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1、（全國通用版）2022高考數學二輪復習 12+4分項練4 平面向量與數學文化 文 1．(2018·貴陽模擬)如圖，在△ABC中，BE是邊AC的中線，O是BE邊的中點，若＝a，＝b，則等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 答案　B 解析　∵在△ABC中，BE是AC邊上的中線， ∴＝， ∵O是BE邊的中點， ∴＝(＋)， ∴＝＋， ∵＝a，＝b， ∴＝a＋b. 2．已知向量a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|＝8，則a在a＋b方向上的投影為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由a＝(2,4)，|b|＝2，|a－2b|

2、＝8， 可知|a|＝＝2， (a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝64， 則a·b＝－7， 所以a在a＋b方向上的投影為＝ ＝＝. 3．若兩個非零向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設a，b的夾角為θ，θ∈[0，π]， 則由|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2， 得(2a＋b)2＝12， 即(2a)2＋4a·b＋b2＝4＋4a·b＋4＝12， 所以a·b＝1，所以cos θ＝，所以θ＝. 4．(2018·上饒模擬)設D，E為正三角形ABC中BC邊上的兩個三等分點，且BC

3、＝2，則·等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖， ||＝||＝2，〈，〉＝60°， ∵D，E是邊BC的兩個三等分點， ∴·＝·＝· ＝||2＋·＋||2 ＝×4＋×2×2×＋×4＝. 5．(2018·煙臺模擬)如果＝2，＝3，a·b＝4，則的值是(　　) A．24 B．2 C．－24 D．－2 答案　B 解析　由＝2，＝3，a·b＝4， 得＝＝ ＝＝2. 6．(2018·昆明模擬)程大位《算法統(tǒng)宗》里有詩云“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏．次第每人多十七，要將第八數來言．務要分明依次弟，孝和休惹外人傳．”意為：996斤棉花，分

4、別贈送給8個子女做旅費，從第一個開始，以后每人依次多17斤，直到第八個孩子為止．分配時一定要等級分明，使孝順子女的美德外傳，則第八個孩子分得斤數為(　　) A．65 B．176 C．183 D．184 答案　D 解析　根據題意可得每個孩子所得棉花的斤數構成一個等差數列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996. 由等差數列前n項和公式可得8a1＋×17＝996， 解得a1＝65. 由等差數列通項公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184. 7．八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中OA＝1，則給出下列結論：

5、 ①·＝0；②·＝－； ③＋＝－；④|－|＝. 其中正確結論的個數為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　B 解析　正八邊形ABCDEFGH中，HD⊥BF， ∴·＝0，故①正確； ·＝1×1×cos ＝－，故②正確； ＋＝＝－，故③正確； |－|＝||＝|－|， 則||2＝1＋1－2×1×1×cos ＝2＋， ∴||＝，故④錯誤． 綜上，正確的結論為①②③，故選B. 8．(2018·蕪湖模擬)我國古代數學著作《九章算術》中有一道題目，其意是：“今有器中米，不知其數，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．問：米幾何？如圖是源于其思想

6、的一個程序框圖，若輸出的S＝2(單位：升)，則輸入k的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　C 解析　閱讀程序框圖，初始化數值n＝1，S＝k， 循環(huán)結果執(zhí)行如下： 第一次：n＝1<4成立，n＝2，S＝k－＝； 第二次：n＝2<4成立，n＝3，S＝－＝； 第三次：n＝3<4成立，n＝4，S＝－＝； 第四次：n＝4<4不成立，輸出S＝＝2，解得k＝8. 9．(2018·聊城模擬)在△ABC中，BC邊上的中線AD的長為2，點P是△ABC所在平面上的任意一點，則·＋·的最小值為(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 答案　C 解析　建立如圖所

7、示的平面直角坐標系，使得點D在原點處，點A在y軸上，則A(0,2)． 設點P的坐標為(x，y)， 則＝，＝(－x，－y)， 故·＋·＝·＝2·＝2 ＝2－2≥－2，當且僅當x＝0，y＝1時等號成立． 所以·＋·的最小值為－2. 10．(2018·石家莊模擬)三國時期吳國的數學家創(chuàng)造了一副“勾股圓方圖”，用數形結合的方法給出了勾股定理的詳細證明，如圖所示“勾股圓方圖”中由四個全等的直角三角形(直角邊長之比為1∶)圍成的一個大正方形，中間部分是一個小正方形，如果在大正方形內隨機取一點，則此點取自中間的小正方形部分的概率是(　　) A. B. C．1－ D．1－ 答

