《（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第7講 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 理 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第7講 二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 理 新人教A版（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第7講　二次函數(shù)與冪函數(shù) 1.二次函數(shù)的圖像和性質(zhì) 解析式 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 圖像 定義域 R R 值域 　　　? 　　　? 單調(diào)性 在　　　　上單調(diào)遞減,? 在-b2a,+∞上 單調(diào)遞增 在　　　　上單調(diào)遞增,? 在-b2a,+∞上 單調(diào)遞減 頂點(diǎn)坐標(biāo) 　　　? 奇偶性 當(dāng)　　　　時(shí)為偶函數(shù)? 對(duì)稱軸 方程 x=-b2a 2.冪函數(shù) (1)定義:形如y=xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù). (2)常見(jiàn)的五種冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)比較 函數(shù) y=x y=

2、x2 y=x3 y=x12 y=x-1 圖像 性 質(zhì) 定義 域 R R R 　? 　? 值域 R 　　? R 　　? 　　? 奇偶 性 　　函數(shù)? 　　函數(shù)? 　　函數(shù)? 　　函數(shù)? 　　函數(shù)? 單 調(diào) 性 在R上單 調(diào)遞增 在　　上? 單調(diào)遞減; 在　　上? 單調(diào)遞增 在R上 單調(diào)遞增 在　? 上單調(diào) 遞增 在　　和? 　　上? 單調(diào)遞減 公共 點(diǎn) 　　　? 常用結(jié)論 1.二次函數(shù)解析式的三種形式: (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)頂點(diǎn)式:f

3、(x)=a(x-m)2+n(a≠0); (3)零點(diǎn)式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 2.一元二次不等式恒成立的條件: (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要條件是“a>0且Δ<0”; (2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要條件是“a<0且Δ<0”. 題組一　常識(shí)題 1.[教材改編] 若函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是　　　　　　　　.? 2.[教材改編] 已知冪函數(shù)y=f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(2,2),則函數(shù)f(x)=　　　　.? 3.[教材改編] 函數(shù)f(x)=x2-2x+3在閉區(qū)間[0

4、,3]上的最大值為　　　　,最小值為　　　　.? 4.[教材改編] 若函數(shù)y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則b=　　　　.? 題組二　常錯(cuò)題 ◆索引:圖像特征把握不準(zhǔn)出錯(cuò);不會(huì)利用二次函數(shù)圖像解決問(wèn)題;二次函數(shù)的單調(diào)性理解不到位;忽略冪函數(shù)的定義域;冪函數(shù)的圖像掌握不到位出錯(cuò). 5.如圖2-7-1,若a<0,b>0,則函數(shù)y=ax2+bx的大致圖像是　　　　(填序號(hào)).? ①　　　　　② ③　　　　?、? 圖2-7-1 6.設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,則f(m-1)　　　　0.(填“>”“<”或“=”

5、)? 7.若函數(shù)y=mx2+x+2在[3,+∞)上是減函數(shù),則m的取值范圍是　　　　.? 8.已知冪函數(shù)f(x)=x-12,若f(a+1)n>p B.m>p>n C.n>p>m D.p>n>m (2)[2018·烏魯木齊二模] 已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)

6、f(x)=(m-1)xn的圖像上,設(shè)a=f33,b=f(ln π),c=f22,則a,b,c的大小關(guān)系為 (　　) A.a

7、若函數(shù)f(x)的最小值為f(-1)=0,則f(x)=　　　　　　.? (2)已知二次函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3),它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2,并且對(duì)任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),則f(x)=　　　　　　.? ? ? ? ? [總結(jié)反思] 求二次函數(shù)解析式的三個(gè)策略:(1)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),宜選用一般式;(2)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最大(小)值等,宜選用頂點(diǎn)式;(3)已知圖像與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo),宜選用零點(diǎn)式. 變式題 (1)已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖像的對(duì)稱軸是直線x=1,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0),則f(-1)= (　　) A.6 B.2 C.0 D

8、.-4 圖2-7-3 (2)[2018·煙臺(tái)一模] 圖2-7-3是二次函數(shù)y=f(x)的圖像,若|OC|=|OB|=3|OA|,且△ABC的面積S=6,則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為　　　　　　　.? 探究點(diǎn)三　二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)問(wèn)題 微點(diǎn)1　通過(guò)圖像識(shí)別二次函數(shù) 例3 圖2-7-4是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像的一部分,已知圖像過(guò)點(diǎn)A(-3,0),對(duì)稱軸為直線x=-1.給出下面四個(gè)結(jié)論: ①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a

