20、的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：畫出函數(shù)f(x)＝的圖象如圖1所示．
圖1
設f(x)＝t，則方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0有五個不同的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為方程t2－at＋b＝0在區(qū)間(0,1)和區(qū)間(－∞，0)上分別有一個實數(shù)根．令g(t)＝t2－at＋b，可得不等式組即結(jié)合畫出圖形，如圖2，不等式組表示的區(qū)域為邊長為2的正方形ABCD，不等式組表示的區(qū)域為圖2中的陰影部分，所以方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0有五個不同實數(shù)根的概率P＝＝，故選B.
圖2
答案：B
6．[2019·山西第一次聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝a(x－1)－sinx(a>0)
21、恰有兩個零點x1，x2，且x10)的零點，即方程a(x－1)－sinx＝0(a>0)的根，即直線y＝a(x－1)(a>0)和曲線y＝sinx交點的橫坐標．畫出直線y＝a(x－1)(a>0)與曲線y＝sinx，如圖所示，則當直線y＝a(x－1)(a>0)與曲線y＝sinx恰有兩個公共點A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)，且x10)與曲線y＝sinx相切，又直線y＝a(x－1)(a>0)恒過點(1,0)，所以切點為A(x1，
22、sinx1)．對y＝sinx求導，得y′＝cosx，于是cosx1＝a，所以＝cosx1，得x1－tanx1＝1.故選D.
答案：D
7．[2019·武昌調(diào)研]已知函數(shù)f(x)＝x3＋a，則f(x)的零點可能有( )
A．1個 B．1個或2個
C．1個或2個或3個 D．2個或3個
解析：因為f(x)＝x3＋a，所以f′(x)＝x2＋ax＋a，令f′(x)＝0，則Δ＝a2－4a＝(a－2)2－4.
因為x2＋x＋2＝(x＋1)2＋>0，所以令f(x)＝0，則a＝，f(x)的零點轉(zhuǎn)化為直線y＝a與函數(shù)g(x)＝的圖象的交點．
g′(x)＝＝
，令g′(x)＝0，即－x4－x3
23、－2x2＝0，整理得x2(x2＋4x＋12)＝0，由于x2＋4x＋12＝(x＋2)2＋8>0，所以x＝0，所以g′(x)≤0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，所以直線y＝a與函數(shù)g(x)的圖象可能有1個交點．所以f(x)的零點可能有1個．故選A.
答案：A
8．[2019·江蘇卷]設f(x)，g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù)，f(x)的周期為4，g(x)的周期為2，且f(x)是奇函數(shù)．當x∈(0,2]時，f(x)＝，g(x)＝其中k>0.若在區(qū)間(0,9]上，關(guān)于x的方程f(x)＝g(x)有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是________．
解析：當x∈(0,2]時，令y＝，
24、則(x－1)2＋y2＝1，y≥0，即f(x)的圖象是以(1,0)為圓心、1為半徑的半圓，利用f(x)是奇函數(shù)，且周期為4，畫出函數(shù)f(x)在(0,9]上的圖象，再在同一坐標系中作出函數(shù)g(x)(x∈(0,9])的圖象，如圖，關(guān)于x的方程f(x)＝g(x)在(0,9]上有8個不同的實數(shù)根，即兩個函數(shù)的圖象有8個不同的交點，數(shù)形結(jié)合知g(x)(x∈(0,1])與f(x)(x∈(0,1])的圖象有2個不同的交點時滿足題意，當直線y＝k(x＋2)經(jīng)過點(1,1)時，k＝，當直線y＝k(x＋2)與半圓(x－1)2＋y2＝1(y≥0)相切時，＝1，k＝或k＝－(舍去)，所以k的取值范圍是.
答案：
25、
調(diào)研三 導數(shù)及其應用
■備考工具——————————————
一、導數(shù)的運算法則
1．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
原函數(shù)
導函數(shù)
f(x)＝C(C為常數(shù))
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sinx
f′(x)＝cosx
f(x)＝cosx
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax
f′(x)＝axlna(a>0，且a≠1)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝(a>0，且a≠1)
f(x)＝lnx
f′(x)＝
2．導數(shù)的運算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±
26、g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
3．復合函數(shù)的導數(shù)
復合函數(shù)的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)與中間變量對自變量的導數(shù)的乘積，設y＝f(u)，u＝g(x)，則y′＝f′(u)·g′(x)，其中f′(u)與g′(x)有意義．
4．導數(shù)的幾何意義
(1)函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率．用好這個條件是解決切線問題的關(guān)鍵，不知道切點時要先設切點．
(2)曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線是指P為切點，斜率為k＝f′(x0)的切線
27、，是唯一的一條切線．
(3)曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)的切線，是指切線經(jīng)過點P，點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條．
二、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
1．函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系
在區(qū)間(a，b)
內(nèi)f′(x)
2．由函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在該區(qū)間恒成立，而不是f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少．必要時還需對“＝”進行檢驗．
三、導數(shù)與函數(shù)的極值與最值
1．判斷函數(shù)極值的方法
一般地，當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，
(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<
28、0，那么f(x0)是極大值；
(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．
(3)“極值點”不是點，若函數(shù)f(x)在x1處取得極大值，則x1即為極大值點，極大值為f(x1)；在x2處取得極小值，則x2為極小值點，極小值為f(x2)．
2．求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟
(1)求導函數(shù)f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)檢驗f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右兩側(cè)的函數(shù)值的符號，如果左正右負，那么函數(shù)y＝f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么函數(shù)y＝f(x)在這個根處取得極小值，可列表完成．
3．函數(shù)的最值
29、
在閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)y＝f(x)，在[a，b]上必有最大值與最小值．在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)y＝f(x)，若有唯一的極值點，則這個極值點就是最值點．
■自測自評——————————————
1．[2019·全國卷Ⅲ]已知曲線y＝aex＋xlnx在點(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，則( )
A．a(chǎn)＝e，b＝－1 B．a(chǎn)＝e，b＝1
C．a(chǎn)＝e－1，b＝1 D．a(chǎn)＝e－1，b＝－1
解析：因為y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲線在點(1，ae)處的切線方程為y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得
答
30、案：D
2．[2019·合肥調(diào)研]已知函數(shù)f(x)＝ex＋e－x＋2cosx，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則對任意a∈R，下列不等式一定成立的是( )
A．f(a2＋1)≥f(2a)
B．f(a2＋1)≤f(2a)
C．f(a2＋1)≥f(a＋1)
D．f(a2＋1)≤f(a)
解析：依題意可知，f(x)＝ex＋e－x＋2cosx＝f(－x)，所以f(x)是偶函數(shù)，f′(x)＝ex－e－x－2sinx，且f′(0)＝0，令h(x)＝f′(x)，則h′(x)＝ex＋e－x－2cosx，當x∈[0，＋∞)時，h′(x)＝ex＋e－x－2cosx≥0恒成立，所以f′(x)＝ex－e－x－2
31、sinx在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，(a2＋1)2－4a2＝(a2－1)2≥0，所以f(a2＋1)≥f(2a)，故選A.
