且過點A(－1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為________________． 解析：設(shè)圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由題意 ∴E＝0，F(xiàn)＝－6，D＝－4． 答案：x2＋y2－4x－6＝0 4．(xx·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是____________，半徑是____________ 解析：由已知方程表示圓，則a2＝

5、a＋2， 解得a＝2或a＝－1． 當(dāng)a＝2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去． 當(dāng)a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓． 答案：(－2，－4)　5 求圓的方程 [明技法] 求圓的方程的2種方法 (1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程． (2)待定系數(shù)法： ①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值； ②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的

6、一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值． [提能力] 【典例1】 圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 解析：選D　圓的半徑r＝＝， ∴圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2． 【典例2】 (xx·全國卷Ⅱ)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A．－　　　 B．－　　　 C．　　　 D．2 解析：選A　由圓的方程x2＋y2－2x－8y＋

7、13＝0得圓心坐標(biāo)為(1,4)，由點到直線的距離公式得d＝＝1，解之得a＝－． [刷好題] 1．(xx·天津卷)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為______________． 解析：設(shè)⊙C的圓心C(a,0)(a＞0)， ＝ ∴a＝±2，a＞0，∴a＝2.∴⊙C的方程(x－2)2＋y2＝r2． 又M在⊙C上，∴22＋()2＝r2，r2＝9． ∴圓C方程(x－2)2＋y2＝9． 答案：(x－2)2＋y2＝9 2．(xx·全國卷Ⅰ)一個圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____

8、__________． 解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(m,0)，則半徑為4－m，由題意知m2＋22＝(4－m)2． 解得m＝，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝． 答案：2＋y2＝ 與圓有關(guān)的軌跡問題 [明技法] 求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程； (2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程； (3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程； (4)代入法，找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等． [提能力] 【典例】 (xx·濰坊調(diào)研)已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓

9、上的動點． (1)求線段AP中點的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程． 解：(1)設(shè)AP的中點為M(x，y)， 由中點坐標(biāo)公式可知，P點坐標(biāo)為(2x－2,2y)． 因為P點在圓x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1． (2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|． 設(shè)O為坐標(biāo)原點，連接ON，則ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4． 故線段PQ中點的軌跡方程為

10、x2＋y2－x－y－1＝0． [刷好題] (xx·天津模擬)設(shè)定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡． 解：如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)， 則線段OP的中點坐標(biāo)為， 線段MN的中點坐標(biāo)為． 由于平行四邊形的對角線互相平分， 故＝，＝． 從而 又N(x＋3，y－4)在圓上， 故(x＋3)2＋(y－4)2＝4． 因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應(yīng)除去兩點和(點P在直線OM上的情況)． 與圓有關(guān)的最值問題 [析考情] 與圓有關(guān)的最值問題，是高考命題的熱點，多以選擇題

11、、填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題、中檔題． [提能力] 命題點1：斜率型最值問題 【典例1】 已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則的最大值為________，最小值為________． 解析：原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓.的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率， 所以設(shè)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時＝，解得k＝±.(如圖) 所以的最大值為，最小值為－． 答案：?。? 命題點2：截距型最值問題 【典例2】 在[典例1]條件下，求y－x的最大值． 解：原方程可化為(x－

12、2)2＋y2＝3，圓心(2,0)，半徑r＝． 設(shè)y－x＝b，y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值， 此時＝，解得b＝－2±． 所以y－x的最大值為－2＋． 命題點3：距離型最值問題 【典例3】 在[典例1]條件下求x2＋y2的最大值和最小值． 解：x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值．(如圖) 又圓心到原點的距離為＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4， x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4． 命題點4：利用對稱性求范圍

13、 【典例4】 設(shè)點M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是________． 解析： 由題意可知M在直線y＝1上運動，設(shè)直線y＝1與圓x2＋y2＝1相切于點P(0,1)．當(dāng)x0＝0即點M與點P重合時，顯然圓上存在點N(±1,0)符合要求；當(dāng)x0≠0時，過M作圓的切線，切點之一為點P，此時對于圓上任意一點N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特別地，當(dāng)∠OMP＝45°時，有x0＝±1.結(jié)合圖形可知，符合條件的x0的取值范圍為[－1,1]． 答案：[－1,1] [明技法] 與圓有關(guān)的最值問題的求

14、解方法 (1)形如μ＝的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過定點的動直線的斜率的最值問題．(如命題點1) (2)形如t＝ax＋by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題，也可用三角代換求解．(如命題點2) (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點與定點的距離的平方的最值問題．(如命題點3) (4)與圓相關(guān)的最值，若幾何意義明顯時，可充分利用幾何性質(zhì)，借助幾何直觀求解．否則可用代數(shù)法轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值．(如命題點4) [刷好題] 1．設(shè)P為直線3x－4y＋11＝0上的動點，過點P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值

15、為__________． 解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1， 圓心為C(1,1)，半徑為r＝1， 根據(jù)對稱性可知，四邊形PACB的面積為2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝， 要使四邊形PACB的面積最小，則只需|PC|最小，最小值為圓心到直線l：3x－4y＋11＝0的距離d＝＝＝2． 所以四邊形PACB面積的最小值為＝＝． 答案： 2．已知M(m，n)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，則的最大值為________，最小值為________． 解析：因為x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圓心C(2,7)，半徑r＝2，記點Q(－2,3)． 因為表示直線MQ的斜率， 設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0，則＝k． 由直線MQ與圓C有公共點， 所以≤2． 可得2－≤k≤2＋， 所以的最大值為2＋，最小值為2－． 答案：2＋　2－