9、 一般地,給定了二次函數(shù)的圖像,我們可以從圖像中得到下列信息:(1)開(kāi)口方向;(2)判別式的正負(fù);(3)對(duì)稱軸;(4)特殊點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù). 微點(diǎn)2　二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題 例4 (1)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的最小值為f(1),則f(2),f-32,f(3)的大小關(guān)系是 (　　) A.f(2)

10、[總結(jié)反思] 對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性,關(guān)鍵是開(kāi)口方向與對(duì)稱軸的位置,若開(kāi)口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定,則需要分類討論求解;(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小,一定要將待比較的兩數(shù)通過(guò)二次函數(shù)的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較,或通過(guò)與對(duì)稱軸之間的距離大小進(jìn)行比較. 微點(diǎn)3　二次函數(shù)的最值問(wèn)題 例5 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3,當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值為-3時(shí),求實(shí)數(shù)a的值. ? ? [總結(jié)反思] 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型:軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng).不論哪種類型,解題的關(guān)鍵都是對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系,當(dāng)含有參數(shù)時(shí),要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系

11、進(jìn)行分類討論. 微點(diǎn)4　二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題 例6 (1)設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-x-32,若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,f(x)<0恒成立,求m的取值范圍; (2)已知函數(shù)f(x)=-2x2+4x+m,若f(x)≤2m-2在區(qū)間[m,m+2]上恒成立,求m的取值范圍. ? ? [總結(jié)反思] (1)判別式轉(zhuǎn)化法:如f(x)=ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立,即轉(zhuǎn)化為a>0,b2-4ac<0;(2)對(duì)于軸定區(qū)間不定的一元二次不等式恒成立問(wèn)題,可結(jié)合對(duì)稱軸的情況,對(duì)不定區(qū)間進(jìn)行討論,最后得參數(shù)的范圍. 應(yīng)用演練 1.【微點(diǎn)3】已知函數(shù)f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有

12、最小值-2,則f(x)的最大值為 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.【微點(diǎn)2】函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是 (　　) A.f(bx)≤f(cx) B.f(bx)≥f(cx) C.f(bx)>f(cx) D.不確定 3.【微點(diǎn)2】已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,5]上為減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　　.? 4.【微點(diǎn)4】若一元二次不等式2kx2+kx-38<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,則k的取值范圍為　　　　.? 5.【微點(diǎn)4】已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(

13、x)=2ax2+2x-3在[-1,1]上恒小于零,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　　.? 第7講　二次函數(shù)與冪函數(shù) 考試說(shuō)明 1.二次函數(shù) (1)掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)(單調(diào)性、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、最值). (2)了解二次函數(shù)的廣泛應(yīng)用. 2.冪函數(shù) (1)了解冪函數(shù)的概念. (2)結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的圖像,了解它們的變化情況. 【課前雙基鞏固】 知識(shí)聚焦 1.4ac-b24a,+∞　-∞,4ac-b24a　-∞,-b2a　-∞,-b2a　-b2a,4ac-b24a　b=0 2.{x|x≥0}　{x|x≠0}　{y|y≥

14、0}　{y|y≥0}　{y|y≠0}　奇　偶　奇　非奇非偶　奇　(-∞,0]　(0,+∞)　[0,+∞)　(-∞,0)　(0,+∞)　(1,1) 對(duì)點(diǎn)演練 1.(-∞,40]∪[160,+∞)　[解析] 二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程是x=k8,故只需k8≤5或k8≥20,即k≤40或k≥160,故所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-∞,40]∪[160,+∞). 2.x12　[解析] 設(shè)f(x)=xα,則2=2α,所以α=12,故函數(shù)f(x)=x12. 3.6　2　[解析] f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,x∈[0,3],當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值2;當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)f(x)取得

