《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 第18講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 第18講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第四章 三角函數(shù) [知識(shí)體系p51] 第18講　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 【課程要求】 1．了解任意角的概念與弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化． 2．理解任意角三角函數(shù)(正弦，余弦，正切)的定義． 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p51 【基礎(chǔ)檢測(cè)】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角．(　　) (2)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)．(　　) (3)不相等的角終邊一定不相同．(　　) (4)若sinα＝sinβ，則α與β的終邊相同． (

2、5)三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角． (6)若α為第一象限角，則sinα＋cosα>1.(　　) [答案] (1)×　(2)√　(3)×　 (4)×　(5)× (6)√ 2．[必修4p10A組T7]角－225°＝____________弧度，這個(gè)角在第____________象限． [答案]－；二 3．[必修4p15T2]設(shè)角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，－3)，那么cosθ－2sinθ＝____________． [解析]由已知并結(jié)合三角函數(shù)的定義，得sinθ＝－，cosθ＝，所以cosθ－2sinθ＝－2×＝2. [答案]2 4．[必修4p10A組T6]一條弦的長(zhǎng)等于半

3、徑，這條弦所對(duì)的圓心角大小為_(kāi)___________弧度． [答案] 5．下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) [解析]與的終邊相同的角可以寫(xiě)成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確． [答案]C 6．集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是(　　) [解析]當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此時(shí)α表示的范圍與≤α≤表示的范圍一樣；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此時(shí)α表示

4、的范圍與π＋≤α≤π＋表示的范圍一樣，故選C. [答案]C 7．如果2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為(　　) A．sin2B.C．2sin1D．tan1 [解析]由圖可知：弦長(zhǎng)AB＝2，所以半徑為，由弧長(zhǎng)公式可得：lAB＝αr＝. [答案]B 8．函數(shù)y＝的定義域?yàn)開(kāi)_________________． [解析]∵2cosx－1≥0， ∴cosx≥. 由三角函數(shù)線畫(huà)出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)， ∴x∈(k∈Z)． [答案](k∈Z) 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．角的概念的推廣 (1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著__端點(diǎn)

5、__從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形． (2)分類 (3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定義和公式 (1)定義：把長(zhǎng)度等于__半徑長(zhǎng)__的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad. (2)公式 角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(弧長(zhǎng)用l表示) 角度與弧度的換算 ①1°＝rad；②1rad＝° 弧長(zhǎng)公式 弧長(zhǎng)l＝__|α|r__ 扇形面積公式 S＝__lr__＝__|α|r2__ 3.任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正　弦 余　弦 正　切 定 義

6、 設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么 __y__叫做α 的正弦，記作 sinα　　　 __x__叫做α 的余弦，記作 cosα　　　 ____叫做α 的正切，記作 tanα　　　 各象限符號(hào) Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函數(shù)線 有向線段__MP__ 為正弦線 有向線段__OM__ 為余弦線 有向線段__AT

7、__ 為正切線 表中M：垂足，P：α終邊與單位圓交點(diǎn)，O(0，0)，A(1，0)，T：?jiǎn)挝粓A的切線與α終邊或反向延長(zhǎng)線的交點(diǎn)． 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p52 象限角及終邊相同的角 例1　(1)若角α＝45°＋k·180°，k∈Z，則角α的終邊落在(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．第一或第三象限B．第一或第二象限 C．第二或第四象限D(zhuǎn)．第三或第四象限 [解析]α＝45°＋k·180°，k∈Z， 當(dāng)k＝0時(shí)，α＝45°，此時(shí)α為第一象限角，排除C，D； 當(dāng)k＝1時(shí)，α＝225°，此時(shí)α是第三象限角，排除B； ∴角α的終邊落在第一或