答案：A
3．[2019·山西八校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝(kx－2)ex－x(x>0)，若f(x)<0的解集為(s，t)，且(s，t)中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
解析：令f(x)<0，得kx－2<，令g(x)＝(x>0)，則g′(x)＝(x>0)，令g′(x)>0，解得01，故g(
32、x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增．當x→＋∞時，g(x)→0，作出g(x)及函數(shù)y＝kx－2的大致圖象如圖所示．f(x)<0的解集為(s，t)，且在(s，t)上恰有兩個整數(shù)解，由圖可知，這兩個整數(shù)解為1和2，從而有解得＋≤k<＋1.
答案：D
4．[2019·南昌重點中學]已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，記f(x)的導函數(shù)為f′(x)，當x≥0時，滿足f′(x)－f(x)>0.若?x∈[－2，＋∞)，使不等式f[ex(x3－3x＋3)]≤f(aex＋x)成立，則實數(shù)a的最小值為( )
A.－1 B．2－
C．1＋2e2 D．1－
解析：因為f(x)是定義在
33、R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，滿足f′(x)－f(x)>0，所以不妨設f(x)＝ex－e－x，因為f(x)＝ex－e－x是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以由f[ex(x3－3x＋3)]≤f(aex＋x)得ex(x3－3x＋3)≤aex＋x，所以不等式ex(x3－3x＋3)－aex－x≤0在區(qū)間[－2，＋∞)上有解，所以a≥x3－3x＋3－在區(qū)間[－2，＋∞)上有解，設g(x)＝x3－3x＋3－，x∈[－2，＋∞)，則g′(x)＝3x2－3＋＝(x－1)，當x∈[－2,1)時，g′(x)<0，當x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[－2,1)上是減函數(shù)，在區(qū)間(1，＋∞)上是增
34、函數(shù)，所以g(x)≥g(1)＝1－，所以a≥1－，故選D.
答案：D
5．[2019·開封定位考試]已知函數(shù)f(x)＝lnx＋，k∈[4，＋∞)，曲線y＝f(x)上總存在兩點M(x1，y1)，N(x2，y2)，使曲線y＝f(x)在M，N兩點處的切線互相平行，則x1＋x2的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
解析：f′(x)＝－－1(x>0，k≥4)，由題意知，f′(x1)＝f′(x2)(x1，x2>0且x1≠x2)，即－－1＝－－1，化簡得4(x1＋x2)＝x1x2，而x1x2<2，所以4(x1＋x2)<2，即x1＋x2>對k∈[4，＋∞)恒成立，令g(k)＝k＋，則g′(k
35、)＝1－＝>0對k∈[4，＋∞)恒成立，故g(k)在[4，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)≥g(4)＝5，所以≤，所以x1＋x2>，故x1＋x2的取值范圍為.
答案：B
6．[2019·安徽示范高中]設函數(shù)f(x)在R上存在導數(shù)f′(x)，對任意的x∈R，有f(－x)－f(x)＝0，且x∈[0，＋∞)時，f′(x)>2x.若f(a－2)－f(a)≥4－4a，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
解析：令G(x)＝f(x)－x2，則G′(x)＝f′(x)－2x，x∈[0，＋∞)時，G′(x)＝f′(x)－2x>0，∴G(x)
36、在[0，＋∞)上是增函數(shù)．G(－x)＝f(－x)－(－x)2＝f(x)－x2＝G(x)，∴G(x)為偶函數(shù)，G(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)．
∵f(a－2)－f(a)≥4－4a，∴f(a－2)－4＋4a－a2≥f(a)－a2，∴f(a－2)－(a－2)2≥f(a)－a2，即G(a－2)≥G(a)，∴|a－2|≥|a|，∴a≤1.
答案：A
7．[2019·廣東六校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx滿足f(1＋x)＋f(1－x)＋22＝0，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．
解析：函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx滿足f(1＋x)＋f(1－x)＋22＝0，即(1＋x)3
37、＋a(1＋x)2＋b(1＋x)＋(1－x)3＋a(1－x)2＋b(1－x)＋22＝0，整理得(2a＋6)x2＋2a＋2b＋24＝0，即，解得，所以f(x)＝x3－3x2－9x，f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)<0，解得－1
（新高考）2020版高考數(shù)學二輪復習 第二部分 講重點 選填題專練 第10講 函數(shù)與導數(shù)教學案 理
