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1、2022年高考數(shù)學(xué) 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預(yù)測(cè)卷 3
一、填空題 (本大題共14小題,每小題5分,共70分.把每小題的答案填在答題紙相應(yīng)的位置上)
1.若全集,集合,則 ▲ .
2.若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程是,則等于 ▲ .
3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ▲ .
4.運(yùn)行下面的一個(gè)流程圖,則輸出的值是 ▲ .
5. 若從集合中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù),放回后再隨
機(jī)取出一個(gè)數(shù),則使方程表示焦點(diǎn)在x軸上
的橢圓的概率為 ▲ .
6. 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ▲ .
7.若直徑為2的半圓上有一點(diǎn),則點(diǎn)到直徑兩端點(diǎn)
距離之和的最大值為 ▲ ?。?
2、8.樣本容量為10的一組數(shù)據(jù),它們的平均數(shù)是5,頻率
如條形圖所示,則這組數(shù)據(jù)的方差等于 ▲ .
9.已知是等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和,若≥4,≤16,
則的最大值是 ▲ .
10. 已知函數(shù),若存在常數(shù),對(duì)唯
一的,使得,則稱(chēng)常數(shù)是函數(shù)
在上的 “翔宇一品數(shù)”。若已知函數(shù),則
在上的“翔宇一品數(shù)”是 ▲ .
11.如圖,已知某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線(xiàn)近似滿(mǎn)足
函數(shù),,則溫度變化曲線(xiàn)的函數(shù)解
析式為 ▲ .
12.已知球的半徑為4,圓與圓為該球的兩個(gè)小圓,為圓與圓的公共弦,,若,則兩圓圓心的距離 ▲ .
13.如圖
3、,是直線(xiàn)上三點(diǎn),是
直線(xiàn)外一點(diǎn),若,
∠,∠,記∠,
則= ▲ .(僅用表示)
14.已知函數(shù),則當(dāng) ▲ 時(shí),取得最小值.
二、解答題(本大題共6小題,共90分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
15.(本小題滿(mǎn)分14分)
已知復(fù)數(shù),,(i為虛數(shù)單位,),且.
(1)若且,求的值;
(2)設(shè),已知當(dāng)時(shí),,試求的值.
16.(本小題滿(mǎn)分14分)
如圖a,在直角梯形中,,為的中點(diǎn),在上,且。已知,沿線(xiàn)段把四邊形
折起如圖b,使平面⊥平面。
(1)求證:⊥平面;
(2)求三棱錐體積.
17.(本小題滿(mǎn)分14分)
已知點(diǎn),點(diǎn)是
4、⊙:上任意兩個(gè)不同的點(diǎn),且滿(mǎn)足,設(shè)為弦的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)試探究在軌跡上是否存在這樣的點(diǎn):
它到直線(xiàn)的距離恰好等于到點(diǎn)的距離?
若存在,求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
18.(本小題滿(mǎn)分16分)
某廠生產(chǎn)一種儀器,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制,會(huì)產(chǎn)生一些次品.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,該廠生產(chǎn)這種儀器,次品率與日產(chǎn)量(件)之間大體滿(mǎn)足關(guān)系:
(注:次品率,如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品,約有1件為次品.其余為合格品.)
已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利元,但每生產(chǎn)一件次品將虧損元,故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量,
(1)試將生產(chǎn)這種儀
5、器每天的盈利額(元)表示為日產(chǎn)量(件)的函數(shù);
(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí),可獲得最大利潤(rùn)?
19.(本小題滿(mǎn)分16分)
已知分別以和為公差的等差數(shù)列和滿(mǎn)足, ,
(1)若, ≥2917,且,求的取值范圍;
(2)若,且數(shù)列…的前項(xiàng)和滿(mǎn)足,
①求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
②令,, >0且,探究不等式是否對(duì)一切正整數(shù)恒成立?
20.(本小題滿(mǎn)分16分)
已知函數(shù),并設(shè),
(1)若圖像在處的切線(xiàn)方程為,求、的值;
(2)若函數(shù)是上單調(diào)遞減,則
① 當(dāng)時(shí),試判斷與的大小關(guān)系,并證明之;
② 對(duì)滿(mǎn)足題設(shè)條件的任意、,不等式恒成立,求的
6、取值范圍.
