《2020版高中數(shù)學 第三章 概率 3.3 隨機數(shù)的含義與應用 3.4 概率的應用學案（含解析）新人教B版必修3》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高中數(shù)學 第三章 概率 3.3 隨機數(shù)的含義與應用 3.4 概率的應用學案（含解析）新人教B版必修3（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、3.3　隨機數(shù)的含義與應用 3.4　概率的應用 學習目標　1.通過具體問題感受幾何概型的概念，體會幾何概型的意義.2.會求一些簡單的幾何概型的概率.3.了解隨機數(shù)的意義，能用計算機隨機模擬法估計事件的概率.4.應用概率解決實際問題． 知識點一　幾何概型的概念 思考　往一個方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一點上．這個試驗可能出現(xiàn)的結果是有限個，還是無限個？若沒有人為因素，每個試驗結果出現(xiàn)的可能性是否相等？ 答案　出現(xiàn)的結果是無限個；每個結果出現(xiàn)的可能性是相等的． 梳理 1．幾何概型的定義 事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，如圖，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度

2、、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關．滿足以上條件的試驗稱為幾何概型． 2．幾何概型的特點 (1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有無限多個． (2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 知識點二　幾何概型的概率公式 思考　既然幾何概型的基本事件有無限多個，難以像古典概型那樣計算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件數(shù)與總的基本事件數(shù)之比？ 答案　可以用事件A所占有的幾何量與總的基本事件所占有的幾何量之比來表示． 梳理 幾何概型的概率計算公式 在幾何概型中，事件A的概率定義為：P(A)＝，其中，μΩ表示區(qū)域Ω的幾何度量，μA表示子區(qū)域A的幾何度量． 知識點三　均勻隨

3、機數(shù) 1．隨機數(shù) 隨機數(shù)就是在一定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個范圍內(nèi)的每一個數(shù)的機會一樣． 2．計算機隨機模擬法或蒙特卡羅方法 建立一個概率模型，它與某些我們感興趣的量有關，然后設計適當?shù)脑囼?，并通過這個試驗的結果來確定這些量．按照以上思路建立起來的方法稱為計算機隨機模擬法或蒙特卡羅方法． 1．與面積有關的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關．(　×　) 2．隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率．(　√　) 題型一　幾何概型的識別 例1　下列關于幾何概型的說法錯誤的是(　　) A．幾何概型是古典概型的一種，基本事件都要具有等可能性 B．幾何概型中事件發(fā)生的概率與

4、它的形狀或位置無關 C．幾何概型在一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有無限多個 D．幾何概型中每個結果的發(fā)生都具有等可能性 答案　A 解析　幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型，幾何概型中的基本事件有無限多個，古典概型中的基本事件為有限個． 反思與感悟　幾何概型特點的理解 (1)無限性：在每次隨機試驗中，不同的試驗結果有無窮多個，即基本事件有無限多個； (2)等可能性：在每次隨機試驗中，每個試驗結果出現(xiàn)的可能性相等，即基本事件的發(fā)生是等可能的． 跟蹤訓練1　判斷下列概率模型是古典概型還是幾何概型． (1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求出現(xiàn)兩個“4點”的概率； (2)如圖所示，圖中有

5、一個轉盤，甲、乙玩轉盤游戲，規(guī)定當指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率． 解　(1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所有可能結果有6×6＝36(種)，且它們的發(fā)生都是等可能的，因此屬于古典概型． (2)游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結果，且它們的發(fā)生都是等可能的，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”的概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域面積有關，因此屬于幾何概型． 題型二　幾何概型的計算 例2　某公共汽車站，每隔15分鐘有一輛車發(fā)出，并且發(fā)出前在車站?？?分鐘，求乘客到站候車時間大于10分鐘的概率． 解　如圖所示，設相鄰兩班車的發(fā)車時刻為T1，T2，

6、T1T2＝15. 設T0T2＝3，TT0＝10，記“乘客到站候車時間大于10分鐘”為事件A. 則當乘客到站時刻t落到T1T上時，事件A發(fā)生． 因為T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15， 所以P(A)＝＝. 引申探究　 1．本例中在題設條件不變的情況下，求候車時間不超過10分鐘的概率． 解　由原題解析圖可知，當t落在TT2上時，候車時間不超過10分鐘，故所求概率P＝＝. 2．本例中在題設條件不變的情況下，求乘客到達車站立即上車的概率． 解　由原題解析圖可知，當t落在T0T2上時，乘客立即上車，故所求概率P＝＝＝. 反思與感悟　若一次試驗中所有可能的結果和某個事件A包