15、最大值6. 4.6　[解析] 函數(shù)y=x2+(a+2)x+3的圖像在[a,b]上關(guān)于直線x=1對(duì)稱,說(shuō)明函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線x=1,即-a+22=1且a+b2=1,∴a=-4,b=6. 5.③　[解析] 函數(shù)圖像的開(kāi)口向下,對(duì)稱軸方程為x=-b2a>0,且過(guò)原點(diǎn),故大致圖像是③. 6.>　[解析] f(x)=x2-x+a圖像的對(duì)稱軸為直線x=12,且f(1)>0,f(0)>0,而f(m)<0,∴m∈(0,1),∴m-1<0,∴f(m-1)>0. 7.m≤-16　[解析] 當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)在給定區(qū)間上是增函數(shù),不合題意;當(dāng)m≠0時(shí),函數(shù)是二次函數(shù),其圖像的對(duì)稱軸為直線x=-12m,依題

16、意知m<0,-12m≤3,解得m≤-16. 8.(3,5)　[解析] ∵冪函數(shù)f(x)=x12在定義域(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,∴由f(a+1)0,10-2a>0,a+1>10-2a,解得30時(shí),根據(jù)題意知m<1,所以0

17、及圖像所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)確定m,n的值,再利用單調(diào)性比較大小. (1)C　(2)A　[解析] (1)根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得,在(1,+∞)上指數(shù)大的冪函數(shù)其圖像在上面,結(jié)合所給函數(shù)圖像可得n>p>m,故選C. (2)函數(shù)f(x)=(m-1)xn為冪函數(shù),所以m=2.由題意,點(diǎn)(2,8)在冪函數(shù)的圖像上,即8=2n,所以n=3,即f(x)=x3,則f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù), 又33<22<1

18、撥] (1)由已知得所求函數(shù)的頂點(diǎn)式,與已知解析式比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)即可求出參數(shù);(2)找出對(duì)稱軸,設(shè)函數(shù)的解析式為零點(diǎn)式,再利用圖像過(guò)點(diǎn)(4,3)可求出參數(shù). (1)x2+2x+1　(2)x2-4x+3　[解析] (1)由函數(shù)f(x)的最小值為f(-1)=0,得f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1. (2)因?yàn)閒(2-x)=f(2+x)對(duì)任意x∈R恒成立,所以f(x)圖像的對(duì)稱軸為直線x=2.又因?yàn)閒(x)的圖像在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2,所以f(x)=0的兩根為1和3.設(shè)f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),

19、因?yàn)閒(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3. 變式題　(1)C　(2)f(x)=-x2+2x+3　[解析] (1)由題意知-b2=1,得b=-2,∴f(3)=9+3b+c=9-6+c=0, ∴c=-3,∴f(x)=x2-2x-3, ∴f(-1)=1+2-3=0. (2)因?yàn)閨OB|=|OC|=3|OA|,所以|AB|=|OA|+|OB|=4|OA|, 所以4|OA|×3|OA|×12=6,得|OA|=1,所以A(-1,0),B(3,0),C(0,3). 設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為f(x)=a(x+1)(x-

20、3),將點(diǎn)C(0,3)代入,得a=-1, 所以這個(gè)二次函數(shù)的解析式為f(x)=-x2+2x+3. 例3　[思路點(diǎn)撥] 根據(jù)二次函數(shù)的圖像可以知判別式的正負(fù)、開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、x=-1處函數(shù)值的正負(fù),由這些信息可判斷結(jié)論的正誤. B　[解析] 因?yàn)閳D像與x軸交于兩點(diǎn),所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正確. 對(duì)稱軸為直線x=-1,即-b2a=-1,即2a-b=0,②錯(cuò)誤. 結(jié)合圖像知,當(dāng)x=-1時(shí),y>0,即a-b+c>0,③錯(cuò)誤. 由對(duì)稱軸為直線x=-1知,b=2a,又函數(shù)圖像開(kāi)口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a

21、函數(shù)存在最小值,所以圖像開(kāi)口向上,再根據(jù)與對(duì)稱軸之間的距離判斷大小關(guān)系;(2)由f(x)在[-5,5]上是單調(diào)函數(shù)可知,對(duì)稱軸在區(qū)間[-5,5]的兩側(cè). (1)D　(2)-110,0∪0,110　[解析] (1)因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)有最小值f(1),所以a>0,且其圖像的對(duì)稱軸為直線x=1. 因?yàn)?,-32,3與對(duì)稱軸之間的距離分別為|2-1|,-32-1,|3-1|,且|2-1|<|3-1|<-32-1, 所以f(2)

