《2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第6章 第04節(jié) 數(shù)列求和 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第6章 第04節(jié) 數(shù)列求和 Word版含答案（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第6章 第04節(jié) 數(shù)列求和 Word版含答案 考點 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 數(shù)列求和 xx·全國卷Ⅲ·T17·12分 求數(shù)列的通項公式及前n項和 數(shù)學(xué)運算 xx·全國卷Ⅱ·T17·12分 求數(shù)列的通項公式及前n項和 數(shù)學(xué)運算 xx·全國卷Ⅰ·T17·12分 求數(shù)列的通項公式及前n項和 數(shù)學(xué)運算 命題分析 本節(jié)內(nèi)容一直是高考的熱點，尤其是等差、等比數(shù)列的前n項和公式，錯位相減法、裂項相消法求和為考查重點，常與函數(shù)、方程、不等式等聯(lián)系綜合考查，多以解答題形式出現(xiàn). A．100＋200×(1－2－9)　　　 B．100

2、＋100(1－2－9) C．200(1－2－9)　　　 D．100(1－2－9) 解析：選A　從第1次著地后開始，每次著地所經(jīng)過的路程構(gòu)成一個公比q＝的等比數(shù)列．所以經(jīng)過的路程S＝100＋2＝100＋200×(1－2－9)． 3．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和為________． 解析：Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2. 答案：2n＋1＋n2－2 4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝________. 解析：Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① 所以2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋

3、1，② ①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1， 所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2. 答案：(n－1)2n＋1＋2 分組轉(zhuǎn)化法求和 [明技法] 分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求{an}的前n項和； (2)通項公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和． [提能力] 【典例】 (xx·唐山檢測)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通項公式；

4、 (2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和． 解：(1)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝＝＝3， 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27. 所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…)． 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因為a1＝b1＝1，a14＝b4＝27， 所以1＋13d＝27，即d＝2. 所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…)． (2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 從而數(shù)列{cn}的前n項和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝＋＝n2＋. [刷好題] 已知數(shù)列{an}，{bn

5、}滿足a1＝5，an＝2an－1＋3n－1(n≥2，n∈N＋)，bn＝an－3n(n∈N＋)． (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn. 解：(1)∵an＝2an－1＋3n－1(n∈N＋，n≥2)， ∴an－3n＝2(an－1－3n－1)， ∴bn＝2bn－1(n∈N＋，n≥2)． ∵b1＝a1－3＝2≠0， ∴bn≠0(n≥2)，∴＝2， ∴{bn}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列． ∴bn＝2·2n－1＝2n. (2)(1)知an＝bn＋3n＝2n＋3n， ∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(3＋32＋…＋3n)＝＋＝2n＋1＋－.

6、錯位相減法求和 [明技法] 錯位相減法求和策略 (1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解． (2)在寫“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式． (3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解． [提能力] 【典例】 (xx·太原模擬)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7. (1)

7、求{an}和{bn}的通項公式； (2)設(shè)cn＝anbn，n∈N＋，求數(shù)列{cn}的前n項和． 解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，數(shù)列{bn}的公差為d，由題意知q>0. 由已知，有 消去d，整理得q4－2q2－8＝0，解得q2＝4. 又因為q>0，所以q＝2，所以d＝2. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1，n∈N＋； 數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1，n∈N＋. (2)由(1)有cn＝(2n－1)·2n－1， 設(shè){cn}的前n項和為Sn， 則Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1， 2Sn＝1×21＋3×

8、22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋ (2n－1)×2n， 上述兩式相減，得 －Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)·2n＝－(2n－3)·2n－3， 所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N＋. [母題變式] 若cn＝，如何求解？ 解：∵an＝2n－1，n∈N＋，bn＝2n－1，n∈N＋. ∴cn＝. 設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，則 Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋＋…＋ Sn＝＋＋…＋＋ 上述兩式相減，得 Sn＝1＋2(＋＋…＋)－＝1＋2×(1－)－ ＝3－－＝3－. ∴Sn＝6－，n∈N＋. [刷

9、好題] (xx·漳州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)∵{an－1}是等比數(shù)列且a1－1＝2，a2－1＝4， ＝2， ∴an－1＝2·2n－1＝2n， ∴an＝2n＋1. (2)bn＝nan＝n·2n＋n， 故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)． 令T＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n， 則2T＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1， 兩式相減，得－T＝2＋

10、22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1， ∴T＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1. ∵1＋2＋3＋…＋n＝， ∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋. 裂項相消法求和 [析考情] 裂項法求和在高考中經(jīng)常考查，多以解答題的形式考查，并且往往出現(xiàn)在第二問，難度屬中低檔． [提能力] 命題點1：an＝型裂項求和 【典例1】 數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝2n＋1－2，數(shù)列{bn}是首項為a1，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，且b1，b3，b9成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式； (2)若cn＝(n∈N＋)，求數(shù)列{cn}的前n項和

11、Tn. 解：(1)當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n， 又a1＝S1＝21＋1－2＝2＝21，也滿足上式， 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.則b1＝a1＝2. 由b1，b3，b9成等比數(shù)列，得(2＋2d)2＝2×(2＋8d)， 解得d＝0(舍去)或d＝2， 所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n. (2)由(1)得cn＝＝＝－， 所以數(shù)列{cn}的前n項和Tn＝＋＋＋…＋ ＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 命題點2：形如an＝的數(shù)列求和 【典例2】 (xx·濰坊模擬)正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.

12、 (1)求數(shù)列{an}的通項公式an； (2)令bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.證明：對于任意的n∈N＋，都有Tn<. (1)解：由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0， 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0. 由于{an}是正項數(shù)列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n. 于是a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n. 又a1＝2也滿足上式， 綜上，數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n. (2)證明：由于an＝2n， 故bn＝＝＝. Tn＝ ＝<＝. [悟技法] 利用裂項相消法求和的注意事項 (1)裂項相消

13、法求和就是將數(shù)列中的每一項裂成兩項或多項，使這些裂開的項出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注意消去了哪些項，保留了哪些項，從而達到求和的目的． (2)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項． [刷好題] 1．(xx·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝xa的圖像過點(4,2)，令an＝，n∈N＋.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2 016＝(　　) A．－1　　　 B．－1 C．－1　　　 D．＋1 解析：選C　由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝，則f(x)＝x. ∴an＝＝＝－，S2 016＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 016＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1. 2．(xx·沈陽質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)由題設(shè)知a1a4＝a2a3＝8， 又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)． 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a4＝a1q3得q＝2， 故an＝a1qn－1＝2n－1，n∈N＋. (2)Sn＝＝2n－1， 又bn＝＝＝－， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝＋＋…＋ ＝－ ＝1－，n∈N＋.