《（新課標）2021版高考數學一輪總復習 第七章 不等式 第38講 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題導學案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（新課標）2021版高考數學一輪總復習 第七章 不等式 第38講 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題導學案 新人教A版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第38講　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 【課程要求】 1．會從實際情境中抽象出二元一次不等式組，了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決． 2．掌握確定平面區(qū)域的方法，理解目標函數的幾何意義，注意線性規(guī)劃問題與其他知識的綜合． 對應學生用書p103 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的交集．(　　) (2)不等式Ax＋By＋C>0

2、表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．(　　) (3)點(x1，y1)，(x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，異側的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　　) (4)第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式xy<0表示．(　　) (5)線性目標函數的最優(yōu)解是唯一的．(　　) (6)最優(yōu)解指的是使目標函數取得最大值或最小值的可行解．(　　) (7)目標函數z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．(　　) [答案] (1)√　(2)×　(3)√　

3、(4)√　(5)×　(6)√　(7)× 2．[必修5p86T3]不等式組表示的平面區(qū)域是(　　) [解析]x－3y＋6≥0表示直線x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直線x－y＋2＝0的左上方部分，故不等式組表示的平面區(qū)域為選項B中的陰影部分． [答案]B 3．[必修5p91T2]投資生產A產品時，每生產100噸需要資金200萬元，需場地200平方米；投資生產B產品時，每生產100噸需要資金300萬元，需場地100平方米．現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為__________________．(用x，y分別表示生產A，B

4、產品的噸數，x和y的單位是百噸) [解析]　用表格列出各數據 A B 總數 產品噸數 x y 資金 200x 300y 1400 場地 200x 100y 900 所以不難看出，x≥0，y≥0，200x＋300y≤1400，200x＋100y≤900. [答案]　 4．(多選)下列各點中，不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內的是(　　) A．(0，0) B．(1，1) C．(－1，3) D．(2，－3) [解析]把各點的坐標代入可得(1，1)，(－1，3)不適合，故選BC. [答案]BC 5．已知x，y滿足若使得z＝ax＋y取最大值的

5、點(x，y)有無數個，則a的值為________． [解析]先根據約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分所示，當直線z＝ax＋y和直線AB重合時，z取得最大值的點(x，y)有無數個，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1. [答案]－1 【知識要點】 1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域 (1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側的所有點組成的平面區(qū)域(半平面)，__不包括__邊界直線． 不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域(半平面)__包括__邊界直線． (2)在平面直角坐標系中，設直線Ax＋By＋C＝0(B不為0)及點P(x0，y0)，

6、 ①若B>0，Ax0＋By0＋C>0，則點P(x0，y0)在直線的上方，此時不等式Ax＋By＋C>0表示直線Ax＋By＋C＝0的上方的區(qū)域． ②若B>0，Ax0＋By0＋C<0，則點P(x0，y0)在直線的下方，此時不等式Ax＋By＋C<0表示直線Ax＋By＋C＝0的下方的區(qū)域． ③若是二元一次不等式組，則其平面區(qū)域是所有平面區(qū)域的公共部分． 2．線性規(guī)劃相關概念 名稱 意義 約束條件 目標函數中的變量所要滿足的不等式組 線性約束 條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(或方程)組 目標函數 關于x，y的函數__解析式__ 名稱 意義 可行解

7、滿足線性約束條件的解 可行域 所有可行解組成的集合 線性目標函數 目標函數是關于變量的一次函數 最優(yōu)解 使目標函數取得__最大值或最小值__的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下，求線性目標函數的__最大值__或__最小值__ 3.常見簡單的二元線性規(guī)劃實際問題 一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們完成最多的任務；二是給定一項任務，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務． 解線性規(guī)劃問題的一般步驟： 審題、設元——__列出約束條件__(通常為不等式組)——建立__目標函數__——作出__可行域__——求__最優(yōu)解__．

8、 對應學生用書p104 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 例1　(1)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．4B．1C．5D．無窮大 [解析]不等式組 表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，△ABC的面積即所求．求出點A，B，C的坐標分別為A(1，2)，B(2，2)，C(3，0)，則△ABC的面積為S＝×(2－1)×2＝1. [答案]B (2)如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示為________． [解析]兩直線方程分別為x－2y＋2＝0與x＋y－1＝0. 由(0，0)點在直線x－2y＋2＝0

9、右下方可知x－2y＋2≥0， 又(0，0)點在直線x＋y－1＝0左下方，可知x＋y－1≥0， 即為陰影部分所表示的可行域． [答案] [小結]確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法： (1)“直線定界，特殊點定域”，即先作直線，再取特殊點代入不等式組．若滿足不等式組，則不等式(組)表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側的那部分區(qū)域；否則就對應于特殊點異側的平面區(qū)域． (2)當不等式中帶等號時，邊界為實線；不帶等號時，邊界應畫為虛線，特殊點常取原點． 1．已知約束條件表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則實數k的值為(　　) A．1B．－1C．0D．－2 [解析]作出約束條件

