《2022年高考總復習文數(shù)（北師大版）講義：第6章 第03節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高考總復習文數(shù)（北師大版）講義：第6章 第03節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和 Word版含答案（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高考總復習文數(shù)（北師大版）講義：第6章 第03節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和 Word版含答案 考點 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 等比數(shù)列的定義 xx·全國卷Ⅰ·T17·12分 等比數(shù)列的通項及前n項和公式 邏輯推理 等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式 xx·全國卷Ⅱ·T17·12分 求通項公式 數(shù)學運算 xx·全國卷Ⅱ·T9·5分　 通項公式 數(shù)學運算 命題分析 本節(jié)內(nèi)容的考查以等比數(shù)列通項公式、前n項和公式及利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題為主，難度中低檔. (3)數(shù)列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比數(shù)列； (3)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S

2、3m－S2m，…仍是等比數(shù)列(此時{an}的公比q≠－1)． 提醒： 辨明三個易誤點 (1)由于等比數(shù)列的每一項都可能作分母，故每一項均不為0，因此q也不能為0，但q可為正數(shù)，也可為負數(shù)． (2)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0. (3)在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導致解題失誤． 1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)常數(shù)列一定是等比數(shù)列．(　　) (2)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項．(　　) (3)滿足an＋1＝qan(n∈N＋，q

3、為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(　　) (4)G為a，b的等比中項?G2＝ab.(　　) (5)數(shù)列{an}的通項公式是an＝an，則其前n項和為Sn＝.(　　) (6)q＞1時，等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．(　　) (7)在等比數(shù)列{an}中，若am·an＝ap·aq，則m＋n＝p＋q.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×　(7)× 2．對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是(　　) A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列　　　 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列 C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列　　　 D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列 解析

4、：選D　由等比數(shù)列的性質(zhì)得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比數(shù)列，選D． 3．(教材習題改編)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝(　　) A．31　　　 B．32 C．63　　　 D．64 解析：選C　由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故選C． 4．在等比數(shù)列{an}中，若a1·a5＝16，a4＝8，則a6＝________. 解析：由題意得，a2·a4＝a1·a5＝16，所以a2＝2， 所以q2＝＝4，所以a6＝a4q2＝32. 答案：32 5．(xx

5、·全國卷Ⅰ)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和．若Sn＝126，則n＝________. 解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6. 答案：6 等比數(shù)列的基本運算 [明技法] 解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常用思想方法 (1)方程的思想：等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解． (2)分類討論的思想：等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當

6、q≠1時，{an}的前n項和Sn＝＝. [提能力] 【典例】 (1)(xx·全國卷Ⅱ)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(　　) A．1盞 B．3盞 C．5盞　　　 D．9盞 解析：選B　設塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q， 則由題意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.故選B． (2)(xx·赤峰模擬)設等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，若a1＝1，a3

7、＝4，Sk＝63，則k＝(　　) A．4　　　 B．5 C．6　　　 D．7 解析：選C　設等比數(shù)列{an}的公比為q，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝＝4.又{an}的各項均為正數(shù)，所以q＝2.而Sk＝＝63，所以2k－1＝63，解得k＝6. [刷好題] (xx·全國卷Ⅲ)設等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，則a4＝________. 解析：設等比數(shù)列{an}的公比為q， ∵a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3， ∴a1(1＋q)＝－1，① a1(1－q2)＝－3.② ②÷①，得1－q＝3，∴q＝－2. ∴a1＝1， ∴a4＝a1q3＝1×(－2

8、)3＝－8. 答案：－8 等比數(shù)列的性質(zhì)及應用 [明技法] 等比數(shù)列常見性質(zhì)的應用 等比數(shù)列性質(zhì)的應用可以分為三類： (1)通項公式的變形； (2)等比中項的變形； (3)前n項和公式的變形． 根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口． [提能力] 【典例】 (1)(xx·全國卷Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則a2＝(　　) A．2　　　 B．1 C．　　　 D． 解析：選C　方法一　∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)， ∴a＝4(a4－1)，∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2. 又∵q3＝＝＝8

9、，∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故選C． 方法二　∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)， 將a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，解得q＝2, ∴a2＝a1q＝，故選C． (2)(xx·臨沂檢測)已知各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為其前n項和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝(　　) A．150　　　 B．－200 C．150或－200　　　 D．400或－50 解析：選A　依題意，數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20

10、－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20＞0，因此，S20＝30，S20－S10＝20，S40＝70＋80＝150. [刷好題] 1．(xx·廣州綜合測試)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若a4＋a6＝10，則a7(a1＋2a3)＋a3a9的值為(　　) A．10　　　 B．20 C．100　　　 D．200 解析：選C　a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a＋2a4a6＋a＝(a4＋a6)2＝102＝100. 2．(xx·長春調(diào)研)在正項等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝3

11、24，則n＝________. 解析：設數(shù)列{an}的公比為q，由a1a2a3＝4＝aq3與a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324， 因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14. 答案：14 等比數(shù)列的判斷與證明 [明技法] 等比數(shù)列的判定方法 (1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N＋)，則{an}是等比數(shù)列． (2)等比中項法：若數(shù)列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N＋)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列． (3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N＋)，則{an

12、}是等比數(shù)列． 說明：前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，后者常用于選擇題、填空題中的判定． [提能力] 【典例】 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N＋)，若bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列． 證明：∵an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an， ∴＝＝＝＝2. ∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝5. ∴b1＝a2－2a1＝3. ∴數(shù)列{bn}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列． [母題變式1] 在本例的條件下，求{an}的通項公式． 解：由題意知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，

13、 所以－＝， 故是首項為，公差為的等差數(shù)列． 所以＝＋(n－1)·＝， 所以an＝(3n－1)·2n－2. [母題變式2]在本例中，若cn＝，證明：{cn}為等比數(shù)列． 證明：由[母題變式1]知，an＝(3n－1)·2n－2， ∴cn＝2n－2. ∴＝＝2. 又∵c1＝21－2＝， ∴數(shù)列{cn}是首項為，公比為2的等比數(shù)列． [刷好題] (xx·全國卷Ⅲ)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項公式． 解：(1)由題意得a2＝，a3＝. (2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)． 因為{an}的各項都為正數(shù)，所以＝. 故{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列， 因此an＝.