《2020版高考數(shù)學一輪復習 第七章 立體幾何 第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積學案 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學一輪復習 第七章 立體幾何 第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積學案 理（含解析）新人教A版（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)　空間幾何體的表面積與體積 2019考綱考題考情 1．幾何體的表面積 (1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各個面的面積的和。 (2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)。 (3)若圓柱、圓錐的底面半徑為r，母線長l，則其表面積為S柱＝2πr2＋2πrl，S錐＝πr2＋πrl。 (4)若圓臺的上下底面半徑為r1，r2，母線長為l，則圓臺的表面積為S＝π(r＋r)＋π(r1＋r2)l。 (5)球的表面積為4πR2(球半徑是R)。 2．幾何體的體積 (1)V柱體＝Sh。 (2)V錐體＝Sh。 (3)V臺體＝(S′＋＋S)h，V圓臺＝π(r＋r1r2

2、＋r)h，V球＝πR3(球半徑是R)。 1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論 (1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差。 (2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等。 2．幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論 (1)正方體的棱長為a，球的半徑為R， ①若球為正方體的外接球，則2R＝a； ②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a； ③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a。 (2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝。 (3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1。 一、走進教材 1．(必修2P27練習T1改編)已知圓錐的表面積等于12π

3、 cm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm 解析　由題意，得2πl(wèi)×＝2πr，l＝2r，S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm)。 答案　B 2．(必修2P28A組T3改編)如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________。 解析　設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為a，b，c，它截出棱錐的體積為V1＝××a×b×c＝abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶4

4、7。 答案　1∶47 二、走近高考 3．(2018·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為。SA與圓錐底面所成角為45°。若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為________。 解析　如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S′，連接AS′，SS′?！鱏AB的面積為·SA·SB·sin∠ASB＝·SA2·＝·SA2＝5，所以SA2＝80，SA＝4。因為SA與圓錐底面所成角為45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝4×＝2。所以圓錐的側(cè)面積為π×AS′×AS＝π×2×4＝40π。 答案　40π 4．(2017·全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所

5、示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A．10　　　　B．12 C．14　　　　D．16 解析　 該幾何體為一個三棱柱和一個三棱錐的組合體，其直觀圖如圖所示，各個面中有兩個全等的梯形，其面積之和為2××2＝12。 答案　B 三、走出誤區(qū) 微提醒：①由三視圖不能還原幾何體求錯體積；②不會分類討論致誤；③長度單位與體積單位換算出錯。 5．已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為________m3。

6、 解析　根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長為2 m，高為1 m的平行四邊形，四棱錐的高為3 m。故該四棱錐的體積V＝×2×1×3＝2(m3)。 答案　2 6．圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為6π和4π的矩形，則圓柱的表面積為(　　) A．6π(4π＋3) B．8π(3π＋1) C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1) D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2) 解析　分兩種情況：①以長為6π的邊為高時，4π為圓柱底面周長，則2πr＝4π，r＝2，所以S底＝4π，S側(cè)＝6π×4π＝24π2，S表＝2S底＋S側(cè)＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)；②以長為4π的邊為高時，6π為圓柱底面周長，則

7、2πr＝6π，r＝3。所以S底＝9π，S表＝2S底＋S側(cè)＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)。故選C。 答案　C 7．《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形谷倉，高1丈3尺3寸，容納米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛為容積單位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，則圓柱底面圓周長約為(　　) A．1丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48丈6尺 解析　設(shè)圓柱底面半徑為r尺，高為h尺，依題意，圓柱體積為V＝πr2h＝2 000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9，所以圓柱底面圓周長為2πr≈54,54尺＝5丈4尺，即圓柱底面圓周長約為5丈4尺，故選B。 答

8、案　B 考點一規(guī)則幾何體的表面積與體積 【例1】　(1)(2018·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)(2019·南寧、柳州聯(lián)考)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖和側(cè)視圖，且該幾何體的體積為，則該幾何體的俯視圖可以是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D 解析　(1)由三視圖可知，該幾何體是一個底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V＝×(1＋2)×2×2＝6。故選C。 (2)若俯視圖為選項C中的圖形，則該幾何體為

