《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ) 第三節(jié) 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱(chēng)量詞與存在量詞學(xué)案 文（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ) 第三節(jié) 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱(chēng)量詞與存在量詞學(xué)案 文（含解析）新人教A版（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié)　簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱(chēng)量詞與存在量詞 2019考綱考題考情 1．簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 (1)命題中的且、或、非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞。 (2)命題p∧q、p∨q、綈p的真假判定 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 　　2.量詞及含有一個(gè)量詞的命題的否定 (1)全稱(chēng)量詞和存在量詞 ①全稱(chēng)量詞有：所有的，任意一個(gè)，任給一個(gè)，用符號(hào)“?”表示；存在量詞有：存在一個(gè)，至少有一個(gè)，有些，用符號(hào)“?”表示。 ②含有全稱(chēng)量詞的命題，叫做全稱(chēng)命題。“對(duì)M中任意一個(gè)

2、x，有p(x)成立”用符號(hào)簡(jiǎn)記為：?x∈M，p(x)。 ③含有存在量詞的命題，叫做特稱(chēng)命題。“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符號(hào)簡(jiǎn)記為：?x0∈M，p(x0)。 (2)含有一個(gè)量詞的命題的否定 命題 命題的否定 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，綈p(x0) ?x0∈M，p(x0) ?x∈M，綈p(x) 　 1．用“并集”的概念來(lái)理解“或”，用“交集”的概念來(lái)理解“且”，用“補(bǔ)集”的概念來(lái)理解“非”。 2．記憶口訣：(1)“p或q”，有真則真；(2)“p且q”，有假則假；(3)“非p”，真假相反。 3．命題p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)；命題p∨q的否定是(

3、綈p)∧(綈q)。 一、走進(jìn)教材 1．(選修1－1P26A組T3改編)命題“?x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　) A．?x0∈R，x＋x0≤0 B．?x0∈R，x＋x0<0 C．?x∈R，x2＋x≤0 D．?x∈R，x2＋x<0 解析　由全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題知命題B正確。故選B。 答案　B 2．(選修1－1P18A組T1(3)改編)已知命題p：2是偶數(shù)，命題q：2是質(zhì)數(shù)，則命題綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4 解析　p和q顯然都是真命題，所以綈p，綈q都是假命題，p∨q，p∧q都是真命題。故選B。

4、答案　B 二、走近高考 3．(2017·山東高考)已知命題p：?x>0，ln(x＋1)>0；命題q：若a>b，則a2>b2。下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．p∧(綈q) C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q) 解析　因?yàn)閤>0，所以x＋1>1，ln(x＋1)>0，所以對(duì)于?x>0，ln(x＋1)>0，故p為真命題。由1>－2，12<(－2)2可知q是假命題，所以綈q為真命題。根據(jù)復(fù)合命題真值表可知p∧(綈q)為真命題。故選B。 答案　B 4．(2016·浙江高考)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　) A．?x∈R，?n∈N*，使得n

5、2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n0 D．?x∈R,2x>0 解析　當(dāng)x＝10時(shí)，lg10＝1，

6、則A為真命題；當(dāng)x＝0時(shí)，sin0＝0，則B為真命題；當(dāng)x≤0時(shí)，x3≤0，則C為假命題；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，?x∈R,2x>0，則D為真命題。故選C。 答案　C 6．已知命題p，q，“綈p為真”是“p∧q為假”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　由綈p為真知，p為假，可得p∧q為假；反之，若p∧q為假，則可能是p真q假，從而綈p為假，故“綈p為真”是“p∧q為假”的充分不必要條件。故選A。 答案　A 7．已知命題p：?x∈R，x2－a≥0；命題q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0。若命題“p∧q”是真命題，則實(shí)數(shù)

