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1、2022年高考數(shù)學(xué)40個考點總動員 考點16 平面向量的數(shù)量積（學(xué)生版） 新課標(biāo) 【高考再現(xiàn)】 熱點一 平面向量的數(shù)量積 1.(xx年高考天津卷理科7)已知△ABC為等邊三角形，，設(shè)點P，Q滿足，，，若，則( ) （A） ?。ǎ拢　　。ǎ茫　　。ǎ模? 2. (xx年高考湖南卷理科7)在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1則BC=( ) A. B. C. D. 3.(xx年高考陜西卷文科7)設(shè)向量=（1.）與=（-1， 2）垂直，則等于 （ ） A B C .0

2、 D.-1 【答案】C 【解析】正確的是C. 4．(xx年高考北京卷理科13)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為________，的最大值為______. 5. (xx年高考浙江卷文科15)在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則=________. 6.（xx年高考江蘇卷9）如圖，在矩形ABCD中，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若，則的值是 ． 7.(xx年高考浙江卷理科15)在ABC中，M是BC的中點，AM＝3，BC＝10，則＝______________． 8．(xx年高考上海卷理

3、科12)在平行四邊形中，，邊、的長分別為2、1，若、分別是邊、上的點，且滿足，則的取值范圍是 . 【答案】 【解析】以向量所在直線為軸，以向量所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，因為，所以 設(shè)根據(jù)題意，有. 所以，所以 9. (xx年高考湖南卷文科15)如圖4，在平行四邊形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足為P，且= . 【方法總結(jié)】 1.當(dāng)向量表示平面圖形中的一些有向線段時，要根據(jù)向量加減法運算的幾何法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把題目中未知的向量用已知的向量表示出來，在這個過程中要充分利用共線向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知識． 2.

4、求向量的數(shù)量積的公式有兩個：一是定義式＝；二是坐標(biāo)式.定義式的特點是具有強(qiáng)烈的幾何含義，需要明確兩個向量的模及夾角，夾角的求解方法靈活多樣，一般通過具體的圖形可確定，因此采用數(shù)形結(jié)合思想是利用定義法求數(shù)量積的一個重要途徑.坐標(biāo)式的特點具有明顯的代數(shù)特征，解題時需要引入直角坐標(biāo)系，明確向量的坐標(biāo)進(jìn)行求解.即向量問題“坐標(biāo)化”，使得問題操作起來容易、方便. 熱點二 平面向量的模 1.(xx年高考重慶卷理科6)設(shè)R，向量，且，則 ( ) （A） （B） （C） （D）10 2.(xx年高考安徽卷理科14)若平面向量滿足：；則的最小

5、值 3.(xx年高考新課標(biāo)全國卷理科13)已知向量夾角為 ，且；則 【答案】 【解析】 【方法總結(jié)】 高考對平面向量的模的考查，常以小題形式出現(xiàn)，屬中檔題，?？疾轭愋停孩侔严蛄糠旁谶m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，給有關(guān)向量賦予具體坐標(biāo)求向量的模，如向量a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝即可求解．②不把向量放在坐標(biāo)系中研究，求解此類問題的通常做法是利用向量運算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式，關(guān)鍵是會把向量a的模進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：|a|＝. 熱點三 平面向量的夾角 1.(xx年高考廣東卷文科10) 對任意兩個非零的平面向量和，定義. 若兩個非零的平面向量，滿足與的夾角，且和

6、都在集合中，則 A. B. C. 1 D. 2. (xx年高考湖北卷文科13)已知向量=（1,0），=（1,1），則 （Ⅰ）與同向的單位向量的坐標(biāo)表示為____________； （Ⅱ）向量與向量夾角的余弦值為____________。 【方法總結(jié)】 高考對平面向量夾角的考查，常以小題形式出現(xiàn)，屬中檔題．有時也在大題中出現(xiàn)，屬中檔題．兩向量夾角公式其實是平面向量數(shù)量積公式的變形和應(yīng)用、有關(guān)兩向量夾角問題的考查，常見類型：①依條件等式，運算求夾角，此類問題求解過程中應(yīng)關(guān)注夾角取值范圍；②依已知圖形求兩向量夾角，此類