9、正方體截去一部分后的四棱錐P－ABCD，如圖所示，該四棱錐的體積V＝×(2×2)×2＝，符合題意。若俯視圖為其他選項中的圖形，則根據(jù)三視圖易判斷對應(yīng)的幾何體不存在。故選C。 答案　(1)C　(2)C 規(guī)則體的體積和表面積直接按柱體、錐體、臺體和球體的體積和表面積公式進行計算即可。 【變式訓練】　已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A． B． C．13 D． 解析　由三視圖可知幾何體為三棱臺，作出直觀圖如圖所示。則CC′⊥平面ABC，上、下底均為等腰直角三角形，AC⊥BC，AC＝BC＝1，A′C′＝B′C′＝C′C＝2，所以AB＝，A′B′＝2。所

10、以棱臺的上底面面積為×1×1＝，下底面面積為×2×2＝2，梯形ACC′A′的面積為×(1＋2)×2＝3，梯形BCC′B′的面積為×(1＋2)×2＝3，過A作AD⊥A′C′于點D，過D作DE⊥A′B′于點E，則A′B′⊥平面ADE從而AE⊥A′B′，則AD＝CC′＝2，DE為△A′B′C′斜邊高的，所以DE＝，所以AE＝＝，所以梯形ABB′A′的面積為×(＋2)×＝，所以幾何體的表面積S＝＋2＋3＋3＋＝13。故選C。 答案　C 考點二組合體的體積和表面積 【例2】　(2019·福建三明模擬)我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》記載的芻甍是底面為矩形，頂部只有一條棱的幾何體。如圖為某個芻甍的三

11、視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則它的體積為(　　) A． B．160 C． D．64 解析　由三視圖可知，該芻甍是一個如圖所示的幾何體。 (一割為三)如圖，分別取QN，PM上的兩個四等分點B，E，C，F(xiàn)，連接AB，BC，AC，DE，DF，EF。 則△ABC與△DEF所在的平面將該幾何體分成一個直三棱柱ABC－DEF和兩個全等的四棱錐A－BCPQ，四棱錐D－FENM。其中直三棱柱ABC－DEF中的△ABC與△DEF是等腰三角形，BC＝4，點A到BC的距離d＝4，設(shè)△ABC與△DEF的面積為S1，則S1＝×4×4＝8。易知BE＝4，故直三棱柱ABC－DEF的

12、體積V1＝S1×BE＝8×4＝32。四棱錐的底面是矩形，QB＝2，PQ＝4，故四棱錐的底面積S2＝2×4＝8。由三視圖可得四棱錐的高h＝4，所以四棱錐的體積V2＝S2h＝×8×4＝。所以該幾何體的體積V＝V1＋2V2＝32＋2×＝。故選A。 解析：(一割為二)如圖，分別取PM，QN的中點為G，H，連接DG，GH，DH，則△DGH所在平面將幾何體分為一個三棱柱AQP－DHG與一個四棱錐D－GHNM。 其中四棱錐D－GHNM的底面是邊長為4的正方形，由三視圖可得點D到平面GHNM的距離h＝4，故四棱錐D－GHNM的體積V1＝×42×4＝；三棱柱AQP－DHG的側(cè)面QPGH是邊長為4的正

13、方形，側(cè)棱AD到側(cè)面QPGH的距離d＝4，故其體積V2＝×42×4＝32。所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝＋32＝。故選A。 答案　A 該題由三視圖給出的幾何體是一個組合體，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征將其分割成三個(或兩個)規(guī)則幾何體，然后分別求出三個(或兩個)幾何體的體積。這種分割求解的方法實質(zhì)也是轉(zhuǎn)化與化歸思想的體現(xiàn)。該題中的解法一要注意分割出直三棱柱ABC－DEF之后對剩余兩個幾何體的識別——四棱錐A－BCPQ，四棱錐D－FENM。 【變式訓練】　某幾何體的三視圖如圖所示，三個視圖中的曲線都是圓弧，則該幾何體的表面積為(　　) A．＋ B．＋π2 C．＋ D．＋π2 解

