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(全國通用版)2022-2023高中物理 第十八章 原子結(jié)構(gòu) 第一節(jié) 電子的發(fā)現(xiàn)學案 新人教版選修3-5

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1、(全國通用版)2022-2023高中物理 第十八章 原子結(jié)構(gòu) 第一節(jié) 電子的發(fā)現(xiàn)學案 新人教版選修3-5 〔情 景 切 入〕 世界是物質(zhì)的。物質(zhì)是絢麗多彩的:火紅的太陽,蔚藍的大海。還有一些物質(zhì)是肉眼無法感知到的。物質(zhì)是有結(jié)構(gòu)的,組成物質(zhì)的原子可以再分嗎?它有什么樣的結(jié)構(gòu)呢?道爾頓、湯姆孫、盧瑟福、玻爾等物理學家心目中的原子是什么樣的呢?學了本章內(nèi)容,你就能回答以上問題了。 〔知 識 導 航〕 本章內(nèi)容以人們認識微觀世界的過程為線索,介紹了歷史上著名的實驗及根據(jù)實驗得出的關(guān)于電子的發(fā)現(xiàn)、原子結(jié)構(gòu)、原子光譜和激光的產(chǎn)生的基礎知識。 本章內(nèi)容可分為二個單元:第一單元(

2、第1~2節(jié))主要介紹了電子及原子結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展過程。第二單元(第3~4節(jié))主要講了氫原子光譜的實驗規(guī)律及玻爾理論。 本章的重點是原子的核式結(jié)構(gòu)及氫原子的能級躍遷。本章的難點是人類研究微觀世界的方法、原子的能級躍遷。 〔學 法 指 導〕 1.學習本章時要注意沿著歷史的足跡,了解和認識人類發(fā)現(xiàn)電子、原子結(jié)構(gòu)探索的過程,體會科學家研究問題的方法精髓:大膽猜想,設計實驗檢驗的科學思維方法,了解原子結(jié)構(gòu)理論在現(xiàn)代科學技術(shù)中的應用。 2.要理解α粒子散射實驗,對α粒子散射實驗的實驗裝置、怎樣觀察實驗現(xiàn)象都要十分清楚??刹捎媚嫦蛩季S,結(jié)合原子的核式結(jié)構(gòu)模型來加深理解實驗中絕大多數(shù)α粒子不發(fā)生偏轉(zhuǎn),

3、少數(shù)α粒子發(fā)生較大角度偏轉(zhuǎn),極少數(shù)α粒子偏轉(zhuǎn)角度超過90°的原因。 3.盧瑟福的核式結(jié)構(gòu)模型與玻爾原子模型是兩個重要的原子模型,知識它們的相同點在于帶正電的核處在圓心上,電子繞核做經(jīng)典的圓周運動。不同點是玻爾引入了量子化,認為電子的軌道半徑和能量值是不連續(xù)的。 4.結(jié)合能級圖深刻理解氫原子能級躍遷問題,知道原子躍遷的條件是光子能量符合兩個軌道之間的能量差。知道電離是一種特殊的躍遷。會結(jié)合能級圖計算氫原子躍遷時釋放或吸收光子的頻率。 ※ 了解電子發(fā)現(xiàn)的過程及輝光放電現(xiàn)象 ※ 知道電子的概念及電子的電荷的數(shù)值及質(zhì)量 ※ 體驗科學思想、方法的重要性和科學家的崇高科學精神 知識點

4、1 陰極射線 1.演示實驗 如圖所示,真空玻璃管中K是金屬板制成的__陰極__,接感應線圈的負極,A是金屬環(huán)制成的__陽極__,接感應線圈的正極,接通電源后,感應線圈產(chǎn)生的__近萬伏__的高電壓加在兩個電極之間??捎^察管端玻璃壁上亮度的變化。 2.實驗現(xiàn)象 德國物理學家普呂克爾在類似的實驗中看到玻璃壁上__淡淡的熒光__及管中物體在玻璃壁上的__影__。 3.陰極射線 熒光是由于玻璃受到__陰極__發(fā)出的某種射線的撞擊而引起的,這種射線被命名為__陰極射線__。 知識點2 電子的發(fā)現(xiàn) 1.湯姆孫的探究方法 (1)讓陰極射線分別通過電場或磁場,根據(jù)偏轉(zhuǎn)現(xiàn)象,證明它是__帶負

