《(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第29講 平面向量的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第29講 平面向量的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案 新人教A版(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第29講 平面向量的應(yīng)用
【課程要求】
1.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.
2.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題.
對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p80
【基礎(chǔ)檢測(cè)】
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若∥,則A,B,C三點(diǎn)共線.( )
(2)在△ABC中,若·<0,則△ABC為鈍角三角形.( )
(3)若平面四邊形ABCD滿足+=0,(-)·=0,則該四邊形一定是菱形.( )
(4)設(shè)定點(diǎn)A(1,2)與動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足·=4,則點(diǎn)P的軌跡方程是x+2y-4=0.( )
(5)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個(gè)定點(diǎn)A(-2,
2、-1),B(0,10),C(8,0),若動(dòng)點(diǎn)P滿足:=+t(+),t∈R,則點(diǎn)P的軌跡方程是x-y+1=0.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2.[必修4p108A組T5]已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),則該三角形為( )
A.銳角三角形B.直角三角形
C.鈍角三角形D.等腰直角三角形
[解析] =(2,-2),=(-4,-8),=(-6,-6),
∴||==2,||==4,
||==6,
∴||2+||2=||2,
∴△ABC為直角三角形.
3、
[答案]B
3.[必修4p109例1]在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),則2AB2+2AC2=____________.(用BC,AD表示)
[解析]?。?,-=,
兩式平方相加得2AB2+2AC2=BC2+4AD2.
[答案]BC2+4AD2
4.在△ABC中,已知=(2,3),=(1,k),且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角,則實(shí)數(shù)k的值為____________.
[解析]①若A=90°,則有·=0,即2+3k=0,
解得k=-;
②若B=90°,則有·=0,
因?yàn)椋剑?-1,k-3),
所以-2+3(k-3)=0,解得k=;
③若C=90°,則有·=0,即-1+k(
4、k-3)=0,
解得k=.
綜上所述,k=-或或.
[答案]-或或
5.在四邊形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),則該四邊形的面積為________.
[解析]依題意得·=1×(-4)+2×2=0,
所以⊥,所以四邊形ABCD的面積為
||·||=××=5.
[答案]5
6.設(shè)點(diǎn)A,B,C不共線,則“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的( )
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
[解析] 與的夾角為銳角,
所以||2+||2+2·>||2+||2-2·,
即|+|2>|-|2,
因?yàn)椋?,所以|+|>||;
5、
當(dāng)|+|>||成立時(shí),|+|2>|-|2?·>0,又因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C不共線,所以與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件,故選C.
[答案]C
【知識(shí)要點(diǎn)】
1.向量在平面幾何中的應(yīng)用
平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題.
(1)證明線段平行或點(diǎn)共線問(wèn)題,包括相似問(wèn)題,常用共線向量定理:a∥b,且b≠0?存在唯一的λ∈R,使a=λb?x1y2-x2y1=0或a=(x1,y1),b=(x2,y2);
(2)證明垂直問(wèn)題,常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì):a⊥b?__a·b=0__?
6、__x1x2+y1y2=0__;
(3)求夾角問(wèn)題,利用夾角公式.
2.平面向量在物理中的應(yīng)用
(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解和合成與向量的加法和減法相似,可用向量的知識(shí)來(lái)解決.
(2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量,是力F與位移S的數(shù)量積,即W=F·S=|F|·|S|·cosθ(θ為F與S的夾角).
【知識(shí)拓展】
(1)若G是△ABC的重心,則++=0.
(2)若直線l的方程為Ax+By+C=0,則向量(A,B)與直線l垂直,向量(-B,A)與直線l平行.
對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p81
向量在物理中的應(yīng)用
例1 一個(gè)重為|G|(單位:N)的物體,在豎直平面內(nèi)受到
7、兩個(gè)力F1、F2(單位:N)的作用處于平衡狀態(tài),已知F1、F2的大小分別為1N和2N,且二力所成的角為120°,則G與F2所成的角的大小為________.
[解析]如圖,∵∠AOB=120°,
∴∠A=60°.
在△AOC中,||2=||2+|2|-2||·||·cos60°=3,∴||=.
于是||2+||2=||2,即∠AOC=90°,
∴G與F2所成的角為150°.
[答案]150°
[小結(jié)]用向量法解決物理問(wèn)題的步驟:
①將相關(guān)物理量用幾何圖形表示出來(lái);
②將物理問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題;
③最后將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為物理問(wèn)題.
1.一質(zhì)點(diǎn)受到平面上
8、的三個(gè)力F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3(單位:N)的作用而處于平衡狀態(tài),已知F1,F(xiàn)2成60°角,且F1,F(xiàn)2的大小分別為2N和4N,則F3的大小為________N.
[解析]∵F1+F2=-F3,∴|F3|2=|F1+F2|2=4+16+2×2×4×=28,∴|F3|=2.