14、析　 由幾何體的三視圖得其直觀圖，如圖所示。該幾何體由半個圓柱與球構(gòu)成，且球的半徑與圓柱底面半徑等長。由三視圖中的數(shù)據(jù)可得，圓柱的底面半徑R1為1，母線l的長為π，球的半徑R2為1。所以該幾何體的表面由圓柱側(cè)面的一半、軸截面、左側(cè)底面半圓、右側(cè)底面半圓的一半，球表面的，以及球的過球心的兩個截面構(gòu)成。圓柱側(cè)面的一半，其面積S1＝×2πR1l＝πR1l＝π×1×π＝π2；圓柱的軸截面為矩形，其面積S2＝2R1l＝2×1×π＝2π；半圓柱左側(cè)底面，其面積S3＝×πR＝×π×12＝；半圓柱右側(cè)底面(裸露部分)，其面積S4＝×πR＝×π×12＝；球的表面，其面積S5＝×4πR＝×π×12＝；球的過

15、球心的兩個截面，其面積之和S6＝×πR＝×π×12＝。所以該幾何體的表面積S＝S1＋S2＋S3＋S4＋S5＋S6＝π2＋2π＋＋＋＋＝＋π2。故選B。 答案　B 考點三體積中的最值問題 【例3】　(2019·長春質(zhì)量監(jiān)測)已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的扇形，則該圓錐體積的最大值為________。 解析　由題意得圓錐的母線長為3，設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則h＝，所以圓錐的體積V＝πr2h＝πr2＝π(00)，則f′(r)＝36r3－6r5，令f′(r)＝36r3－6r5＝6r3(6－r2)＝0，得r＝，所以當00，

16、f(r)單調(diào)遞增，當

17、y＝72h－h(huán)3，則y′＝72－2h2，令y′>0，得0

18、CB的外接圓的圓心在MN上，所以四棱錐A－DECB的外接球的球心就是等腰梯形DECB的外接圓的圓心。連接BE，易知△BEC是鈍角三角形，所以等腰梯形DECB的外接圓的圓心在等腰梯形DECB的外部。設(shè)四棱錐A－DECB的外接球的半徑為R，球心到BC的距離為d，則解得R2＝，故四棱錐A－DECB的外接球的表面積S＝4πR2＝10π。 答案　10π 在立體幾何試題中，我們經(jīng)常會遇到這樣一類問題：由題設(shè)條件，計算某幾何體的外接球的表面積或體積。因為S球＝4πR2，V球＝πR3，所以關(guān)鍵是求解外 接球的半徑R。常用的解題策略有：①通過構(gòu)造特殊幾何體，巧妙分析；②通過解直角三角形，巧妙分析；

19、③借助直角三角形的斜邊中點到各頂點的距離相等，巧妙分析；④借助幾何體的底面多邊形的外接圓，巧妙分析。 【變式訓練】　三棱錐S－ABC的各頂點都在同一球面上，若AB＝3，AC＝5，BC＝7，側(cè)面SAB為正三角形，且與底面ABC垂直，則此球的表面積等于________。 解析　設(shè)△ABC外接圓的圓心為O1，△SAB外接圓的圓心為O2，過O1，O2分別作平面ABC，平面SAB的垂線交于點O，則O為球心。在△ABC中，cos∠BAC＝＝－，所以∠BAC＝120°，設(shè)圓O1的半徑為r1，根據(jù)正弦定理，得2r1＝＝，所以r1＝?！鱏AB外接圓的圓心O2為正三角形SAB的中心，連接SO2并延長交AB于點

20、D，則O2D＝SD＝，且O2D＝OO1＝。設(shè)外接球的半徑為R，連接O1A，則R2＝O1A2＋OO＝＋＝，所以此球的表面積S＝4πR2＝。 答案　 錯在哪里？ ——一道體積問題的兩種解法比較 對于不規(guī)則或不易求解的空間幾何體的體積問題常用割補法把它轉(zhuǎn)化成求幾個簡單的幾何體體積的和或差的問題，這種思路的核心是要弄清補形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關(guān)系。 【題目】如圖，在棱長為6的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在C1D1與C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，連接EF，F(xiàn)B，DE，BD，則幾何體EFC1－DBC的體積為(　　) A．66