7、含的結果(基本事件)都對應一個長度，如線段長、時間區(qū)間長、距離、路程等，那么需要先求出各自相應的長度，然后運用幾何概型的概率計算公式求出事件A發(fā)生的概率． 跟蹤訓練2　平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑為r(r＜a)的硬幣任意擲在這個平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率． 解　記“硬幣不與任何一條平行線相碰”為事件A，如圖，由圖可知，硬幣圓心在線段AB上的任意一點的出現(xiàn)是等可能的．圓心在線段CD(不含點C，D)上出現(xiàn)時硬幣不與平行線相碰，所以P(A)＝＝＝. 例3　設點M(x，y)在區(qū)域{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}上均勻分布出現(xiàn)，求： (1)x＋y≥

8、0的概率； (2)x＋y＜1的概率； (3)x2＋y2≥1的概率． 解　如圖，滿足|x|≤1，|y|≤1的點(x，y)組成一個邊長為2的正方形(ABCD)區(qū)域(含邊界)，S正方形ABCD＝4. (1)x＋y＝0的圖象是直線AC，滿足x＋y≥0的點在AC的右上方(含AC)，即在△ACD內(nèi)(含邊界)，而S△ACD＝·S正方形ABCD＝2，所以P(x＋y≥0)＝＝. (2)設E(0,1)，F(xiàn)(1,0)，則x＋y＝1的圖象是EF所在的直線，滿足x＋y＜1的點在直線EF的左下方，即在五邊形ABCFE內(nèi)(不含邊界EF)，而S五邊形ABCFE＝S正方形ABCD－S△EDF＝4－＝， 所以P(

9、x＋y＜1)＝＝＝. (3)滿足x2＋y2＝1的點是以原點為圓心的單位圓O，S⊙O＝π，所以P(x2＋y2≥1)＝＝. 反思與感悟　如果每個基本事件可以理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，某個隨機事件的發(fā)生理解為恰好取到上述區(qū)域的某個指定區(qū)域內(nèi)的點，且該區(qū)域中的每一個點被取到的機會都一樣，這樣的概率模型就可以視為幾何概型，并且這里的區(qū)域可以用面積表示，利用幾何概型的概率公式求解． 跟蹤訓練3　歐陽修《賣油翁》中寫到，(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌瀝之，自錢孔入而錢不濕．若銅錢是直徑為3cm的圓，中間有一個邊長為1cm的正方形孔，若隨機向銅錢上滴一滴油(油滴的大小忽略不

10、計)，則油滴正好落入孔中的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　∵S正方形＝1cm2，S圓＝π·2＝(cm2)， ∴P＝＝，故選A. 例4　已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為a，高為h，在正三棱錐內(nèi)取點M，試求點M到底面的距離小于的概率． 解　如圖，分別在SA，SB，SC上取點A1，B1，C1，使A1，B1，C1分別為SA，SB，SC的中點，則當點M位于平面ABC和平面A1B1C1之間時，點M到底面的距離小于. 設△ABC的面積為S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比為2，得△A1B1C1的面積為. 由題意，知區(qū)域D(三棱錐S－ABC)的體積為Sh， 區(qū)域d

11、(三棱臺ABC－A1B1C1)的體積為Sh－··＝Sh. 所以點M到底面的距離小于的概率為P＝. 反思與感悟　如果試驗的結果所構成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計算公式為P(A)＝. 解決此類問題的關鍵是注意幾何概型的條件，分清所求的概率是與體積有關還是與長度有關，不要將二者混淆． 跟蹤訓練4　在一個球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體，一動點在球內(nèi)運動，則此點落在正方體內(nèi)部的概率為(　　) A. B.π C. D. 答案　D 解析　由題意可知這是一個幾何概型，棱長為1的正方體的體積V1＝1，球的直徑是正方體的體對角線長，故球的半徑R＝，球的體積V2＝π×3＝π，則此點落在正

12、方體內(nèi)部的概率P＝＝. 題型三　均勻隨機數(shù)及隨機模擬方法 例5　在如圖所示的正方形中隨機撒一把豆子，計算落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比并以此估計圓周率的值. 解　隨機撒一把豆子，每個豆子落在正方形內(nèi)任何一點是等可能的，落在每個區(qū)域的豆子數(shù)與這個區(qū)域的面積近似成正比， 即≈. 設正方形的邊長為2，則圓的半徑為1，則＝＝，由于落在每個區(qū)域的豆子數(shù)是可以數(shù)出來的，所以π≈×4.所以就得到了π的近似值． 反思與感悟　(1)用隨機數(shù)模擬的關鍵是把實際問題中事件A及基本事件總體對應的區(qū)域轉化為隨機數(shù)的范圍．用轉盤產(chǎn)生隨機數(shù)，這種方法可以親自動手操作，但費時費力，試驗次數(shù)不可能很