7、a的取值范圍為_(kāi)_______。 解析　由已知條件可知p和q均為真命題，由命題p為真得a≤0，由命題q為真得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2。 答案　(－∞，－2] 考點(diǎn)一簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞微點(diǎn)小專(zhuān)題 方向1：真假判斷 【例1】　(2019·安徽省示范高中模擬)已知下列兩個(gè)命題： p1：存在正數(shù)a，使函數(shù)y＝2x＋a·2－x在R上為偶函數(shù)； p2：函數(shù)y＝sinx＋cosx＋無(wú)零點(diǎn)。 則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2，q4：p1∧(綈p2)中，真命題是(　　) A．q1，q4　　B．q2，q3 C．q1，q3

8、　　D．q2，q4 解析　當(dāng)a＝1時(shí)，y＝2x＋a·2－x在R上是偶函數(shù)，所以p1為真命題。當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)y＝sinx＋cosx＋＝0，所以命題p2是假命題。所以p1∨p2，p1∧(綈p2)是真命題。故選A。 答案　A “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命題真假的判斷步驟 1．確定命題的構(gòu)成形式。 2．判斷其中命題p、q的真假。 3．確定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命題的真假。 方向2：求參數(shù)的取值范圍 【例2】　已知p：?x∈R，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．[2，＋∞) 　　 B．(－∞

9、，－2] C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 　　 D．[－2,2] 解析　依題意知p，q均為假命題，當(dāng)p是假命題時(shí)，mx2＋1>0恒成立，則有m≥0；當(dāng)q是真命題時(shí)，則有Δ＝m2－4<0，－2

10、p真q假時(shí)所以m≤－2；當(dāng)p假q真時(shí)所以0≤m<2。所以m的取值范圍是(－∞，－2]∪[0,2)。 答案　(1)(－2,0)　(2)(－∞，－2]∪[0,2) 根據(jù)命題真假求參數(shù)的步驟 1．先根據(jù)題目條件，推出每一個(gè)命題的真假(有時(shí)不一定只有一種情況)。 2．然后再求出每個(gè)命題是真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍。 3．最后根據(jù)每個(gè)命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍。 【題點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】　 1．(方向1)已知命題p：對(duì)任意的x∈R，總有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．(綈p)∧(綈q) C．(綈p)∧q D．p∧(綈q

11、) 解析　由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知命題p為真命題。易知“x>1”是“x>2”的必要不充分條件，所以命題q是假命題。由復(fù)合命題真值表可知p∧(綈q)是真命題。故選D。 答案　D 2．(方向2)已知命題p：關(guān)于x的方程x2－ax＋4＝0有實(shí)根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函數(shù)。若p或q是真命題，p且q是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－12，－4]∪[4，＋∞) B．[－12，－4]∪[4，＋∞) C．(－∞，－12)∪(－4,4) D．[－12，＋∞) 解析　命題p等價(jià)于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命題q等價(jià)于－≤3，即a≥－12。由

12、p或q是真命題，p且q是假命題知，命題p和q一真一假。若p真q假，則a<－12；若p假q真，則－4n B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)>n0 D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0 (2)已知命題p：?x0>1，x－1>0，那么

13、綈p是(　　) A．?x>1，x2－1>0 B．?x>1，x2－1≤0 C．?x0>1，x－1≤0 D．?x0≤1，x－1≤0 解析　(1)全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，所以命題的否定是：?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0。故選D。 (2)特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題，所以綈p：?x>1，x2－1≤0。故選B。 答案　(1)D　(2)B 全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的否定 1．改寫(xiě)量詞：確定命題所含量詞的類(lèi)型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對(duì)量詞進(jìn)行改寫(xiě)。 2．否定結(jié)論：對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定。 方向2：求參數(shù)的取值范圍 【例4】　(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x

14、＋3，g(x)＝log2x＋m，對(duì)任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________。 (2)已知函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若對(duì)?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________。 解析　(1)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，當(dāng)x∈[1,4]時(shí)，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，則f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，0)。 (2)當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，f(x)min＝f(0)＝