數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)
21.【選做題】在下面A、B、C、D四個(gè)小題中只能選做兩題,每小題10分,共20分.
A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,已知、是圓的兩條弦,且是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn),
已知,求線(xiàn)段的長(zhǎng)度.
B.選修4-2:矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量和特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量,試求矩陣A.
C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程是(是參數(shù)),若以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,取與直角坐標(biāo)系中相同的單位長(zhǎng)度,建立極坐標(biāo)系,求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程.
7、D.選修4-5:不等式選講
已知關(guān)于的不等式().
(1)當(dāng)時(shí),求此不等式的解集;
(2)若此不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
22.[必做題](本小題滿(mǎn)分10分)
在十字路口的路邊,有人在促銷(xiāo)木糖醇口香糖,只聽(tīng)喇叭里喊道:木糖醇口香糖,10元錢(qián)三瓶,有8種口味供你選擇(其中有一種為草莓口味)。小明一看,只見(jiàn)一大堆瓶裝口香糖堆在一起(假設(shè)各種口味的口香糖均超過(guò)3瓶,且每瓶?jī)r(jià)值均相同).
(1)小明花10元錢(qián)買(mǎi)三瓶,請(qǐng)問(wèn)小明共有多少種選擇的可能性?
(2)小明花10元錢(qián)買(mǎi)三瓶,售貨員隨便拿三瓶給小明,請(qǐng)列出有小明喜歡的草莓味口香糖瓶數(shù)的分布列,并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望.
8、
23.[必做題](本小題滿(mǎn)分10分)
已知,(其中)
.
(1)求;
(2)求證:當(dāng)時(shí),.
參考答案
必做題部分
一、填空題(本大題14小題,每小題5分)
1.; 2.3; 3.; 4.35; 5.; 6. 2; 7. ; 8. 7.2;
9.9; 10. ; 11. ; 12. 3; 13. ; 14. .
二、解答題(本大題6小題,共90分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)
15.(1)因?yàn)椋?,所以,………………?分
若,則,得. …………………………………………4分
9、
因?yàn)?,所以,所以或?
所以或. ………………………………………………………………………………6分
(2)因?yàn)椋? ……………………………………8分
因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以,,……………………10分
所以 ……………………………………………12分
…………………………………14分
16.(1)證明:在圖a中,∥,⊥,
∴⊥,…………………………………2分
在圖b中,⊥,又平面⊥平面,
且平面平面,
⊥平面,平面,∴⊥, …………………………………………5分
又∵⊥,,∴⊥平面;………………………………………………7分
(2)∵平面⊥平面,且平面平面,⊥,
平面,∴⊥
10、平面,…………………………………………………………10分
∴為三棱錐的高,且,
又∵,∴,…………………………………………………………14分
17.(1)法一:連結(jié),由,知⊥
∴||=||=||=,由垂徑定理知
即,………………………………………4分
設(shè)點(diǎn),則有,
化簡(jiǎn),得到;………………………………8分
法二:設(shè),,,
根據(jù)題意,知,,
∴
故 ……① ………4分
又,有,即,
∴,代入①式,得到,
化簡(jiǎn),得到; …………………………………………………………………………8分
(2)根據(jù)拋物線(xiàn)的定義,到直線(xiàn)的距離等于到點(diǎn)的距離的點(diǎn)都在拋物線(xiàn)
上,其中,∴,故拋
11、物線(xiàn)方程為,………………………………10分
由方程組得,解得, …………………………12分
由于,故,此時(shí),
故滿(mǎn)足條件的點(diǎn)存在,其坐標(biāo)為和. ………………………………………………14分
18.(1)當(dāng)時(shí),,所以每天的盈利額. …………………… 2分
當(dāng)時(shí),,所以每天生產(chǎn)的合格儀器有件,次品有件,故每天的盈利額,……………4分
綜上,日盈利額(元)與日產(chǎn)量(件)的函數(shù)關(guān)系為:
. ………………………………………………………6分
(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),每天的盈利額為0;
當(dāng)時(shí),,因?yàn)椋?…8分
令,得或,因?yàn)椋?6,故時(shí),為增函數(shù).