5、電__的粒子流并求出了其比荷。 (2)換用不同的陰極做實驗,所得__比荷__的數(shù)值都相同,是氫離子比荷的近__兩千__倍。證明這種粒子是構(gòu)成各種物質(zhì)的共同成分。 (3)進一步研究新現(xiàn)象,不論是由于正離子的轟擊,紫外光的照射,金屬受熱還是放射性物質(zhì)的自發(fā)輻射,都能發(fā)射同樣的__帶電粒子__——電子。由此可見,電子是原子的__組成部分__,是比原子更__基本__的物質(zhì)單元。 2.密立根“油滴實驗” (1)精確測定__電子電荷量__。 (2)電荷是__量子化__的。 3.電子的有關(guān)常量 電子的電量: e=__1.602×10-19__C 根據(jù)比荷,計算出電子的質(zhì)量為 m=__9.

6、1×10-31__kg 質(zhì)子質(zhì)量與電子質(zhì)量的比值為=__1836__ 4.電子發(fā)現(xiàn)的重大意義 電子是人類發(fā)現(xiàn)的第一個比原子小的粒子。電子的發(fā)現(xiàn),打破了原子__不可再分__的傳統(tǒng)觀念,使人們認識到原子不是組成物質(zhì)的__最小__微粒,原子本身也有內(nèi)部__結(jié)構(gòu)__。從此,原子物理學飛速發(fā)展,人們對物質(zhì)結(jié)構(gòu)的認識進入了一個新時代。 預習反饋 『判一判』 (1)陰極射線本質(zhì)是氫原子。(×) (2)陰極射線本質(zhì)是電磁波。(×) (3)物體的帶電荷量可以是任意值。(×) (4)物體帶電荷量的最小值為1.6×10-19C。(√) (5)陰極射線在真空中沿直線傳播。(√) 『選一選』

7、(多選)1897年英國物理學家湯姆孫發(fā)現(xiàn)了電子并被稱為“電子之父”,下列關(guān)于電子的說法正確的是( AD ) A.湯姆孫通過陰極射線在電場和磁場中的運動得出了陰極射線是帶負電的粒子的結(jié)論,并求出了陰極射線的比荷 B.湯姆孫通過光電效應的研究,發(fā)現(xiàn)了電子 C.電子的質(zhì)量是質(zhì)子質(zhì)量的1836倍 D.湯姆孫通過對不同材料做陰極發(fā)出的射線研究,并研究光電效應等現(xiàn)象,說明電子是原子的組成部分,是比原子更小的基本的物質(zhì)單元 解析:湯姆孫和他的學生測出陰極射線的電荷及比荷。 『想一想』 如圖所示為湯姆孫的氣體放電管。 (1)在金屬板D1、D2之間加上如圖所示的電場時,發(fā)現(xiàn)陰極射線向下偏轉(zhuǎn),

8、說明它帶什么性質(zhì)的電荷? (2)在金屬板D1、D2之間單獨加哪個方向的磁場,可以讓陰極射線向上偏轉(zhuǎn)? 答案:(1)帶負電 (2)垂直紙面向外 解析:(1)陰極射線在電場中向下偏轉(zhuǎn),說明射線帶負電。 (2)要使帶負電的陰極射線向上偏轉(zhuǎn),根據(jù)左手定則可知,需加垂直紙面向外的磁場。 探究一 對陰極射線的理解  S 1 在如圖所示的演示實驗中,K和A之間加上近萬伏的高電壓后,玻璃管壁上觀察到什么現(xiàn)象?該現(xiàn)象說明了什么問題? 提示:玻璃管壁上觀察到淡淡的熒光及管中物體在玻璃管壁上的影,這說明陰極能夠發(fā)出某種射線,并且撞擊玻璃引起熒光。 G  1.現(xiàn)象:真空玻璃管兩極加上高電壓