8、第三象限，故選A. [答案]A (2)(多選)若角α是第二象限角，則可能是(　　) A．第一象限角B．第二象限角 C．第三象限角D．第四象限角 [解析]∵α是第二象限角， ∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z. 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角； 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角． [答案]AC (3)終邊在直線y＝x上，且在[－2π，2π)內(nèi)的角α的集合為_(kāi)___________． [解析]如圖，在坐標(biāo)系中畫(huà)出直線y＝x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是，在[0，2π)內(nèi)，終邊在直線y＝x上的角有兩個(gè)：，π；在[－2π，0)內(nèi)滿足條件的角有兩個(gè)：－π，

9、－π，故滿足條件的角α構(gòu)成的集合為. [答案] [小結(jié)](1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角． (2)確定kα，(k∈N*)的終邊位置的方法：先寫(xiě)出kα或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或的終邊所在位置． 1．若α是第三象限的角，則180°－α是第________象限角． [解析]若α是第三象限的角，則180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z. 所以－90°－k·360°<180°－α<－k·360°，k∈Z， 所以180°－α是第四象限角． [答案

10、]四 弧度制及其應(yīng)用 例2　已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l. (1)若α＝75°，R＝12cm，求扇形的弧長(zhǎng)l和面積； (2)若扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？ [解析] (1)α＝75°＝，l＝12×＝5π(cm)． 所以S＝lR＝30π(cm2)． (2)由已知得，l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以當(dāng)R＝5cm時(shí)，S取得最大值25cm2， 此時(shí)l＝10(cm)，α＝2rad. [小結(jié)]1.在解決扇形問(wèn)題時(shí)要注意： (1)扇形的圓心角α、弧長(zhǎng)、半徑之間的關(guān)系：|

11、α|＝. (2)扇形的面積S與圓心角α、弧長(zhǎng)l、半徑r之間的關(guān)系：S＝πr2＝lr. (3)扇形的周長(zhǎng)為C＝2r＋l. 2．求扇形面積的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)量中的任意兩個(gè)量． 2．已知扇形的周長(zhǎng)是12，面積是8，則扇形的中心角的弧度數(shù)是(　　) A．1B．4 C．1或4D．2或4 [解析]設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l， 則l＋2r＝12，S＝lr＝8, ∴解得r＝2，l＝8或r＝4，l＝4，∴α＝＝4或1，故選C. [答案]C 三角函數(shù)的定義 例3　(1)設(shè)角α是第二象限角，P(x，4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cosα＝x，則sinα＝(　　) A.

12、B．－C.D．－ [解析]由題意可得x＜0，r＝|OP|＝， 故cosα＝＝. 再由cosα＝x可得x＝－3，∴sinα＝＝. [答案]A (2)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝(　　) A．－B．－ C.D. [解析]設(shè)P(t，2t)(t≠0)為角θ終邊上任意一點(diǎn)， 則cosθ＝. 當(dāng)t>0時(shí)，cosθ＝；當(dāng)t<0時(shí)，cosθ＝－. 因此cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－. [答案]B (3)函數(shù)y＝lg(2sinx－1)＋的定義域?yàn)開(kāi)_____________________． [解析]要使原函數(shù)有意義，

13、必須有 即如圖，在單位圓中作出相應(yīng)的三角函數(shù)線，由圖可知，原函數(shù)的定義域?yàn)?(k∈Z)． [答案](k∈Z) [小結(jié)]用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況 (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解； (2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來(lái)求解． 3．角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，則sinα－cosα＝________． [解析]根據(jù)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，可得x＝，y＝－，r＝＝1， ∴cosα＝＝，sinα＝＝－， 則sinα－cosα＝×－＝－2.

14、 [答案]－2 4．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－x，－6)，且cosα＝－，則＋＝__________． [解析]∵角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－x，－6)，且cosα＝－， ∴cosα＝＝－，解得x＝或x＝－(舍去)， ∴P， ∴sinα＝－，∴tanα＝＝， 則＋＝－＋＝－. [答案]－ 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p53 (2017·北京理)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．若sinα＝，則cos(α－β)＝__________． [解析]因?yàn)棣梁挺玛P(guān)于y軸對(duì)稱，所以α＋β＝π＋2kπ， 那么sinβ＝sinα＝，cosα＝－cosβ， 這樣cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1＝－. [答案]－ 11