22、 則必有12k≤-5或12k≥5,解得-110≤k<0或0

23、題意,舍去. ③當(dāng)-a2≤-1,即a≥2時(shí),f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增, ∴f(x)min=f(-1)=1-a+3=4-a=-3, 解得a=7,符合題意. 綜上可知,a=7或a=-7. 例6　[思路點(diǎn)撥] (1)對(duì)m進(jìn)行分類討論,結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)得到關(guān)于m的不等式,求得m的取值范圍.(2)根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間[m,m+2]的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論. 解:(1)若m=0,則顯然不成立; 若m≠0,則m<0,1-4m×-32<0,解得m<-16. 綜上可知,m<-16. (2)f(x)≤2m-2在區(qū)間[m,m+2]上恒成立,即2x2-4x+m-2≥0在[m,m+2]上恒成

24、立,設(shè)g(x)=2x2-4x+m-2,其圖像的對(duì)稱軸為直線x=1. ①若m≥1,則函數(shù)g(x)在[m,m+2]上單調(diào)遞增,要滿足g(x)≥0,只需g(m)≥0,即2m2-3m-2≥0,解得m≥2或m≤-12(舍); ②若m<1

25、或m≥2. 應(yīng)用演練 1.C　[解析] 函數(shù)f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,x∈[0,1], ∵函數(shù)f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上單調(diào)遞增, ∴f(x)有最小值f(0)=a=-2, ∴f(x)的最大值為f(1)=3+a=3-2=1,故選C. 2.A　[解析] 由題意知,函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱,∴b=2,又f(0)=3,∴c=3,則bx=2x,cx=3x.易知f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上單調(diào)遞增.若x≥0,則3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x);若x<0,則3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x).∴f(3x)≥f

26、(2x),即f(bx)≤f(cx).故選A. 3.a≤-4　[解析] 易知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2的圖像開(kāi)口向上,且以直線x=1-a為對(duì)稱軸,若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,5]上是減函數(shù),則5≤1-a,即a≤-4. 4.(-3,0)　[解析] 由題意知k<0,且Δ=k2+3k<0,所以-3

27、小值12,所以a<12. 綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞,12. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【備選理由】 例1考查常見(jiàn)冪函數(shù)的性質(zhì);例2考查含絕對(duì)值的二次函數(shù)的單調(diào)性,需要先去掉絕對(duì)值再求解;例3為軸定區(qū)間動(dòng)的最值問(wèn)題,需要依據(jù)對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論求解;例4為與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問(wèn)題,結(jié)合了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì). 例1　[配合例1使用] 已知a∈-1,2,12,3,13,若f(x)=xa為奇函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的值是 (　　) A.-1,3 B.13,3 C.-1,13,3 D.13,12,3 [解析] B　因?yàn)閒(x)=xa為奇函數(shù),所以a∈-1

28、,3,13,又因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以a∈3,13,因此選B. 例2　[配合例4使用] 若函數(shù)f(x)=x2+a|x-2|在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.? [答案] [-4,0] [解析] f(x)=x2+ax-2a,x≥2,x2-ax+2a,0

29、,t∈R,其圖像的對(duì)稱軸為直線x=1. 當(dāng)t+1<1,即t<0時(shí),函數(shù)圖像如圖①所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上為減函數(shù),所以最小值為f(t+1)=t2+1; ① ② ③ 當(dāng)t≤1≤t+1,即0≤t≤1時(shí),函數(shù)圖像如圖②所示,函數(shù)f(x)的最小值為f(1)=1; 當(dāng)t>1時(shí),函數(shù)圖像如圖③所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上為增函數(shù),所以最小值為f(t)=t2-2t+2. 綜上可知,f(x)min=t2+1,t<0,1,0≤t≤1,t2-2t+2,t>1. 例4　[配合例6使用] 函數(shù)f(x)=a2x+3ax-2(a>1),若在區(qū)間[-1,1]上f(x)≤8恒成立,則a的最大值為　　　　.? [答案] 2 [解析] 令ax=t,因?yàn)閍>1,x∈[-1,1],所以1a≤t≤a,原函數(shù)可化為g(t)=t2+3t-2,顯然g(t)在1a,a上單調(diào)遞增,所以f(x)≤8恒成立,即g(t)max=g(a)≤8恒成立,所以有a2+3a-2≤8,解得-5≤a≤2,又a>1,所以a的最大值為2. 13