9、
因?yàn)?≤x≤2,∴1≤x3≤8,
又1<a<3,所以2ax3-1>0,所以f′(x)>0,
所以函數(shù)f(x)=ax2+(其中1<a<3)在[1,2]上是增函數(shù).
函數(shù)單調(diào)性(區(qū)間)的判斷
例2 (1)(多選)下列函數(shù)f(x)中,滿(mǎn)足“任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0”的是( )
A.f(x)=-xB.f(x)=x3
C.f(x)=lnxD.f(x)=
[解析]“任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0”等價(jià)于函數(shù)為減函數(shù),四個(gè)選項(xiàng)
10、中,只有AD選項(xiàng)符合.
[答案]AD
(2)函數(shù)f(x)=x2-3|x|+2的單調(diào)減區(qū)間是________.
[解析]去絕對(duì)值,得函數(shù)f(x)=
當(dāng)x≥0時(shí),函數(shù)f(x)=x2-3x+2的單調(diào)遞減區(qū)間為;
當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)f(x)=x2+3x+2的單調(diào)遞減區(qū)間為;
綜上,函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞減區(qū)間為,.
[答案],
[小結(jié)]1.掌握確定函數(shù)單調(diào)性(區(qū)間)的常用方法
(1)定義法和導(dǎo)數(shù)法,證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法和導(dǎo)數(shù)法;
(2)復(fù)合函數(shù)法,復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是“同增異減”;
(3)圖象法.
2.熟記函數(shù)單調(diào)性的4個(gè)常用結(jié)論
(1)若f(x),g(x)均是區(qū)間A
11、上的增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù);
(2)若k>0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反;
(3)函數(shù)y=f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y=-f(x),y=的單調(diào)性相反;
(4)函數(shù)y=f(x)(f(x)≥0)在公共定義域內(nèi)與y=的單調(diào)性相同.
3.謹(jǐn)防3種失誤
(1)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,故求單調(diào)區(qū)間應(yīng)以“定義域優(yōu)先”為原則.
(2)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示.
(3)圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開(kāi)寫(xiě),用“和”或“,”連接,不能用“∪”連接.
2.函數(shù)f(x)=ln(x2-
12、2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
[解析]由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.
設(shè)t=x2-2x-8,則y=lnt為增函數(shù).
要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,即求函數(shù)t=x2-2x-8的單調(diào)遞增區(qū)間.
∵函數(shù)t=x2-2x-8的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+∞),
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+∞).
故選D.
[答案]D
3.函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A.B.
C.(0,e) D.(e,+∞)
[解析]∵y′=,令y′<0,解得x>e.
所以單調(diào)遞減區(qū)間是,選D.
[
13、答案]D
函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
例3 (1)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng),當(dāng)x2>x1>1時(shí),[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,設(shè)a=f,b=f(2),c=f(e)(e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的的底數(shù)),則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.c>a>bB.c>b>a
C.a(chǎn)>c>bD.b>a>c
[解析]因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng),所以f=f.由x2>x1>1時(shí),[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,知f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.∵1<2<f>f(e),∴b>a>c.
[答案]D
(2)已知函數(shù)f
14、(x)=是R上的單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
[解析]由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可得a>0,且a≠1.又函數(shù)f(x)在R上單調(diào),而二次函數(shù)y=ax2-x-的圖象開(kāi)口向上,所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,
故有即
所以a∈.
[答案]B
(3)已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),A(0,-3),B(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn),那么不等式-3<f(x+1)<1的解集的補(bǔ)集是(全集為R)( )
A.(-1,2) B.(1,4)
C.(-∞,-1)∪[4,+∞) D.(-∞,-1]∪[2,+∞)
[解析]由函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),A(0,-3),B(3,1)
15、是其圖象上的兩點(diǎn),知不等式-3<f(x+1)<1即為f(0)<f(x+1)<f(3),所以0<x+1<3,所以-1<x<2,故不等式-3<f(x+1)<1的解集的補(bǔ)集是(-∞,-1]∪[2,+∞).
[答案]D
[小結(jié)]1.比較函數(shù)值大小的解題思路:比較函數(shù)值的大小時(shí),若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),要利用其函數(shù)性質(zhì),轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較,對(duì)于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解.
2.解函數(shù)不等式的解題思路:先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x))的形式,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”,得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)
16、
3.利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的方法: (1)視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù); (2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的,則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.
4.已知函數(shù)f(x)=若f(2-x2)>f(x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-1,2)
D.(-2,1)
[解析]∵當(dāng)x=0時(shí),兩個(gè)表達(dá)式對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都為0,∴函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線.又∵當(dāng)x≤0時(shí),函數(shù)f(x)=x3為增函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ln(x+1)也是
17、增函數(shù),∴函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù).因此,不等式f(2-x2)>f(x)等價(jià)于2-x2>x,即x2+x-2<0,解得-2
18、f(x2-2x+a)<f(x+1)對(duì)任意的x∈[-1,2]恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.(-∞,-3)
C.(-3,+∞) D.
[解析]依題意得f(x)在R上是減函數(shù),所以f(x2-2x+a)<f(x+1)對(duì)任意的x∈[-1,2]恒成立,等價(jià)于x2-2x+a>x+1對(duì)任意的x∈[-1,2]恒成立,等價(jià)于a>-x2+3x+1對(duì)任意的x∈[-1,2]恒成立.設(shè)g(x)=-x2+3x+1(-1≤x≤2),則g(x)=-+(-1≤x≤2),當(dāng)x=時(shí),g(x)取得最大值,且g(x)max=g=,因此a>,故選D.
[答案]D
對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)p16
(2019·全國(guó)卷Ⅲ理)設(shè)f是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,則
A.f>f>f
B.f>f>f
C.f>f>f
D.f>f>f
[解析]∵f是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),
∴f=f(log34).
∵log34>log33=1,1=20>2->2-,∴l(xiāng)og34>2->2-,
又f在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
∴f(log34)f>f.
故選C.
[答案]C
11