8、案　C 解析　由題意可知，設直角三角形的直角邊長分別為k，k(k>0)， 則大正方形的邊長為2k，小正方形的邊長為(－1)k， 所以大正方形的面積為4k2，小正方形的面積為(－1)2k2， 故所求概率為＝1－. 11．(2018·南平質檢)我國古代著名的數學著作有《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《孫丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《綴術》、《緝古算機》等10部算書，被稱為“算經十書”．某校數學興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學對古代著名的數學著作產生濃厚的興趣．一天，他們根據最近對這十部書的閱讀本數情況說了這些話，甲：“乙比丁少”；乙：“甲

9、比丙多”；丙：“我比丁多”；?。骸氨纫叶唷?，有趣的是，他們說的這些話中，只有一個人說的是真實的，而這個人正是他們四個人中讀書本數最少的一個(他們四個人對這十部書閱讀本數各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人讀書本數由少到多的排列是(　　) A．乙甲丙丁 B．甲丁乙丙 C．丙甲丁乙 D．甲丙乙丁 答案　D 解析　由題意可列表格如下： 甲 乙 丙 丁 甲說 丁>乙 乙說 甲>丙 丙說 丙>丁 丁說 丙>乙 對于選項A，甲，丁說的都對，不符合只有一個人對；對于選項B，丙，丁說的都對，也不符合只有一個人對

10、；對于選項C，乙說的對，但乙不是最少的，不符合；對于選項D，甲說的對，也正好是最少的，符合，選D. 12．(2018·河北省衡水中學模擬)已知＝＝2，點C在線段AB上，且的最小值為1，則(t∈R)的最小值為(　　) A. B. C．2 D. 答案　B 解析　∵＝＝2， ∴點O在線段AB的垂直平分線上． ∵點C在線段AB上，且的最小值為1， ∴當C是AB的中點時最小，此時＝1， ∴此時與的夾角為60°， ∴，的夾角為120°. 又2＝2＋t22－2t· ＝4＋4t2－2t·2·2·cos 120° ＝4t2＋4t＋4 ＝42＋3≥3， 當且僅當t＝－時等號成立．

11、 ∴2的最小值為3， ∴的最小值為. 13．(2018·石家莊模擬)已知向量a與b的夾角是，|a|＝1，|b|＝，則向量a－2b與a的夾角為________． 答案　 解析　a·b＝cos ＝， a·(a－2b)＝a2－2a·b＝， |a－2b|＝ ＝＝＝1. 設向量a－2b與a的夾角為θ，cos θ＝＝， 又因為θ∈[0，π]， 所以θ＝. 14．(2018·寧德質檢)我國南北朝時期的數學家張丘建是世界數學史上解決不定方程的第一人，他在《張丘建算經》中給出一個解不定方程的百雞問題，問題如下：雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一．百錢買百雞，問雞翁母雛各幾何？

12、用代數方法表述為：設雞翁、雞母、雞雛的數量分別為x，y，z，則雞翁、雞母、雞雛的數量即為方程組的解．其解題過程可用程序框圖表示，如圖所示，則程序框圖中正整數m的值為________． 答案　4 解析　由 得y＝25－x，故x必為4的倍數， 當x＝4t時，y＝25－7t， 由y＝25－7t>0得，t的最大值為3， 故判斷框應填入的是t<4？， 即m＝4. 15．若非零向量a，b滿足|b|＝|a|，若(a＋2b)⊥(3a－tb)，a與b的夾角等于，則實數t的值為________． 答案　 解析　由a與b的夾角等于可得 cos ＝＝，故a·b＝|a|2. 由(a＋2b)⊥

13、(3a－tb)可得 3a2－ta·b＋6a·b－2tb2＝0， 即3|a|2＋(6－t)|a|2－4t|a|2＝0， 又a為非零向量， 所以|a|2≠0，則有3＋6－t－4t＝0，解得t＝. 16．(2018·咸陽模擬)已知圓的半徑為1，A，B，C，D為該圓上四個點，且＋＝，則△ABC面積的最大值為________． 答案　1 解析　如圖所示，由＋＝知，四邊形ABDC為平行四邊形， 又A，B，C，D 四點共圓， ∴四邊形ABDC 為矩形，即BC 為圓的直徑， △ABC的面積S＝AB·AC≤·＝AD2， ∴當AD是圓的直徑時，△ABC的面積最大． ∴當AB＝AC 時， △ABC的面積取得最大值×4＝1.