7、題求解過程應(yīng)抓住“兩向量共起點”，便可避開陷阱，順利求解． 【考點剖析】 一．明確要求 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義． 2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． 3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算． 4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角， 二．命題方向 三．規(guī)律總結(jié) 一個條件 兩個向量垂直的充要條件：a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 兩個探究 (1)若a·b＞0，能否說明a和b的夾角為銳角？ (2)若a·b＜0，能否說明a和b的夾角為鈍角？ 三個防范 (1)若a，b，c是實數(shù)，則ab＝ac?b＝c(a≠0)；但對于向量就沒有這樣的性

8、質(zhì)，即若向量a，b，c若滿足a·b＝a·c(a≠0)，則不一定有b＝c，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量． (2)數(shù)量積運算不適合結(jié)合律，即(a·b)c≠a(b·c)，這是由于(a·b)c表示一個與c共線的向量，a(b·c)表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，因此(a·b)c與a(b·c)不一定相等． (3)向量夾角的概念要領(lǐng)會，比如正三角形ABC中，與的夾角應(yīng)為120°，而不是60°. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 2.(經(jīng)典習(xí)題)已知|a|＝4，|b|＝3，a與b的夾角為120°，則b在a方向上的投影為

9、 (　　) A．2 B. C．－2 D．－ 4. (經(jīng)典習(xí)題)在△ABC中，M是BC的中點，||＝1，＝2，則·(＋)＝________. 5.已知向量a，b滿足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為________． 【名校模擬】 一．基礎(chǔ)扎實 1.(北京市東城區(qū)xx第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）理)若向量，滿足，，且，則與的夾角為( ) （A） （B） （C） （D） 2.(xx年長春市高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測

10、試?yán)?的半徑為3，直徑上一點使，為另一直徑的兩個端點，則 A. B. C. D. 4.(浙江省寧波市鄞州區(qū)xx屆高三高考適應(yīng)性考試（3月）文)在邊長為6的正中，點滿足則等于（ ） 5.(xx云南省第一次高中畢業(yè)生統(tǒng)一檢測復(fù)習(xí)文)已知，，則向量在向量方向上的投影等于 （A） （B） （C） （D） 6.（湖北黃岡xx高三五月模擬考試文）已知向量,,,則（ ） A．20 B. 40 C. D.

11、7.(東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習(xí)(二) （文）) 已知向量,的夾角為,,,則 . 8.（北京xx第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）文）若向量，向量， 則= ，與的夾角為 ． 二．能力拔高 10.(唐山市xx高三年級第一次模擬考試文) 在中，，則 (A) 10 (B) -10 (C) 4 (D) 4 12.（xx理科數(shù)學(xué)試卷）△ABC外接圓的半徑為，圓心為，且，，則的值是 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 13． (湖北武漢xx畢業(yè)生五月供題訓(xùn)練（三）文)函數(shù)y=的部分

12、圖象如圖所示，則（= A．-4 B．4 C．-2 D．2 14. (湖北八校文xx屆高三第二次聯(lián)考)已知⊙及點A（1,3），BC為的 任意一條直徑，則＝（ ） A.6　　　 B.5　　 　C.4　　　　　D.不確定 三．提升自我 16.【xx學(xué)年浙江省第二次五校聯(lián)考理】設(shè)，若，則的最大值為 （A） （B）2 （C） （D） 3 18.(河北省唐山市xx高三年級第二次模擬考試文)在△ABC中， （則角A的最大值為 。 【原創(chuàng)預(yù)測】 1．設(shè)若是直角三角形，則k可取值的個數(shù)是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.若有不同的三點滿足則這三點 （ ） A．組成銳角三角形 B．組成直角三角形 C．組成鈍角三角形 D．在同一條直線上