15、0，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥。 答案　(1)(－∞，0)　(2) 全稱(chēng)命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，特稱(chēng)命題可轉(zhuǎn)化為存在性問(wèn)題，含量詞的命題中參數(shù)的取值范圍，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)的最值解決。 【題點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】　 1．(方向1)命題p：“?x∈N*，x≤”的否定為(　　) A．?x∈N*，x> B．?x?N*，x> C．?x?N*，x> D．?x∈N*，x> 解析　命題p的否定是把“?”改成“?”，再把“x≤”改為“x>”。故選D。 答案　D 2．(方向1)命題“?x0∈R,1

16、2”的否定是________。 答案　?x∈R，f(x)≤1或f(x)>2 3．(方向2)已知函數(shù)f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若?x1∈，?x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________。 解析　由題意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3])，因?yàn)閒(x)在上為減函數(shù)，g(x)在 [2,3]上為增函數(shù)，所以f(x)min＝f(1)＝5，g(x)min＝g(2)＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1。 答案　 1．(配合例1使用)已知函數(shù)f(x)＝給出下列兩個(gè)命題：命題p：?m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解；命題q：若m＝，則

17、f(f(－1))＝0，那么，下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q) 解析　因?yàn)?x>0，當(dāng)m<0時(shí)，m－x2<0，所以命題p為假命題；當(dāng)m＝時(shí)，因?yàn)閒(－1)＝3－1＝，所以f(f(－1))＝f＝－2＝0，所以命題q為真命題，逐項(xiàng)檢驗(yàn)可知，只有(綈p)∧q為真命題。故選B。 答案　B 2．(配合例2使用)已知命題p：?x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0，命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立。若p∧q為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______。 解析　由命題p：?x0∈R，(m＋1)(x＋1)≤0可得m≤－1；由

18、命題q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，即Δ＝m2－4<0，可得－2－1。 答案　(－∞，－2]∪(－1，＋∞) 3．(配合例3使用)已知命題p：“?x0∈R，ex0－x0－1≤0”，則綈p為(　　) A．?x0∈R，ex0－x0－1≥0 B．?x0∈R，ex0－x0－1>0 C．?x∈R，ex－x－1>0 D．?x∈R，ex－x－1≥0 解析　根據(jù)全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的否定關(guān)系，可得綈p為“?x∈R，ex－x－1>0”。故選C。 答案　C 4．(配合例4使用)已知函數(shù)f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若?x1∈，?x2∈[

19、2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________。 解析　依題意知f(x)max≤g(x)max。因?yàn)閒(x)＝x＋在上是減函數(shù)，所以f(x)max＝f＝。又g(x)＝2x＋a在[2,3]上是增函數(shù)，所以g(x)max＝8＋a，因此≤8＋a，則a≥。 答案　 生活中的邏輯 正確地使用邏輯用語(yǔ)是現(xiàn)代社會(huì)公民應(yīng)具備的基本素質(zhì)，無(wú)論是進(jìn)行思考、交流，還是從事各項(xiàng)工作，都需要正確地運(yùn)用邏輯用語(yǔ)在表述和論證中表達(dá)自己的思維。有趣的是，日常生活中的一句話或是一件事，常蘊(yùn)含著邏輯學(xué)的知識(shí)。 【案例1】　“便宜無(wú)好貨，好貨不便宜”是我們所熟知的一句諺語(yǔ)，在期待購(gòu)得價(jià)廉物

20、美的商品的同時(shí)，我們常常用這句話來(lái)提醒自己保持足夠的警惕，不要輕易上某些不良商家的當(dāng)。我們還可以運(yùn)用邏輯學(xué)知識(shí)分析這句諺語(yǔ)里蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系。 記p表示“便宜”，q表示“不是好貨”，那么按“便宜無(wú)好貨”的說(shuō)法，p?q，即“便宜”(p)是“不是好貨”(q)的充分條件；其逆否命題為“綈q?綈p”，即綈q(“好貨”)是綈p(“不便宜”)的充分條件，即“好貨不便宜”。由此可以看出，“便宜無(wú)好貨”與“好貨不便宜”是一對(duì)互為逆否關(guān)系的命題。非常有趣的是，上海市高考試題曾對(duì)此作過(guò)考查： 錢(qián)大姐常說(shuō)“便宜無(wú)好貨”，這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的(　　) A．充分條件 B．必要條件 C．充分必要條