21、 B．68 C．70 D．72 【分析】　幾何體EFC1－DBC是一個不規(guī)則的幾何體，切莫將它看作一個臺體，因為B、D、E、F四點不共面！因此采用分割法計算它的體積。 辨別兩種解法： 解法一：如圖，連接DF，DC1，用△DC1F將幾何體EFC1－DBC分割為三棱錐D－EC1F和四棱錐D－BCC1F兩部分，則VEFC1－DBC＝VD－EC1F＋VD－BCC1F＝×6×6＋××9×6×6＝66。故選A。 解法二：如圖，連接CE，BE，用△BCE將幾何體EFC1－DBC分割為三棱錐E－BCD和四棱錐E－BCC1F兩部分，則VEFC1－DBC＝VE－BCD＋VE－BCC1F＝×1

22、8×6＋××9×6×4＝72。故選D。 問題：對同一幾何體的體積，為什么兩種不同算法會得到兩個不同的答案？為什么用第二種方法會多算了6呢？ 真相：問題出在四邊形BDEF上，因BD、EF是兩條異面直線，故四邊形BDEF為空間四邊形。兩條對角線BE、DF也異面，而且易見BE在“外面”，DF在“里面”。 想象一下把一張四邊形紙片BDEF沿對角線DF折疊得到空間四邊形BDEF，現(xiàn)在你應(yīng)該恍然大悟了吧！ 多算了6，恰好就是三棱錐E－BDF的體積！不信你可以直接算算看。 回到原題，幾何體EFC1－DBC其實是指代不明的，因此，選(A)和(D)都有道理。也就是說，這道試題犯了科學性錯誤，這應(yīng)該是命

23、題人的疏忽。 球與其他空間幾何體的綜合問題，主要考查球的內(nèi)切與外接問題，是高考命題的重點和熱點，且考查覆蓋面廣。下面將球與常規(guī)幾何體的綜合問題進行歸納，供同學們參考。 類型一空間幾何體的外接球　　　　　　　　　　　　　 1.構(gòu)造法求解球的問題 【例1】　(2019·南寧市摸底聯(lián)考)三棱錐P－ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱錐P－ABC的外接球的體積為(　　) A．π B．π C．27π D．27π 解析　因為三棱錐P－ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，所以△PAB≌△PBC≌△PAC。因為PA⊥PB，所以PA⊥

24、PC，PC⊥PB。以PA，PB，PC為過同一頂點的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時也是三棱錐P－ABC的外接球。因為正方體的體對角線長為＝3，所以其外接球半徑R＝。因此三棱錐P－ABC的外接球的體積V＝×3＝π。故選B。 答案　B 若球面上四點P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般采用補形的方法，補形為長方體或正方體，利用(2R)2＝a2＋b2＋c2求解。 【變式訓練】　一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為(　　) A．36π B．8π C．π D．π 解析　

25、根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是底面為等腰直角三角形、高為2的三棱錐，如圖所示。該三棱錐的外接球是對應(yīng)直三棱柱的外接球。設(shè)外接球的半徑為R，因為底面是等腰直角三角形，所以底面外接圓的半徑為1，所以R2＝1＋1＝2，所以外接球的表面積是4πR2＝8π。故選B。 答案　B 2．根據(jù)球的截面求解球的問題 【例2】　(2019·河南鄭州一中模擬)已知點P，A，B，C是半徑為2的球面上的點，PA＝PB＝PC＝2，∠ABC＝90°，點B在AC上的射影為D，則三棱錐P－ABD體積的最大值是(　　) A．　　B．C．　　　D． 解析　 設(shè)點P在平面ABC上的射影為G，如圖，由PA＝PB＝PC＝