13、大． (2)用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)，可以產(chǎn)生大量的隨機數(shù)，又可以自動統(tǒng)計試驗的結果，同時可以在短時間內(nèi)進行多次重復試驗，可以對試驗結果的隨機性和規(guī)律性有更深刻的認識． 跟蹤訓練5　利用隨機模擬方法計算由y＝1和y＝x2所圍成的圖形的面積． 解　以直線x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1為邊界作矩形， (1)利用計算器或計算機產(chǎn)生兩組0～1區(qū)間的均勻隨機數(shù)，a1＝RAND，b＝RAND； (2)進行平移和伸縮變換，a＝2(a1－0.5)； (3)數(shù)出落在陰影內(nèi)的樣本點數(shù)N1，用幾何概型公式計算陰影部分的面積． 例如做1000次試驗，即N＝1000，模擬得到N1＝698， 所以P＝＝＝

14、， 即陰影部分的面積S＝矩形面積×＝2×＝1.396. 1．下列概率模型是幾何概型的為(　　) A．已知a，b∈{1,2,3,4}，求使方程x2＋2ax＋b＝0有實根的概率 B．已知a，b滿足|a|≤2，|b|≤3，求使方程x2＋2ax＋b＝0有實根的概率 C．從甲、乙、丙三人中選2人參加比賽，求甲被選中的概率 D．求張三和李四的生日在同一天的概率(一年按365天計算) 答案　B 解析　對于選項B，a，b滿足的條件為坐標平面內(nèi)某一區(qū)域，涉及面積問題，為幾何概型，其他三個選項均為古典概型． 2．面積為S的△ABC，D是BC的中點，向△ABC內(nèi)部投一點，那么點落在△ABD內(nèi)的

15、概率為(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　向△ABC內(nèi)部投一點的結果有無限個，屬于幾何概型．設點落在△ABD內(nèi)為事件M，則P(M)＝＝. 3．如圖，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域．在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是，則陰影區(qū)域的面積是(　　) A. B. C. D．無法計算 答案　C 解析　在正方形中隨機撒一粒豆子，其結果有無限個，屬于幾何概型．設“落在陰影區(qū)域內(nèi)”為事件A，則事件A構 成的區(qū)域是陰影部分．設陰影區(qū)域的面積為S，全部結果構成的區(qū)域面積是正方形的面積，則有P(A)＝＝＝，解得S＝. 4．在200mL的水中有一個草履蟲，

16、現(xiàn)從中隨機取出20mL水樣利用顯微鏡觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是________． 答案　0.1 解析　記“從200mL水中隨機取出20mL水樣利用顯微鏡觀察，發(fā)現(xiàn)草履蟲”為事件A，則由幾何概型的概率計算公式可得P(A)＝＝0.1. 5．在區(qū)間[0,1]上任取三個數(shù)a，b，c，若向量m＝(a，b，c)，求|m|≥1的概率． 解　∵a，b，c∈[0,1]， ∴Ω＝{(a，b，c)|0≤a≤1,0≤b≤1,0≤c≤1}構成的區(qū)域為單位正方體(其中原點O為正方體的一個頂點)． 設“|m|≥1”為事件A， 則表示“|m|＜1”，即a2＋b2＋c2＜1，這樣的點(a，b，c)位于單位正方體內(nèi)

17、，且在以原點為球心，1為半徑的球內(nèi)，V′＝×π×13＝. 又V正方體＝1，∴P()＝＝， 因此P(|m|≥1)＝P(A)＝1－P()＝1－. 1．幾何概型適用于試驗結果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型． 2．幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關的問題． 3．注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別． 4．理解如何將實際問題轉化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，概率公式為 P(A)＝. 一、選擇題 1．在區(qū)間(15,25)內(nèi)的所有實數(shù)中隨機取一個實數(shù)a，則這個實數(shù)滿足17