9、,玻璃管壁上發(fā)出熒光及管中物體在玻璃壁上的影。 2.命名:德國物理學家戈德斯坦將陰極發(fā)出的射線命名為陰極射線。 3.猜想: (1)陰極射線是一種電磁輻射。 (2)陰極射線是帶電微粒。 4.驗證:英國物理學家湯姆孫讓陰極射線在電場和磁場中偏轉(zhuǎn),發(fā)現(xiàn)陰極射線帶負電并測出了粒子的比荷,從而發(fā)現(xiàn)了電子。 5.實驗:密立根通過“油滴實驗”精確測定了電子的電荷量和電子的質(zhì)量。 D  典例1 (單選)如圖所示,在陰極射線管正上方平行放一通有強電流的長直導線,則陰極射線將( D ) A.向紙內(nèi)偏轉(zhuǎn) B.向紙外偏轉(zhuǎn) C.向下偏轉(zhuǎn) D.向上偏轉(zhuǎn) 解題指導:陰極射線的本質(zhì)是電子流。 解析

10、:通電直導線的電流方向向左,由安培定則可判斷導線下方的磁場垂直于紙面向外,組成陰極射線的粒子是電子,電子向右運動,由左手定則可知電子向上偏轉(zhuǎn)。故選D。,   〔對點訓練1〕 關(guān)于陰極射線,下列說法正確的是( C ) A.陰極射線就是稀薄氣體導電時的輝光放電現(xiàn)象 B.陰極射線是在真空管內(nèi)由正極放出的電子流 C.陰極射線是由德國物理學家戈德斯坦命名的 D.陰極射線就是X射線 解析:陰極射線是在真空管中由負極發(fā)出的電子流,故A、B錯誤;最早由德國物理學家戈德斯坦在1876年提出并命名為陰極射線,故C正確;陰極射線本質(zhì)是電子流,故D錯誤。 探究二 電子比荷的測定方法  S 2 帶電粒

11、子的比荷有哪些測定方法? 提示:兩種方法——電偏轉(zhuǎn)、磁偏轉(zhuǎn) G  根據(jù)電場、磁場對電子(帶電粒子)的偏轉(zhuǎn)測量比荷 (1)讓粒子通過正交的電磁場(如圖),讓其做直線運動,根據(jù)二力平衡,即F洛=F電(Bqv=qE)得到粒子的運動速度v=。 (2)在其他條件不變的情況下,撤去電場,保留磁場讓粒子在磁場中運動,由洛倫茲力提供向心力即Bqv=,根據(jù)軌跡偏轉(zhuǎn)情況,由幾何知識求出其半徑r,得== (3)當電子在勻強電場中偏轉(zhuǎn)時,y=at2=,測出電場中的偏轉(zhuǎn)量也可以確定比荷。 D  典例2 如圖所示,是對光電管產(chǎn)生的光電子進行荷質(zhì)比測定的原理圖。兩塊平行金屬板間距為d,其中N為鋅板,受紫

12、外光照射后將激發(fā)出沿不同方向運動的光電子,開關(guān)S閉合,電流表A有讀數(shù),若調(diào)節(jié)變阻器R,逐漸增大極板間的電壓,A表讀數(shù)逐漸減小,當電壓表示數(shù)為U時,A表讀數(shù)恰好為零;斷開S,在MN間加上垂直紙面的勻強磁場,當磁感應強度為B時,A表讀數(shù)也恰好為零。求光電子的比荷e/m的表達式。 解題指導:(1)當電壓表示數(shù)為U時,電流恰好為零,所以光電子的最大初動能為Ek=mv2=eU;(2)斷開開關(guān),當磁感應強度為B時,電流恰好為零,所以當磁感應強度為B時,具有最大初動能的電子做圓周運動的直徑剛好為兩塊平行板的間距d。 答案: 解析:由題意得eU=mv2 ① evB=m ② R= ③ 由①

13、②③得=。,   〔對點訓練2〕 如圖所示,電子以初速度v0從O點進入長為l、板間距離為d、電勢差為U的平行板電容器中,出電場時打在屏上P點,經(jīng)測量O′P距離為Y0,求電子的比荷。 答案: 解析:由于電子在電場中做類平拋運動,沿電場線方向做初速度為零的勻加速直線運動,滿足 Y0=at2=()2= 則= 電子電荷量的測定 1.電子的電荷量 1910年美國物理學家密立根通過著名的“油滴實驗”簡練精確地測定了電子的電量。電子電荷的現(xiàn)代值為e=1.602×10-19C。 2.電子電荷量的測定 (1)密立根實驗的原理 a.如圖所示,兩塊平行放置的水平金屬板A、B與電源相