令,得,故時(shí),為減函數(shù). …
12、…………………………………10分
所以,當(dāng)時(shí),(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立), ………………………12分
當(dāng)時(shí), (等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得), ……………14分
綜上,若,則當(dāng)日產(chǎn)量為84件時(shí),可獲得最大利潤(rùn);若,則當(dāng)日產(chǎn)量為時(shí),可獲得最大利潤(rùn).………………………………………………………………………………16分
19.(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列中,,所以,
因?yàn)榈炔顢?shù)列中,,所以,……………………2分
又因?yàn)椋?,故有?
因?yàn)椋裕? …………………………………………………………………………4分
(2)①因?yàn)?,所以,即?
亦即,所以有,解得,…6分
由知,, …………………
13、…………………8分
所以; ………………………………………………………………………10分
②因?yàn)?,所以?
又等價(jià)于,且>0且,
當(dāng)時(shí),若時(shí),,
若時(shí),,所以成立,
若時(shí),,所以成立,
所以當(dāng)時(shí),對(duì)任意,所以成立. …………………………………14分
同理可證,當(dāng)時(shí),對(duì)任意,所以成立.
即當(dāng)>0且時(shí),對(duì)任意,所以成立.……………………………16分
20.(1)因?yàn)?,所以?…………………2分
又因?yàn)閳D像在處的切線(xiàn)方程為,
所以 ,即,解得 ,. ……………………………………4分
(2)①因?yàn)槭巧系膯握{(diào)遞減函數(shù),所以恒成立,
14、
即對(duì)任意的恒成立, ………………………………………6分
所以,所以,即且,
令,由,知是減函數(shù),
故在內(nèi)取得最小值,又,
所以時(shí),,即. ……………………………………10分
② 由①知,,當(dāng)時(shí),或,
因?yàn)?,即,解得,或,所以?
而,
所以或,
不等式等價(jià)于,
變?yōu)榛蚝愠闪?,? ………………………………………………12分
當(dāng)時(shí),,即,所以不等式恒成立等價(jià)于恒成立,等價(jià)于, ………………………………………14分
而,
因?yàn)?,,所以,所以,所以?
所以,所以. ……………………………………………………16分
附加題部分
21.【選做題】
A.
15、(選修4-l:幾何證明選講)
連接BC設(shè)相交于點(diǎn),,∵AB是線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn),
∴AB是圓的直徑,∠ACB=90°………………………2分
則,.由射影定理得,
即有,解得(舍)或 …………8分
∴ ,即.………10分
B.(選修4—2:矩陣與變換)
設(shè)矩陣,這里,
因?yàn)槭蔷仃嘇的屬于的特征向量,則有 ①, ………4分
又因?yàn)槭蔷仃嘇的屬于的特征向量,則有 ②, ………6分
根據(jù)①②,則有 ………………………………………………………………8分
從而因此, …………………………………………10分
C.(選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
由得,兩式平方后相
16、加得,………………………4分
∴曲線(xiàn)是以為圓心,半徑等于的圓.令,
代入并整理得.即曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是. …………………………10分
D.(選修4-5:不等式選講)
(1)當(dāng)時(shí),得, 即, 解得,
∴不等式的解集為. ………………………………………………………5分
(2)∵ ∴原不等式解集為R等價(jià)于 ∴
∵,∴ ∴實(shí)數(shù)的取值范圍為. …………………………………………10分
22.[必做題]
(1)若8種口味均不一樣,有種;若其中兩瓶口味一樣,有種;
若三瓶口味一樣,有8種。所以小明共有種選擇。 …………………………4分
(2)的取值為0,1,2,3.
;;
;.
所以的分布列為 ……………………………………………………………………………………8分
0
1
2
3
其數(shù)學(xué)期望.……………………………………………10分
23.[必做題] (1)取,則;取,則,
∴; ……………………………………4分
(2)要證,只需證,
當(dāng)時(shí),;
假設(shè)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立,即,
兩邊同乘以3 得:
而
∴,即時(shí)結(jié)論也成立,
∴當(dāng)時(shí),成立.
綜上原不等式獲證. …………………………………………………………………10分