18、P(17

19、到黃燈”的時間長度為5秒，而整個燈的變換時間長度為80秒，據(jù)幾何概型概率計算公式，得立刻看到黃燈的概率為P＝＝. 4．如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點處各有一個通信基站，假設其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常)．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是(　　) A．1－B.－1C．2－D. 答案　A 解析　由題意得，無信號的區(qū)域面積為2×1－2×π×12＝2－，由幾何概型的概率公式，得無信號的概率為P＝＝1－. 5．在長為12cm的線段AB上任取一點C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該

20、矩形面積小于32cm2的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　設AC＝xcm，則BC＝(12－x)cm(0＜x＜12)， ∴矩形面積為x(12－x)cm2， 由x(12－x)＜32，解得x＞8或x＜4， ∴0＜x＜4或8＜x＜12. ∴所求概率為＝，故選C. 6．有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是(　　) 答案　A 解析　選項A中，概率P＝；選項B中，概率P＝＝；選項C中，概率P＝＝；選項D中，概率P＝，則概率最大的為A，故選A. 7．如圖，在等腰三角形ABC中，∠AC

21、B＝120°，DA＝DC，過頂點C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點M，則AM

22、剪斷都是一個基本事件，剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點． 如圖，記“剪得兩段的長都不小于1m”為事件A.把繩子三等分，于是當剪斷位置處在中間一段上時，事件A發(fā)生．由于中間一段的長度等于繩長的，于是事件A發(fā)生的概率P(A)＝. 9．有一個圓面，圓面內(nèi)有一個內(nèi)接正三角形，若隨機向圓面上投一鏢都中圓面，則鏢落在三角形內(nèi)的概率為________． 答案　 解析　設圓面半徑為R， 如圖所示，△ABC的面積S△ABC＝3·S△AOC＝3·AC·OD＝3·CD·OD ＝3·Rsin60°·Rcos60°＝， ∴P＝＝＝. 10．射箭比賽的箭靶涂有五個彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)依次為

23、白色、黑色、藍色、紅色，靶心是金色，金色靶心叫“黃心”．奧運會射箭比賽的靶面直徑是122cm，黃心直徑是12.2cm，運動員在距離靶面70m外射箭．假設射箭都等可能射中靶面內(nèi)任何一點，那么射中黃心的概率是________． 答案　0.01 解析　由于中靶點隨機地落在面積為×π×1222cm2的大圓內(nèi)，若要射中黃心，則中靶點落在面積為×π×12.22cm2的圓內(nèi)，所以P＝＝0.01. 11．已知圓O：x2＋y2＝12，直線l：4x＋3y＝25，則圓O上任意一點A到直線l的距離小于2的概率為________． 答案　 解析　因為圓心(0,0)到直線l的距離為5，圓O的半徑為2，所以直線l

24、與圓O相離．設l0∥l且圓心到l0的距離為3，則滿足題意的點A位于l0，l之間的弧上(不在直線l0上)，結合條件可求得該弧所對的圓心角為周角的，由幾何概型的概率計算公式可得P＝. 三、解答題 12．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別記為a，b，求使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點的概率． 解　在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機取兩個數(shù)記為(a，b)，表示邊長為2π的正方形邊界及內(nèi)部(正方形的中心為原點)．要使函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點，需4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，表示以原點為圓心，為半徑的圓的圓周及外部，且在正方形的內(nèi)部，所以其面積為4π2－π2＝3

25、π2，所以有零點的概率為＝. 13.如圖，在單位圓O的某一直徑上隨機的取一點Q，求過點Q且與該直徑垂直的弦長長度不超過1的概率． 解　弦長不超過1，故OQ≥，因為Q點在直徑AB上是隨機的，設事件A為“弦長長度超過1”，由幾何概型概率的計算公式得， P(A)＝＝.所以其對立事件“弦長不超過1”的概率為P()＝1－P(A)＝1－. 四、探究與拓展 14．在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為________． 答案　1－ 解析　如圖，要使圖中點到O的距離大于1，則該點需取在圖中陰影部分，故概率P＝＝1

26、－. 15．兩人約定在20時到21時之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨立的，且在20時到21時之間各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內(nèi)相見的概率． 解　設兩人分別于(20＋x)時和(20＋y)時到達約定地點(0≤x，y≤1)，要使兩人能在約定時間范圍內(nèi)相見，則有－≤x－y≤.(x，y)的各種可能結果可用圖中的單位正方形(包括邊界)來表示，滿足兩人在約定的時間范圍內(nèi)相見的(x，y)的各種可能結果可用圖中的陰影部分(包括邊界)來表示． 因此陰影部分與單位正方形的面積比就是兩人在約定時間范圍內(nèi)相見的可能性的大小，也就是所求的概率，即P＝＝＝. 14