14、連接,使A板帶正電,B板帶負電。從噴霧器噴嘴噴出的小油滴經(jīng)上面的金屬板中間的小孔,落到兩板之間的勻強電場中。 b.小油滴由于摩擦而帶負電,調(diào)節(jié)A、B兩板間的電壓,可以使小油滴靜止在兩板之間,此時電場力和重力平衡即mg=Eq,則電荷的電量q=。 他測定了數(shù)千個帶電油滴的電量,發(fā)現(xiàn)這些電量都是某個最小電量的整數(shù)倍,這個最小的電量就是電子的電量。 (2)密立根實驗更重要的發(fā)現(xiàn)是:電荷是量子化的,即任何電荷的電荷量只能是元電荷e的整數(shù)倍,并求得了元電荷即電子或質(zhì)子所帶的電荷量e。 案例 如圖,在A板上方用噴霧器將細油滴噴出,若干油滴從板上的一個小孔中落下,噴出的油滴因摩擦而帶負電。已知兩板間電

15、壓為U,間距為d時,油滴恰好靜止。撤去電場后油滴徐徐下落,最后測出油滴以速度v勻速運動,已知空氣阻力正比于速度:f=kv,則油滴所帶的電荷量q=____。 其次實驗得q的測量值見下表(單位:10-19C) 6.41 8.01 9.65 11.23 12.83 分析這些數(shù)據(jù)可知:__油滴的帶電荷量是1.6×10-19C的整數(shù)倍,故電荷的最小電荷量為1.6×10-19C__。 解析:mg-Eq=0,mg-kv=0,解得q=kv/E。油滴的帶電荷量是1.6×10-19C的整數(shù)倍,故電荷的最小電荷量為1.6×10-19C。 1.(山東海岳中學2017~2018學年高二下學

16、期期中)關(guān)于陰極射線,下列說法正確的是( D ) A.陰極射線是一種電磁輻射 B.陰極射線是在真空管內(nèi)由陰極發(fā)出的光子流 C.陰極射線是組成物體的原子 D.陰極射線可以直線傳播,也可被電場、磁場偏轉(zhuǎn) 解析:陰極射線是由陰極直接發(fā)出的電子流,可被電場、磁場偏轉(zhuǎn),A、B、C錯誤,D正確。 2.(多選)(浙江省臺州2016~2017學年高三模擬)如圖是密立根油滴實驗的示意圖。油滴從噴霧器嘴噴出,落到圖中的勻強電場中,調(diào)節(jié)兩板間的電壓,通過顯微鏡觀察到某一油滴靜止在電場中,下列說法正確的是( AD ) A.油滴帶負電 B.油滴質(zhì)量可通過天平來測量 C.只要測出兩板間的距離和電壓就

17、能求出油滴所帶的電荷量 D.該實驗測得油滴所帶電荷量等于元電荷的整數(shù)倍 解析:由圖知,電容器板間電場方向向下,油滴所受的電場力向上,則知油滴帶負電,故選項A正確;油滴的質(zhì)量很小,不能通過天平測量,故選項B錯誤;根據(jù)油滴受力平衡得mg=qE=q,得q=,所以要測出兩板間的距離、電壓和油滴的質(zhì)量才能求出油滴所帶的電荷量,故選項C錯誤;根據(jù)密立根油滴實驗研究可知:該實驗測得油滴所帶電荷量等于元電荷的整數(shù)倍,故選項D正確。 3.(江西省南昌2016~2017學年高二檢則)如圖所示,電子由靜止從O點經(jīng)電場U加速后垂直射入勻強磁場B,經(jīng)偏轉(zhuǎn)后打在MN板的P點,射入點到P點的距離為d,求電子的比荷的表

18、達式。(不考慮電子的重力) 答案: 解析:設電子的電荷量為q、質(zhì)量為m, 在加速電場U中加速的過程,根據(jù)動能定理,有 qU= 解得v= 垂直進入磁場后,電子受到的洛倫茲力提供向心力,電子做勻速圓周運動,故有Bqv=m 由題意又知: R= 由以上各式整理可得電子的比荷為:= 基礎夯實 一、選擇題(1~2題為單選題,3~5題為多選題) 1.關(guān)于陰極射線的本質(zhì),下列說法正確的是( D ) A.陰極射線的本質(zhì)是紫外線 B.陰極射線的本質(zhì)是紅外線 C.陰極射線的本質(zhì)是X射線 D.陰極射線的本質(zhì)是電子流 解析:陰極射線的本質(zhì)是帶電的粒子流,即電子流。故D項正確。