[答案]2
向量在平面幾何中的應(yīng)用
例2 在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,D是BC的中點(diǎn),E是線段AB上的點(diǎn),且AE=2BE,求證:AD⊥CE.
[解析]法一:(基向量法)
設(shè)=a,=b,則|a|=|b|,且a·b=0,
則=+=+=+
(-)=a+b.
=-=-=b-a.
·=·=-a2+b2=0,
9、
所以⊥,即AD⊥CE.
法二:(坐標(biāo)法)
以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB所在直線分別為x軸,y軸建立直角坐標(biāo)系.
設(shè)CA=2,則A(2,0),B(0,2),D(0,1),E,
所以=(-2,1),=,
所以·=-+=0,
所以⊥,即AD⊥CE.
[小結(jié)]用向量法解決幾何問(wèn)題的步驟:
①建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;
②通過(guò)向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系;
③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
2.如圖所示,四邊形ABCD是正方形,P是對(duì)角線DB上的一點(diǎn),四邊形PECF是矩形.證明:
(1)PA=EF;
(2
10、)PA⊥EF.
[解析]以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DC,DA所在的直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,
設(shè)P(t,t)(0
11、
A.-1B.-C.D.2
[解析]·=·=2·=2||2,顯然||的長(zhǎng)度為半個(gè)周期,周期T==2,∴||=1,所求值為2.
[答案]D
例4 在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若·=·=k(k∈R).
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)若k=2,求b的值.
[解析] (1)∵·=cbcosA,·=bacosC,
∴bccosA=abcosC.
根據(jù)正弦定理,得sinCcosA=sinAcosC,
即sinAcosC-cosAsinC=0,sin(A-C)=0,
∴∠A=∠C,即a=c.
則△ABC為等腰三
12、角形.
(2)由(1)知a=c,由余弦定理,得
·=bccosA=bc·=.
·=k=2,即=2,解得b=2.
[小結(jié)]三角函數(shù)與向量綜合往往以向量運(yùn)算構(gòu)造問(wèn)題的題設(shè)條件,因此依據(jù)向量知識(shí)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題是問(wèn)題求解的切入點(diǎn).
3.已知向量a=,b=(4,4cosα-),若a⊥b,則sin等于( )
A.-B.-
C.D.
[解析]由a⊥b得a·b=0,
即4sin+4cosα-=0,
∴2sinα+6cosα=.
∴sin=,
∴sin=-sin=-.
[答案]B
平面向量在解析幾何中的應(yīng)用
例5 已知點(diǎn)P(-3,0),點(diǎn)A在y軸上,點(diǎn)Q在x軸的正半軸上,
13、點(diǎn)M在直線AQ上,滿足·=0,=-,當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動(dòng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為____________.
[解析]設(shè)M(x,y)為軌跡上的任一點(diǎn),設(shè)A(0,b),Q(a,0)(a>0),
則=(x,y-b),=(a-x,-y).
因?yàn)椋剑?
所以(x,y-b)=-(a-x,-y),
所以a=x,b=-,即A,Q,
=,=.
因?yàn)椤ぃ?,所以3x-y2=0,
即所求軌跡的方程為y2=4x(x>0).
[答案]y2=4x(x>0)
[小結(jié)]向量的坐標(biāo)運(yùn)算可將幾何問(wèn)題用代數(shù)方法處理,也可以將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)解決,其中向量是橋梁,因此,在解此類題目的時(shí)候,一定要重視轉(zhuǎn)化與化歸
14、思想的運(yùn)用.
例6 已知F1, F2分別為橢圓C:+=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓C上.
(1)求·的最小值;
(2)設(shè)直線l的斜率為,直線l與橢圓C交于A, B兩點(diǎn),若點(diǎn)P在第一象限,且·=-1,求△ABP面積的最大值.
[解析] (1)依題意可知F1(-,0), F2(,0),
則=(--x0,-y0), =(-x0,-y0),
∴·=x+y-6,
∵點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓C上,∴+=1,即y=2-,
∴·=x+2--6=-4+(-2≤x0≤2),
∴當(dāng)x0=0時(shí),·的最小值為-4.
(2)設(shè)l的方程y=x+b,點(diǎn)A(x1,y1), B(x2,y2),
15、由得x2+2bx+2b2-4=0,
令Δ=4b2-8b2+16>0,解得-2
16、線方程為y-1=-(x+1),即x+y=0,
聯(lián)立方程可得,2x2+4x-5=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=-,
令y=0可得P(0,0),
·=x1x2+y1y2=2x1x2=-5.
[答案]-5
對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p82
(2019·江蘇)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若·=6·,則的值是________.
[解析]如圖,過(guò)點(diǎn)D作DF∥CE,交AB于點(diǎn)F,由BE=2EA,D為BC的中點(diǎn),知BF=FE=EA,AO=OD.
6·=3·
=·,
=·
=
=
=·-2+2=·,
得2=2,即=,故=.
[答案]
11