26、2，∠ABC＝90°，知點P在平面ABC上的射影G為△ABC的外心，即AC的中點。設(shè)球的球心為O，連接PG，則O在PG的延長線上。連接OB，BG，設(shè)PG＝h，則OG＝2－h(huán)，所以O(shè)B2－OG2＝PB2－PG2，即4－(2－h(huán))2＝4－h(huán)2，解得h＝1，則AG＝CG＝。設(shè)AD＝x，則GD＝x－AG＝x－，BG＝，所以BD＝＝，所以S△ABD＝AD·BD＝。令f(x)＝－x4＋2x3，則f′(x)＝－4x3＋6x2。由f′(x)＝0，得x＝0或x＝，易知當x＝時，函數(shù)f(x)取得最大值，所以(S△ABD)max＝×＝，又PG＝1，所以三棱錐P－ABD體積的最大值為××1＝。故選B。 答案　B

27、 求解球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及切、接點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的切、接問題，再利用平面幾何知識求解。 【變式訓練】　(1)(2019·南昌摸底調(diào)研)已知三棱錐P－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC滿足AB＝2，∠ACB＝90°，PA為球O的直徑且PA＝4，則點P到底面ABC的距離為(　　) A．　　　B．2C．　　　D．2 (2)(2017·全國卷Ⅰ)已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑。若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9，則球O的表面積為________。 解析　(1)

28、 取AB的中點O1，連接OO1，如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝90°，所以△ABC所在小圓O1是以AB為直徑的圓，所以O(shè)1A＝，且OO1⊥AO1，又球O的直徑PA＝4，所以O(shè)A＝2，所以O(shè)O1＝＝，且OO1⊥底面ABC，所以點P到平面ABC的距離為2OO1＝2。 (2)設(shè)球O的半徑為R，因為SC為球O的直徑，所以點O為SC的中點，連接AO，OB，因為SA＝AC，SB＝BC，所以AO⊥SC，BO⊥SC，因為平面SCA∩平面SCB＝SC，平面SCA⊥平面SCB，所以AO⊥平面SCB，所以VS－ABC＝VA－SBC＝×S△SBC×AO＝××AO，即9＝××R，解得R＝3，所以球O的表

29、面積為S＝4πR2＝4π×32＝36π。 答案　(1)B　(2)36π 類型二空間幾何體的內(nèi)切球 【例3】　(1)半徑為R的球的外切圓柱(球與圓柱的側(cè)面、兩底面都相切)的表面積為________，體積為________。 (2)若正四面體的棱長為a，則其內(nèi)切球的半徑為________。 (3)如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為(　　) A．π　　B．C．　　D．π 解析　(1)外切圓柱的底面半徑為R，高為2R，所以S表＝S側(cè)＋2S底＝2πR·2R＋2πR2＝6πR2，V圓柱＝πR2·2R＝2πR3。 (2

30、)如圖正四面體A－BCD的中心為O，即內(nèi)切球球心，內(nèi)切球半徑R，即為O到正四面體各面的距離。因為AB＝a，所以正四面體的高h＝a。又VA－BCD＝4VO－BCD，所以R＝h＝a。 (3)平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內(nèi)切圓。因為正方體的棱長為1，所以AC＝CD1＝AD1＝，所以內(nèi)切圓的半徑r＝，所以S＝πr2＝π×＝π。 答案　(1)6πR2,2πR3　(2)a　(3)C 1．正多面體存在內(nèi)切球且正多面體的中心為內(nèi)切球的球心。 2．求多面體內(nèi)切球半徑，往往可用“等體積法”。 V多＝S表·R內(nèi)切·。 3．正四面體內(nèi)切球半徑是高的，外接球半徑是高的。 4．并非所有

31、多面體都有內(nèi)切球(或外接球)。 【變式訓練】　(1)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切。記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________。 (2)已知一個三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個體積為的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個三棱柱的表面積是________。 解析　(1)設(shè)球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r，所以＝＝。 (2)根據(jù)已知可得球的半徑等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形內(nèi)切圓的半徑等于1，即底面三角形的高等于3，邊長等于2，所以這個三棱柱的表面積等于3×2×2＋2××2×3＝18。 答案　(1)　(2)18 17