21、件 D．既非充分又非必要條件 正確選項(xiàng)已顯然。 生活中，我們還常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“堅(jiān)持就是勝利”等熟語(yǔ)來(lái)勉勵(lì)自己和他人保持信心、堅(jiān)持不懈地努力。在這些熟語(yǔ)里，“水滴”是“石穿”的充分條件，“有志”是“事成”的充分條件，“堅(jiān)持”是“勝利”的充分條件。這正是我們努力的信心之源，激勵(lì)著我們直面一切困難與挑戰(zhàn)，不斷取得進(jìn)步。 【案例2】　1873年，馬克·吐溫與另一位作家合寫(xiě)的長(zhǎng)篇小說(shuō)《鍍金時(shí)代》，小說(shuō)揭露了美國(guó)西部投機(jī)家、東部企業(yè)家和政府官員三位一體掠奪國(guó)家和人民財(cái)富的丑惡黑幕。在一次酒會(huì)上，一名記者追問(wèn)馬克·吐溫對(duì)當(dāng)前美國(guó)政府官員的看法，馬克·吐溫一氣之下脫口而出：“美國(guó)

22、國(guó)會(huì)有些議員是狗娘養(yǎng)的?！瘪R克·吐溫的話很快公諸報(bào)端，議員們知道后大為憤怒，紛紛向馬克·吐溫興師問(wèn)罪，要求公開(kāi)道歉并予以澄清，否則將訴諸法律。迫于無(wú)奈，馬克·吐溫只好在報(bào)紙上發(fā)表了一份公開(kāi)更正聲明： “日前鄙人在酒席上發(fā)言，說(shuō)有些美國(guó)國(guó)會(huì)議員是狗娘養(yǎng)的，事后本人思慮再三，覺(jué)得此言是不妥的，而且不符合事實(shí)，故特登報(bào)聲明，我鄭重聲明，我收回我以前說(shuō)的話，并更正如下：美國(guó)國(guó)會(huì)中的有些議員不是狗娘養(yǎng)的。” 馬克·吐溫的聲明十分精彩，從表面上看似乎對(duì)原話作了完全否定的更正，而這其實(shí)是新瓶裝舊酒，換湯不換藥，絲毫沒(méi)有改變?cè)挼谋緛?lái)意思，反而再一次猛烈抨擊了無(wú)恥的政府官員，從邏輯上來(lái)看，馬克·吐溫在酒會(huì)

23、上所說(shuō)的“美國(guó)國(guó)會(huì)有些議員是狗娘養(yǎng)的”是一個(gè)特稱(chēng)命題，其結(jié)構(gòu)為“有些r是s”；后來(lái)聲明所說(shuō)的“美國(guó)國(guó)會(huì)中的有些議員不是狗娘養(yǎng)的”也是一個(gè)特稱(chēng)命題，其結(jié)構(gòu)為“有些r是綈s”。顯然，兩者并非命題與其否定之間的關(guān)系。我們知道，特稱(chēng)命題“有些r是s”的否定形式是“所有r都是綈s”，所以，倘若馬克·吐溫真心道歉并收回以前所說(shuō)的話，其更正聲明應(yīng)該表述為“所有美國(guó)國(guó)會(huì)議員都不是狗娘養(yǎng)的”。不過(guò)，這話怎么聽(tīng)著也讓人心里不舒服。 數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性非常強(qiáng)的學(xué)科，生活中的交流同樣需要講究邏輯。通過(guò)學(xué)習(xí)和使用常用邏輯用語(yǔ)，我們可以體會(huì)邏輯用語(yǔ)在表述和論證中的作用，從而在實(shí)際生活中逐步形成自覺(jué)利用邏輯知識(shí)對(duì)一些命題之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行分析和推理的意識(shí)，能對(duì)一些邏輯推理中的錯(cuò)誤進(jìn)行甄別和糾正，使我們對(duì)問(wèn)題的表述更嚴(yán)密、貼切，增強(qiáng)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的信心和能力。 8