19、 2.關(guān)于電荷的電荷量,下列說法錯誤的是( B ) A.電子的電荷量是由密立根油滴實驗測得的 B.物體所帶電荷量可以是任意值 C.物體所帶電荷量最小值為1.6×10-19C D.物體所帶的電荷量都是元電荷的整數(shù)倍 解析:密立根油滴實驗測出了電子的電荷量為1.6×10-19C,并提出了電荷量子化的觀點,因而A、C正確,B錯誤;任何物體的電荷量都是e的整數(shù)倍,故D正確,因此選B。 3.關(guān)于陰極射線的性質(zhì),下列判斷正確的是( AC ) A.陰極射線帶負電 B.陰極射線帶正電 C.陰極射線的比荷比氫原子比荷大 D.陰極射線的比荷比氫原子比荷小 解析:通過讓陰極射線在電場、磁場中

20、的偏轉(zhuǎn)的研究發(fā)現(xiàn)陰極射線帶負電,而且比荷比氫原子的比荷大得多,故A、C正確。 4.如圖是電子射線管示意圖,接通電源后,電子射線由陰極沿x軸正方向射出,在熒光屏上會看到一條亮線。要使熒光屏上的亮線向下(z軸負方向)偏轉(zhuǎn),在下列措施中可采用的是( BC ) A.加一磁場,磁場方向沿z軸正方向 B.加一磁場,磁場方向沿y軸正方向 C.加一電場,電場方向沿z軸正方向 D.加一電場,電場方向沿y軸正方向 解析:由于電子沿x軸正方向運動,若所受洛倫茲力向下,使電子射線向下偏轉(zhuǎn),由左手定則可知磁場方向應沿y軸正方向;若加電場使電子射線向下偏轉(zhuǎn),所受電場力方向向下,電場方向沿z軸正方向。 5

21、.關(guān)于空氣的導電性能,下列說法正確的是( BD ) A.空氣導電,因為空氣分子中有的帶正電,有的帶負電,在強電場作用下向相反方向運動 B.空氣能夠?qū)щ?,是空氣分子在射線或強電場作用下電離的結(jié)果 C.空氣密度越大,導電性能越好 D.空氣密度變得越稀薄,越容易發(fā)出輝光 解析:空氣是由多種氣體組成的混合氣體,在正常情況下,氣體分子不帶電(顯中性),是較好的絕緣體。但在射線、受熱或強電場作用下,空氣分子被電離,才具有導電功能,且空氣密度較大時,電離的自由電荷很容易與其他空氣分子碰撞,正、負電荷重新復合,難以形成穩(wěn)定的放電電流,而電離后的自由電荷在稀薄空氣中導電性能更好,故選項B、D正確。

22、二、非選擇題 6.如圖所示為美國物理學家密立根測量油滴所帶電荷量裝置的截面圖,兩塊水平放置的金屬板間距為d。油滴從噴霧器的噴嘴噴出時,由于與噴嘴摩擦而帶負電。油滴散布在油滴室中,在重力作用下,少數(shù)油滴通過上面金屬板的小孔進入平行金屬板間,當平行金屬板間不加電壓時,由于受到氣體阻力的作用,油滴最終以速度v1豎直向下勻速運動;當上板帶正電,下板帶負電,兩板間的電壓為U時,帶電油滴恰好能以速度v2豎直向上勻速運動。已知油滴在極板間運動時所受氣體阻力的大小與其速率成正比,油滴密度為ρ,已測量出油滴的直徑為D(油滴可看做球體,球體體積公式V=πD3),重力加速度為g。 (1)設油滴受到氣體的阻力

23、f=kv,其中k為阻力系數(shù),求k的大?。? (2)求油滴所帶電荷量。 答案:(1)πρD3g (2) 解析:(1)油滴速度為v1時所受阻力f1=kv1,油滴向下勻速運動時,重力與阻力平衡,有f1=mg m=ρV=πρD3,則k=πρD3g (2)設油滴所帶電荷量為q,油滴受到的電場力為 F電=qE=q 油滴向上勻速運動時,阻力向下,油滴受力平衡,則 kv2+mg=q 油滴所帶電荷量為q=。 能力提升 一、選擇題(1題為單選題,2~4題為多選題) 1.向熒光屏上看去,電子向我們飛來,在偏轉(zhuǎn)線圈中通過如圖所示的電流,電子的偏轉(zhuǎn)方向為( A ) A.向上 B.向下