10、表示的可行域如圖中陰影部分所示， 要使陰影部分為直角三角形， 當k＝0時，此三角形的面積為×3×3＝≠1，所以不成立， 所以k>0，則必有BC⊥AB， 因為x＋y－4＝0的斜率為－1， 所以直線kx－y＝0的斜率為1，即k＝1，故選A. [答案]A 求目標函數的最值 例2　(1)(2017·全國卷Ⅲ文)設x，y滿足約束條件則z＝x－y的取值范圍是(　　) A．[－3，0] B．[－3，2] C．[0，2] D．[0，3] [解析]作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l0：y＝x，平移直線l0，當直線z＝x－y過點A(2，0)時，z取得最大值2，

11、當直線z＝x－y過點B(0，3)時，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范圍是[－3，2]． [答案]B (2)已知實數x，y滿足約束條件則z＝x2＋y2的取值范圍是(　　) A．[1，13] B．[1，4] C.D. [解析]不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值為點O到直線BC：2x－y＋2＝0的距離的平方，zmin＝；最大值為點O與點A(－2，3)的距離的平方，zmax＝|OA|2＝13. [答案]C [小結](1)先準確作出可行域，再借助目標函數的幾何意義求目標函數的最值． (2)當目標函數是非線性的函數時，常利用目標函數的幾

12、何意義來解題，常見代數式的幾何意義有： ①表示點(x，y)與原點(0，0)的距離，表示點(x，y)與點(a，b)的距離； ②表示點(x，y)與原點(0，0)連線的斜率，表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率． (3)當目標函數中含有參數時，要根據臨界位置確定參數所滿足的條件． 2．已知實數x，y滿足約束條件則z＝的取值范圍是(　　) A.B. C.D. [解析]不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，z＝表示點D(2，3)與平面區(qū)域內的點(x，y)之間連線的斜率．因為點D(2，3)與點B(8，1)連線的斜率為－且C的坐標為(2，－2)，故由圖知，z＝的取值范圍為，故選B

13、. [答案]B 例3　(1)若實數x，y滿足不等式組且x＋y的最大值為9，則實數m＝(　　) A．－2B．－1C．1D．2 [解析]令z＝x＋y，則y＝－x＋z，z表示斜率為－1的直線在y軸上的截距． 當z最大值為9時，y＝－x＋z過點A，因此x－my＋1＝0過點A，所以m＝1. [答案]C (2)已知實數x，y滿足若z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解有無數個，則a的值為________． [解析]依題意，在坐標平面內畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．要使目標函數z＝y(tǒng)－ax取得最大值時的最優(yōu)解有無數個，則直線z＝y(tǒng)－ax必平行于直線y－x＋1＝0，于是a＝1.

14、[答案]1 [小結]線性規(guī)劃問題是在約束條件是線性的、目標函數也是線性的情況下的一類最優(yōu)解問題，在約束條件是線性的情況下，線性目標函數只在可行域的頂點或者邊界上取得最值；當求解目標中含有參數時，要根據臨界位置確定參數所滿足的條件． 3．已知x，y滿足約束條件若目標函數z＝3x＋y的最大值為10，則z的最小值為________． [解析]畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作直線l：3x＋y＝0，平移l，從而可知經過C點時z取到最大值， 由解得 ∴2×3－1－m＝0，m＝5. 由圖知，平移l經過B點時，z最小， ∴當x＝2，y＝2×2－5＝－1時，z最小，zmin＝

15、3×2－1＝5. [答案]5 線性規(guī)劃的實際應用 例4　某高科技企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料．生產一件產品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時．生產一件產品A的利潤為2100元，生產一件產品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為________元． [解析]設生產A產品x件，B產品y件， 由已知可得約束條件為 即 目標函數為z＝2100x＋900y， 由約束條件作出不等式組表示的可行域如圖中

16、陰影部分所示． 作直線2100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，當直線經過點M時，z取得最大值，聯(lián)立解得M(60，100)． 則zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)． [答案]216000 [小結]解答線性規(guī)劃應用題的一般步驟可歸納為： (1)審題——仔細閱讀，明確有哪些限制條件，目標函數是什么； (2)轉化——設元，寫出約束條件和目標函數； (3)求解——關鍵是明確目標函數所表示的直線與可行域邊界直線斜率間的關系； (4)作答——就應用題提出的問題作出回答． 4．某旅行社租用A，B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A，B兩種車輛的載客

17、量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為(　　) A．31200元B．36000元 C．36800元D．38400元 [解析]設旅行社租用A型客車x輛，B型客車y輛，租金為z，則線性約束條件為 目標函數為z＝1600x＋2400y. 畫出可行域如圖中陰影部分所示， 可知目標函數過點N時，取得最小值， 由解得故N(5，12)， 故zmin＝1600×5＋2400×12＝36800(元)． [答案]C 對應學生用書p105 1．(2018·全國卷Ⅰ理)若x，y滿足約

18、束條件則z＝3x＋2y的最大值為__________． [解析]作出可行域如圖所示，作出直線3x＋2y＝0，并平移該直線，當直線過點A(2，0)時，目標函數z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6. [答案]6 2．(2017·全國卷Ⅱ理)設x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－15B．－9C．1D．9 [解析]y＝－2x＋z，其中z表示斜率為k＝－2的直線系與可行域有交點時直線的截距值，數形結合可得目標函數在點B(－6，－3)處取得最小值z＝－12－3＝－15，故選A. [答案]A 12