24、 C.向左 D.向右 解析:根據(jù)安培定則,環(huán)形磁鐵右側(cè)為N極、左側(cè)為S極,在環(huán)內(nèi)產(chǎn)生水平向左的勻強磁場,利用左手定則可知,電子向上偏轉(zhuǎn),選項A正確。 2.如圖所示,關(guān)于高壓的真空管,下列說法中正確的是( BD ) A.加了高壓的真空管中可以看到輝光現(xiàn)象 B.a(chǎn)為負極,b為正極 C.U1為高壓電源,U2為低壓電源 D.甲為環(huán)狀物,乙為熒光中出現(xiàn)的陰影 解析:真空中不能發(fā)生輝光放電。U1為低壓電源,U2為高壓電源。 3.如圖所示,一只陰極射線管,左側(cè)不斷有電子射出,若在管的正下方放一通電直導線AB時,發(fā)現(xiàn)射線徑跡下偏,則( BC ) A.導線中的電流由A流向B B.

25、導線中的電流由B流向A C.若要使電子束的徑跡往上偏,可以通過改變AB中的電流方向來實現(xiàn) D.電子束的徑跡與AB中的電流方向無關(guān) 解析:陰極射線的粒子帶負電,由左手定則判斷管內(nèi)磁場垂直紙面向里。由安培定則判定AB中電流的方向由B向A,A錯誤,B正確。電流方向改變,管內(nèi)磁場方向改變,電子受力方向也改變,故C正確,D錯誤。 4.如圖所示是電視機顯像管原理圖,如果發(fā)現(xiàn)電視畫面的幅度比正常偏小,可能是下列哪些原因引起的( BCD ) A.電子槍發(fā)射能力減小 B.加速電壓的電壓過高,電子速度偏大 C.偏轉(zhuǎn)線圈匝間短路,偏轉(zhuǎn)線圈有效匝數(shù)減少 D.偏轉(zhuǎn)線圈中電流過小,偏轉(zhuǎn)磁場減弱 解析

26、:電視畫面幅度減小是由于電子偏轉(zhuǎn)角度太小。一是因為電子的速度太大,即加速電壓過高;二是因為偏轉(zhuǎn)磁場太弱,偏轉(zhuǎn)線圈中電流太小或匝間短路引起的有效匝數(shù)減少都會使磁感應強度減小,故選項B、C、D正確。 二、非選擇題 5.在湯姆孫測陰極射線比荷的實驗中,采用了如圖所示的陰極射線管,從C出來的陰極射線經(jīng)過A、B間的電場加速后,水平射入長度為L的D、G平行板間,接著在熒光屏F中心出現(xiàn)熒光斑。若在D、G間加上方向向下,場強為E的勻強電場,陰極射線將向上偏轉(zhuǎn);如果再利用通電線圈在D、G電場區(qū)加上一垂直紙面的磁感應強度為B的勻強磁場(圖中未畫),熒光斑恰好回到熒光屏中心,接著再去掉電場,陰極射線向下偏轉(zhuǎn),偏

27、轉(zhuǎn)角為θ,試解決下列問題: (1)說明陰極射線的電性; (2)說明圖中磁場沿什么方向; (3)根據(jù)L、E、B和θ,求出陰極射線的比荷。 答案:(1)帶負電 (2)垂直紙面向里 (3)= 解析:(1)由于陰極射線向上偏轉(zhuǎn),因此受電場力方向向上,又由于勻強電場方向向下,則電場力的方向與電場方向相反,所以陰極射線帶負電。 (2)由于所加磁場使陰極射線受到向下的洛倫茲力,由左手定則得磁場的方向垂直紙面向里。 (3)設此射線帶電量為q,質(zhì)量為m,當射線在DG間做勻速直線運動時,有 qE=Bqv 當射線在DG間的磁場中偏轉(zhuǎn)時,有 Bqv= 同時又有L=r·sinθ 解得=

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